Übungsblatt 6 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik für Informatiker

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Käte Hertz
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1 Übungsblatt 6 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik für Informatiker

2 Gegeben sei erneut der folgende Grundraum: Ω = {1, 1.5, 2, π, 5, 12} Die Elementarereignisse treten dabei wieder mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten ein: P({1}) = 0.1, P({1.5}) = 0.2, P({2}) = 0.3, P({π}) = 0.05, P({5}) = 0.2, P({12}) = 0.15 X sei jetzt die Zufallsvariable, die jedem Elementarereignis e Ω den Wert e 2 zuordnet. Die Zufallsvariable Y weist jedem Elementarereignis e Ω den Wert 1 zu, sofern e natürlich ist, und sonst 0. a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktionen und Zähldichten von X und Y. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt 1 < X 3? b) Bestimmen Sie auch die Zähldichte von (X,Y). Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt (X,Y)=(0,1)?

3 a) Grundraum: Ω = {1, 1.5, 2, π, 5, 12} ω Ω π 5 12 P({ω}) X weist jedem Elementarereignis e Ω den Wert e 2 zu.

4 a) Zähldichte: ω Ω π 5 12 X(ω) P({ω}) x = = p(x) = P(X=x) Verteilungsfunktion: x (, 0) [0,1) [1,2) [2,6) [6, ) F(x) = P(X x) P(1 < X 3) =?

5 a) Zähldichte: ω Ω π 5 12 X(ω) P({ω}) x = = p(x) = P(X=x) Verteilungsfunktion: x (, 0) [0,1) [1,2) [2,6) [6, ) F(x) = P(X x) P(1 < X 3) = F(3) - F(1) = = 0.2

6 a) Zähldichte: Verteilungsfunktion: ω Ω π 5 12 Y (ω) P({ω}) x 0 1 p(x) = P(X=x) x (, 0) [0,1) [1, ) F(x) = P(X x)

7 b) Gesucht ist jetzt die gemeinsame Zähldichte der beiden Zufallsvariablen X und Y. ω Ω π 5 12 X(ω) Y (ω) P({ω}) Gemeinsame Zähldichte: y x

8 b) Gesucht ist jetzt die gemeinsame Zähldichte der beiden Zufallsvariablen X und Y. ω Ω π 5 12 X(ω) Y (ω) P({ω}) Gemeinsame Zähldichte mit Randdichten: y x

9 b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt (X,Y) = (0,1)? Gemeinsame Zähldichte: y x Diese Merkmalskombination tritt mit W keit 0.1 auf.

10 Die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X sei folgendermaßen gegeben: { 0, für x < 2, F (x) = 1 1 k für k x < k + 1, k IN \ {0, 1}. Skizzieren Sie diese Verteilungsfunktion und bestimmen Sie mit ihr folgende Wahrscheinlichkeiten: (a) P(X < 2) (b) P(X 2) (c) P(X 3) (d) P(X > 3) (e) P(2 < X 3) (f) P(X / (2, 3]) (g) P(2 < X < 3) (h) P(X [2, 3])

11 Die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X sei folgendermaßen gegeben: { 0, für x < 2, F (x) = 1 1 k für k x < k + 1, k IN \ {0, 1}.

12 Die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X sei folgendermaßen gegeben: { 0, für x < 2, F (x) = 1 1 k für k x < k + 1, k IN \ {0, 1}. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten: (a) P(X < 2) = 0 Für x < 2 ist die Verteilungsfunktion gleich Null. (b) P(X 2) = F (2) = = 0.5 (c) P(X 3) = F (3) = = 0. 6 (d) P(X > 3) = 1 P(X 3) = 1 F (3) = 1 3 = 0. 3

13 Die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X sei folgendermaßen gegeben: { 0, für x < 2, F (x) = 1 1 k für k x < k + 1, k IN \ {0, 1}. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten: (e) P(2 < X 3) = P(X 3) P(X 2) = F (3) F (2) = = 1 6 = (f) P(X / (2, 3]) = 1 P(2 < X 3) = = 5 6 = (g) P(2 < X < 3) = P(X < 3) P(X 2) = P(X 2) P(X 2) = 0 (h) P(X [2, 3]) = P(2 X 3) = P(X 3) P(X < 2) = F (3) 0 = F (3) = = 2 3 = 0. 6

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