Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt

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1 Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS M. Kohler 3. Mai A. Fromkorth D. Furer Gruppen und Hausübung Aufgabe (a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine S Bahn Verspätung hat, betrage.3. Sofern die S Bahn Verspätung hat, kommt Student S. nur mit Wahrscheinlichkeit. pünktlich zur Vorlesung. Sofern die S Bahn aber keine Verspätung hat, kommt er mit Wahrscheinlichkeit.99 pünktlich zur Vorlesung. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Student S. pünktlich zur Vorlesung kommt? (b) Eine Klausur wird von einem gut vorbereiteten Studenten mit Wahrscheinlichkeit.99, von einem nicht gut vorbereiteten Studenten aber nur mit Wahrscheinlichkeit. bestanden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student gut vorbereitet ist, sei.8. Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass ein Student, der die Klausur nicht bestanden hat, gut vorbereitet war? (a) Wir wissen laut Aufgabentext mit A : S. kommt pünktlich zur Vorlesung, B : S-Bahn hat Verspätung, dass P(B).3, P(A B)., P(A B c ).99 und wir wollen P(A) berechnen. Dann mit der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit (b) Definiere die Ereignisse A : Student vorbereitet., B : Student besteht Klausur., und gegeben sind die Wahrscheinlichkeiten P(B A).99, P(B A c )., P(A).8. P(A) P(B) P(A B) + P(B c ) P(A B c ) Gesucht ist P(A B c ). Mit der Formel von Bayes dann P(A B c ) P(B c A) P(A) P(B c A) P(A) + P(B c A c ) P(A c ) Aufgabe Sei (Ω,, P) ein W Raum. Zeigen Sie:

2 (a) Für alle A, A n (n ) mit A A..., A n A (sog. Stetigkeit von unten des W Maßes P). Hinweis: Es lim P(A n) P(A) A A (A n \ A n ). (b) Für alle A, A n (n ) mit A A..., A n A (sog. Stetigkeit von oben des W-Maßes P). Hinweis: Wenden Sie a) auf Ω \ A, Ω \ A,... an. lim P(A n) P(A) (a) Mit dem Hinweis folgt lim P A N N lim N P A N (A n \A n ) P A + P A n \A n Add. lim P N A + P A n \A n N σ Add. P (A). (b) Wegen A A..., A n A n Ω\A Ω\A... Ω\A n Ω\A. i Mit der Stetigkeit von unten erhält man dann lim P(A n ) lim P(An ) lim P(Ω\A n ) P(Ω\A) P(A). Daraus folgt lim P(A n) P(A). Aufgabe 3 Sei P ein auf der Borelschen σ-algebra definiertes Wahrscheinlichkeitsmaß. Die zu P gehörende Verteilungsfunktion F : wird definiert durch F(x) P ((, x]) (x ). Zeigen Sie, dass :

3 (a) F(x) [, ] für alle x. (b) F ist monoton nichtfallend, d.h. aus x x folgt F(x ) F(x ). (c) lim F(x) und lim F(x). x x (d) F ist rechtsseitig stetig, d.h. lim y x F(y) F(x) für alle x. y>x Hinweis zu c) und d): Wenden Sie Aufgabe an. Die Schreibweise lim f (x) c bedeutet, dass für jede Folge (x n ) n x a mit lim x n a lim f (x n ) c, wobei a, c {, + }. (a) Da P(A) [, ] für A nach Definition, so ist auch F(x) P ((, x]) [, ] (x ). (b) Wegen (, x ] (, x ] für x x auch F(x ) P (, x ] P (, x ] F(x ). (c) Betrachte die monoton steigende reelle Folge (x n ) n mit x n (n ). Dann (, x ] (, x ]... Nach Aufgabe 3. a) (Stetigkeit von unten) dann (, x n ] (, ). lim P((, x n]) P((, )). Ist jetzt y n eine beliebige Folge mit lim y n, so ist x n sup y n m m monoton wachsend, mit lim und x n y n für alle n. Es folgt lim F(x n ) lim F(y n ) a). Analog folgt mit der Stetigkeit von oben für eine monoton fallende Folge (x n ) n mit lim x n, Für eine beliebige Folge y n mit lim y n ist lim F(x n) P(). x n sup y m m n monoton fallend mit lim x n und x n y n für alle n. Es folgt lim F(x n ) lim F(y n ) a). (d) Sei x n n nun eine beliebige monoton fallende reelle Folge mit x n x (n ), dann mit Aufgabe 3. b) (Stetigkeit von oben) und A n (, x n ] die Behauptung, da lim F(x n) lim P((, x n ]) P((, x]) F(x). Aufgabe 4 Student S. vermutet, dass die zufällige Zeit (in Minuten), die Dozent K. bei seiner Statistik Vorlesung immer zu früh kommt, durch ein Wahrscheinlichkeitsmaß beschrieben wird, dass eine Dichte der Form β x, für x α, f (x), für x < oder x > α besitzt. Hierbei sind α, β > Parameter der Dichte. 3

4 (a) Welche Beziehung muss zwischen α und β bestehen, damit f wirklich Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ist? (b) Bestimmen Sie für α 4 und β /8 die zu f gehörende Verteilungsfunktion, d.h. die durch definierte Funktion F. F :, F(x) (c) Skizzieren Sie die Graphen von f und F für α 4 und β /8. f (t) d t (d) Sei wieder α 4 und β /8. Wie groß ist sofern f wirklich die zufällige Zeit beschreibt, die Dozent K. zu früh kommt die Wahrscheinlichkeit, dass Dozent K. i. weniger als zwei Minuten zu früh kommt? ii. mehr als zehn Minuten zu früh kommt? (a) Da f eine Dichte ist muss! gelten. Somit + }{{} α α β xd x βα +! α } {{ } Daraus folgt: (α wäre zwar ebenfalls eine Lösung der Gleichung, allerdings ist α als positiv vorausgesetzt.) β (b) Für t < ist f (t) und somit für x : Für x 4 erhalten wir α β d t. Bleibt noch der Fall x > 4. Hier β td t 8 td t 8 x t t 6 x Somit :, für x < F(x) x, für x 4 6, für x > 4 (c) Der Graph von f (blau) und F (rot): 4

5 F(x), f(x) x (d) Sei α 4 und β /8. i. P(X < ) 8 xd x 6 x 4.5 ii. P(X ) P(X < ) 4 8 xd x 6 x 4. 5