Multivariate Zufallsvariablen

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1 Kapitel 7 Multivariate Zufallsvariablen 7.1 Diskrete Zufallsvariablen Bisher haben wir immer nur eine Zufallsvariable betrachtet. Bei vielen Anwendungen sind aber mehrere Zufallsvariablen von Interesse. So besteht ein Fragebogen in der Regel aus mehreren Fragen, mit denen die Ausprägungen von Merkmalen erfragt werden. Bei einer univariaten diskreten Zufallsvariablen gehen wir von der Ergebnismenge Ω eines Zufallsvorgangs aus und ordnen jedem Ergebnis eine reelle Zahl zu. Eine p-dimensionale Zufallsvariable ( 1,..., p ) erhalten wir, indem wir jedem Ergebnis p reelle Zahlen zuordnen. Im Folgenden betrachten wir nur bivariate Zufallsvariablen. Dabei bezeichnen wir die Zufallsvariablen mit und Y und die bivariate Zufallsvariable mit (, Y ). Wie bei einer univariaten diskreten Zufallsvariablen bestimmen wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Diese ist gegeben durch: f,y (x, y) =P ( = x, Y = y). (7.1) Man nennt f,y (x, y) auch die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von und Y. Wir stellen diese Wahrscheinlichkeiten in einer Tabelle zusammen. Tabelle 7.1 zeigt den Aufbau dieser Tabelle, wenn die Zufallsvariable die Merkmalsausprägungen x 1,...,x k und die Zufallsvariable Y die Merkmalsausprägungen y 1,...,x l besitzt. 173

2 174 KAPITEL 7. MULTIVARIATE ZUFALLSVARIABLEN Tabelle 7.1: Allgemeiner Aufbau der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer zweidimensionalen diskreten Zufallsvariablen Y y 1... y l x 1 P ( = x 1,Y = y 1 )... P( = x 1,Y = y l ) x k P ( = x k,y = y 1 )... P( = x k,y = y l ) Beispiel 64 Eine faire Münze werde dreimal hintereinander geworfen. Wir suchen die Wahrscheinlichkeitsfunktion der bivariaten Zufallsvariablen (, Y ), wobei die Anzahl ZAHL bei den ersten beiden Würfen und Y die Anzahl ZAHL bei den beiden letzten Würfen ist. Die Ergebnismenge ist Ω={KKK,KKZ,KZK,ZKK,KZZ,ZKZ,ZZK,ZZZ}. In Tabelle 7.2 sind die Ergebnisse mit den zugehörigen Werten von und Y zu finden. Tabelle 7.2: Ergebnisse beim dreimaligen Münzwurf mit zugehörigen Werten der Zufallsvariablen und Y ω x y KKK KKZ 1 KZK 1 1 ZKK 1 KZZ 1 2 ZKZ 1 1 ZZK 2 1 ZZZ 2 2 Da die Münze fair ist, sind alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich.

3 7.1. DISKRETE ZUFALLSVARIABLEN 175 Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion von (, Y ) gilt also P ( =,Y =) =.125 P ( =1,Y =) =.125 P ( =,Y =1) =.125 P ( =1,Y =1) =.25 P ( =1,Y =2) =.125 P ( =2,Y =1) =.125 P ( =2,Y =2) =.125 Wir stellen die Wahrscheinlichkeitsfunktion in einer zweidimensionalen Tabelle dar. Tabelle 7.3: Wahrscheinlichkeitsfunktion einer zweidimensionalen diskreten Zufallsvariablen Y Aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion P ( = x, Y = y) erhält man problemlos die Wahrscheinlichkeitsfunktionen der univariaten Zufallsvariablen und Y. Es gilt P ( = x) = y P ( = x, Y = y) (7.2) und P (Y = y) = x P ( = x, Y = y). (7.3) Man spricht auch von den Randverteilungen, da man diese Wahrscheinlichkeiten durch Summation der Wahrscheinlichkeiten in den Zeilen bzw. Spalten der Tabelle mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion erhält. Tabelle 7.4 zeigt dies.

4 176 KAPITEL 7. MULTIVARIATE ZUFALLSVARIABLEN Tabelle 7.4: Allgemeiner Aufbau der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer zweidimensionalen diskreten Zufallsvariablen mit Randverteilungen Y y 1... y l x 1 P ( = x 1,Y = y 1 )... P( = x 1,Y = y l ) P ( = x 1 ) x k P ( = x k,y = y 1 )... P( = x k,y = y l ) P ( = x k ) P (Y = y 1 )... P(Y = y k ) 1 Beispiel 64 (fortgesetzt) Es gilt P ( =) = P ( =,Y =)+P ( =,Y =1) = =.25 P ( =1) = P ( =1,Y =)+P ( =1,Y =1)+P ( =1,Y =2) = =.5 P ( =2) = P ( =2,Y =1)+P ( =2,Y =2) = =.25 und P (Y =) = P ( =,Y =)+P ( =1,Y =) = =.25 P (Y =1) = P ( =,Y =1)+P ( =1,Y =1)+P ( =2,Y =1) = =.5 P (Y =2) = P ( =1,Y =2)+P ( =2,Y =2) = =.25 In Tabelle 7.5 ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den Randverteilungen zu finden.

