2. Mathematische Grundlagen

Transkript

1 2. Mathematische Grundlagen Erforderliche mathematische Hilfsmittel: Summen und Produkte Exponential- und Logarithmusfunktionen 21

2 2.1 Endliche Summen und Produkte Betrachte n reelle Zahlen a 1, a 2,..., a n R. Zahlen notiert man wie folgt: Die Summe der a 1 + a a n = a i = i I a i Bezeichnungen: i heißt Summationsindex I = {1,..., n} heißt Indexmenge 22

3 Bemerkungen: Die Indexmenge I darf eine beliebige Menge ganzer Zahlen sein (I Z), z.b. I = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}. Für die Summe gilt dann: i I a i = 3 i= 4 a i = a 4 + a 3 + a 2 + a 1 + a 0 + a 1 + a 2 + a 3 Die Indexmenge I kann auch leer sein, d.h. I = {}. Für die Summe definiert man dann i I a i = 0. 23

4 Fragen: Warum ist das Summenzeichen wichtig? Wie kann man formal mit Summen rechnen? Antworten: Das Summenzeichen vereinfacht die Schreibweise in der gesamten Statistik Es gibt Rechenregeln für Summen, die allesamt formal bewiesen werden müssen (Aufgabe der Mathematik) 24

5 Rechenregeln für endliche Summen: [I] Dazu seien a 1,..., a n sowie b 1,..., b n reelle Zahlen Mit den beliebigen reellen Zahlen α, β gilt: (α a i + β b i ) = = α α a i + β b i a i + β b i Falls a 1 = a 2 =... = a n a, so folgt: a i = a = n a 25

6 Rechenregeln für endliche Summen: [II] Für jedes (ganzzahlige) m mit 0 m n gilt: a i = m a i + a i i=m+1 Für jedes ganzzahlige m gilt: a i = n+m a i m +m 26

7 Spezielle endliche Summen: [I] i = n = n (n + 1) 2 i 2 = n (n + 1) (2n + 1) 6 i 3 = n2 (n + 1)

8 Spezielle endliche Summen: [II] Es seien a 1, b R, a i = a 1 + (i 1) b für i = 2,..., n. Dann heißt a 1, a 2,..., a n endliche arithmetische Folge 1. Ordnung und es gilt: a i = n 2 (2a 1 + (n 1) b) Es seien a 1, q R, a i = a 1 q i 1 für i = 2,..., n. Dann heißt a 1, a 2,..., a n endliche geometrische Folge und es gilt für q 1: a i = a 1 qn 1 q 1 28

9 Doppelsummen: [I] Es sei a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm eine Matrix (Tabelle) reeller Zahlen 29

10 Doppelsummen: [II] Die Summe über alle diese Zahlen notiert man als Doppelsumme: m j=1 a ij = a 11 + a a 1m + a 21 + a a 2m. + a n1 + a n a nm Es gilt: m j=1 a ij = m a ij j=1 30

11 Weiteres Beispiel für eine Doppelsumme: j=i a ij = a a 1n + a a 2n + a a 3n. + a nn (Der Laufbereich des 2. Index hängt vom 1. Index ab) 31

12 Endliche Produkte Betrachte n reelle Zahlen a 1, a 2,..., a n R. Mit der Indexmenge I = {1, 2,..., n} notiert man das Produkt der Zahlen wie folgt: a 1 a 2... a n = n a i = i I a i Bemerkung: Die Indexmenge I kann wiederum leer sein, d.h. I = {}. Für das Produkt definiert man dann i I a i = 1 32

13 Rechenregeln für endliche Produkte: Es seien a 1,..., a n sowie b 1,..., b n reelle Zahlen Mit den beliebigen reellen Zahlen α, β gilt: n α a i β b i = α n β n n a i n b i Falls a 1 = a 2 =... = a n a, so folgt: n a i = n a = a n 33

14 2.2 Exponentialfunktion und Logarithmus Zwei wichtige mathematische Funktionen: Natürliche Exponentialfunktion Natürlicher Logarithmus Hier: Mathematische Definition und Eigenschaften 34

15 Anwendung in der gesamten Wirtschaftstheorie, z.b. in der Wachstumstheorie (VWL) in Mikro- und Makromodellen (VWL) im gesamten Finance-Bereich (BWL) im Operations-Research (BWL) in der Statistik / Ökonometrie 35

16 Definition der Exponentialfunktion: [I] Betrachte die unendliche Reihe k=0 x k k! = 1 + x + x2 2 + x3 6 + x (k! bezeichnet das Produkt der ersten k ganzen Zahlen, also k! = k) Man kann zeigen, dass die Summe für jedes x R gegen eine endliche Zahl konvergiert 36

17 Definition der Exponentialfunktion: [II] Für jedes x R definiert man exp(x) = k=0 x k k! Die Funktion exp : R R heißt natürliche Exponentialfunktion 37

18 Graph der natürlichen Exponentialfunktion exp(x) x 38

19 Eigenschaften der Exponentialfunktion: [I] Es gilt: exp(0) = 1 exp(1) = e (Eulersche Zahl) Für alle x R gilt: exp(x) > 0 Für alle x R gilt: exp (x) d exp(x) = exp(x) d x (Ableitung ist gleich der Funktion selbst) 39

20 Eigenschaften der Exponentialfunktion: [II] Die Funktion exp ist streng monoton wachsend Für beliebige x, y R gilt die Beziehung: (Funktionalgleichung) exp(x + y) = exp(x) exp(y) Für alle x R gilt ( exp(x) = lim 1 + x ) n n n (Äquivalente Darstellung zur Summendefinition) 40

21 Jetzt: Die exp-funktion besitzt eine eindeutig bestimmte Umkehrfunktion Diese Umkehrfunktion ist definiert auf (0, ) Definition des natürlichen Logarithmus Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion exp : R (0, ) heißt natürlicher Logarithmus und wird bezeichnet mit ln : (0, ) R 41

22 Graph des natürlichen Logarithmus ln(x) x 42

23 Eigenschaften des natürlichen Logarithmus: Die Funktion ln ist streng monoton wachsend Für x > 0 gilt: ln (x) = d ln(x) d x = 1 x Für beliebige x, y > 0 gilt die Beziehung (Funktionalgleichung) ln(x y) = ln(x) + ln(y) 43

24 Weitere Definitionen und Eigenschaften: [I] Die allgemeine Potenz ist für alle x > 0, y R definiert durch x y = exp(y ln(x)) Insbesondere ist für x R e x = exp(x) Es sei a > 0 und a 1. Der allgemeine Logarithmus von x > 0 zur Basis a ist definiert durch y = log a (x) x = a y 44

25 Weitere Definitionen und Eigenschaften: [II] Es gelten die folgenden Beziehungen: ln(x) = loge(x) ln(x) = log a (x) ln(a) log a (x) = ln(x) ln(a) Es sei f : R (0, ) eine differenzierbare Funktion. jedes x R heißt die Ableitung (ln(f(x)) = d ln(f(x)) = f (x) d x f(x) die logarithmische Ableitung von f an der Stelle x (auch: stetige Wachstumsrate) Für 45