5 7.1. DISKRETE ZUFALLSVARIABLEN 177 Tabelle 7.5: Wahrscheinlichkeitsfunktion einer zweidimensionalen diskreten Zufallsvariablen mit Randverteilung Y Die Verteilungen der Zufallsvariablen und Y im Beispiel 64 sind identisch. Wir sprechen auch von identisch verteilten Zufallsvariablen. Aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion P ( = x, Y = y) kannproblemlos auf P ( = x) und P (Y = y) geschlossen werden. Von den Wahrscheinlichkeitfunktionen P ( = x) und P (Y = y) kann nicht eindeutig auf die Wahrscheinlichkeitsfunktion P ( = x, Y = y) geschlossen werden. Beispiel 65 In Tabelle 7.6 findet man die Wahrscheinlichkeitsfunktion P (V = v, W = w), die sich von der Wahrscheinlichkeitsfunktion P ( = x, Y = y) im Beispiel 64 unterscheidet. Die Randverteilungen sind aber identisch. Tabelle 7.6: Wahrscheinlichkeitsfunktion einer zweidimensionalen diskreten Zufallsvariablen mit Randverteilung V W

6 178 KAPITEL 7. MULTIVARIATE ZUFALLSVARIABLEN 7.2 Stetige Zufallsvariablen Eine stetige univariate Zufallsvariable haben wir über die Verteilungsfunktion definiert. Schauen wir uns also die Verteilungsfunktion einer zweidimensionalen Zufallsvariablen an. Mit der Verteilungsfunktion F,Y (x, y) einer zweidimensionalen Zufallsvariablen (, Y )können wir folgende Wahrscheinlichkeiten bestimmen: F,Y (x, y) = P ( x, Y y). (7.4) Wir definieren eine stetige zweidimensionale Zufallsvariable wie eine univariate stetige Zufallsvariable über die Verteilungsfunktion. Definition 7.1 Eine bivariate Zufallsvariable (, Y ) heißt stetig, wenn eine reellwertige Funktion f,y : D IR 2 IR existiert, so dass für die Verteilungsfunktion F,Y (x, y) von(, Y ) gilt: F,Y (x, y) = y x f,y (u, v) du dv Wir nennen f,y (x, y) die gemeinsame Dichtefunktion von (, Y ). Die gemeinsame Dichtefunktion f,y (x, y) von(, Y )erfüllt folgende Bedingungen: 1. f,y (x, y) für alle (x, y) IR 2 2. f,y (x, y) dx... dy =1 Beispiel 66 Wir betrachten folgende Funktion Offensichtlich gilt f(x, y) = { 1 für x 1, y 1 sonst f(x, y) für alle (x, y) IR 2.

7 7.2. STETIGE ZUFALLSVARIABLEN 179 Außerdem gilt f(x, y) dx dxy = dx dy = 1 [ x ] 1 dy = 1 1 dy = [ ] 1 y =1 Also handelt es sich um eine Dichtefunktion einer zweidimensionalen Zufallsvariablen (, Y ). Aus der gemeinsamen Dichtefunktion können wir problemlos die Dichtefunktionen der univariaten Zufallsvariablen gewinnen. Im Fall einer zweidimensionalen stetigen Zufallsvariablen gilt f (x) = f,y (x, y) dy und f Y (y) = f,y (x, y) dx. Beispiel 66 (fortgesetzt) Es gilt f (x) = f,y (x, y) dy = 1 dy = [ ] 1 y =1 und f Y (y) = f,y (x, y) dx = 1 dx = [ ] 1 x =1.

8 18 KAPITEL 7. MULTIVARIATE ZUFALLSVARIABLEN 7.3 Unabhängigkeit Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn gilt P (A B) =P (A) P (B) Das Konzept der Unabhängigkeit lässt sich auch auf Zufallsvariablen übertragen. Definition 7.2 Gilt für alle (x, y) IR 2 P ( = x, Y = y) =P ( = x) P (Y = y), so heißen die diskreten Zufallsvariablen und Y unabhängig. Beispiel 66 (fortgesetzt) DieZufallsvariablen V und W in Tabelle 7.6 sind unabhängig, da gilt P (V =,W =) =.625 = = P (V =) P (W =) P (V =,W =1) =.125 =.25.5 =P (V =) P (W =1) P (V =,W =2) =.625 = = P (V =) P (W =2) P (V =1,W =) =.125 =.5.25 = P (V =1) P (W =) P (V =1,W =1) =.25 =.5.5 =P (V =1) P (W =1) P (V =1,W =2) =.125 =.5.25 = P (V =1) P (W =2) P (V =2,W =) =.625 = = P (V =2) P (W =) P (V =2,W =1) =.125 =.25.5 =P (V =2) P (W =1) P (V =2,W =2) =.625 = = P (V =2) P (W =2) Sind die Zufallsvariablen und Y unabhängig, so kann man aus den Wahrscheinlichkeitsfunktionen P ( = x) und P (Y = y) die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion P ( = x, Y = y) bestimmen. Zieht man mehrmals mit Zurücklegen aus einer Urne jeweils eine Kugel oder aus mehreren Urnen jeweils eine Kugel, so sind die einzelnen Ziehungen unabhängig. Beispiel 67 Ein Urne enthält 1 Kugeln. Von diesen wiegen 4 Kugeln 1 g und die anderen Kugeln 2 g. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Sei das Gewicht der ersten gezogenen Kugel und Y das Gewicht der zweiten gezogenen Kugel. Es gilt P ( = 1) =.4 P ( = 2) =.6 P (Y = 1) =.4 P (Y = 2) =.6

9 7.3. UNABHÄNGIGKEIT 181 Da wir ohne Zurücklegen ziehen,sind und Y unabhängig. Also gilt P ( = x, Y = y) =P ( = x) P (Y = y). Wir erhalten P ( =1,Y = 1) = P ( = 1) P (Y = 1) =.4.4 =.16 P ( =1,Y = 2) = P ( = 1) P (Y = 2) =.4.6 =.24 P ( =2,Y = 1) = P ( = 2) P (Y = 1) =.6.4 =.24 P ( =2,Y = 2) = P ( = 2) P (Y = 2) =.6.6 =.36 Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion ist Tabelle 7.7 zu finden. Tabelle 7.7: Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion Y Beispiel 68 Eine Urne enthält 1 Kugeln. Von diesen wiegen 2 Kugeln 1 g und die anderen Kugeln 2 g. Ein zweite Urne enthält ebenfalls 1 Kugeln. Von diesen wiegen 4 Kugeln 1 g und die anderen Kugeln 2 g. Aus jeder Urne wird eine Kugel gzogen. Sei das Gewicht der ersten gezogenen Kugel und Y das Gewicht der zweiten gezogenen Kugel. Es gilt P ( = 1) =.2 P ( = 2) =.8 P (Y = 1) =.4 P (Y = 2) =.6 Da wir aus jeder Urne eine Kugel ziehen, sind und Y unabhängig. Also gilt P ( = x, Y = y) =P ( = x) P (Y = y). Wir erhalten P ( =1,Y = 1) = P ( = 1) P (Y = 1) =.2.4 =.8 P ( =1,Y = 2) = P ( = 1) P (Y = 2) =.2.6 =.12 P ( =2,Y = 1) = P ( = 2) P (Y = 1) =.8.4 =.32 P ( =2,Y = 2) = P ( = 2) P (Y = 2) =.8.6 =.48

10 182 KAPITEL 7. MULTIVARIATE ZUFALLSVARIABLEN Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion ist Tabelle 7.8 zu finden. Tabelle 7.8: Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion Y Schauen wir uns noch stetige Zufallsvariablen an. Die stetigen Zufallsvariablen, Y mit gemeinsamer Dichtefunktion f,y (x, y) und Randdichtefunktionen f (x) und f Y (y) sind genau dann unabhängig, wenn gilt f,y (x, y) = f (x) f Y (y). (7.5) Beispiel 68 (fortgesetzt) Wir haben gesehen, dass die Randdichtefunktionen f (x) und f Y (y) von f,y (x, y) = { 1 für x 1, y 1 sonst univariate Gleichverteilungen sind. Es gilt also { 1 für x 1 f (x) = sonst und Offensichtlich gilt { 1 für y 1 f Y (y) = sonst { 1 für x 1, y 1 f (x) f Y (y) = sonst Somit sind die Zufallsvariablen und Y unabhängig.

11 7.4. FUNKTIONEN VON ZUFALLSVARIABLEN Funktionen von Zufallsvariablen In der schließenden Statistik sind Funktionen von Zufallsvariablen von Interesse. Schauen wir uns dies für eine Funktion von zwei diskreten Zufallsvariablen an. Sind und Y Zufallsvariablen mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsfunktion P ( = x, Y = y) und g : D IR 2 IR eine Funktion. Dann gilt für die Zufallsvariable V = g(, Y ): P (V = v) = P ( = x, Y = y) {(x,y) g(x,y)=v} Beispiel 69 Wir betrachten die Zufallsvariablen und Y aus Beispiel 68 auf Seite 181, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion in Tabelle 7.8 auf Seite 182 zu finden ist. Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen V = + Y an. Es gilt P (V = 2) = P ( =1,Y = 1) =.8 P (V = 3) = P ( =1,Y = 2) + P ( =2,Y = 1) =.44 P (V = 4) = P ( =2,Y = 2) =.48 Beispiel 7 Wir betrachten die Zufallsvariablen und Y aus Beispiel 68 auf Seite 181, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion in Tabelle 7.8 auf Seite 182 zu finden ist. Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen W = Y an. Es gilt P (W = 1) = P ( =2,Y = 2) =.8 P (W = 2) = P ( =1,Y = 2) + P ( =2,Y = 1) =.44 P (W = 4) = P ( =2,Y = 2) =.48