3 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen

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1 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen.1 Pfadregeln.1.1 Pfadmultiplikationsregel Eine faire Münze und ein fairer Würfel werden gleichzeitig geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit der Münze Zahl und mit dem Würfel eine durch drei teilbare Zahl zu erhalten? Wie bereits in Kapitel 1.1 wird dieses mehrstufige Zufallsexperiment mit einem Baumdiagramm dargestellt. Zusätzlich notieren wir die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an den jeweiligen Pfadabschnitten. Die Wahrscheinlichkeit, mit der Münze Zahl zu werfen beträgt 1 2.Von den sechs möglichen Ausgängen eines Würfelwurfes gibt es die zwei Augenzahlen und 6, die durch drei teilbar sind. Die Wahrscheinlichkeit, eines der beiden Ergebnisse zu erzielen, ist 1.Die Wahrscheinlichkeit, die geforderte Kombination der Ergebnisse zu erzielen, ergibt sich aus dem Produkt der beiden einzelnen Wahrscheinlichkeiten =

2 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man zunächst die Wahrscheinlichkeit für den Würfelwurf und anschließend die Wahrscheinlichkeit für den Münzwurf betrachtet, wie die folgende Darstellung des Baumdiagramms zeigt: Betrachten wir nun ein weiteres Beispiel: In einer Urne befinden sich drei gelbe und fünf rote Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen aus der Urne gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwei gelbe Kugeln gezogen? Beim ersten Zug sind von den acht Kugeln in der Urne drei gelbe. Die Wahrscheinlichkeit, dabei eine gelbe zu ziehen, beträgt drei von acht, also 8.Nach dem ersten Zug wird die gezogene Kugel nicht in die Urne zurückgelegt, sodass sich noch sieben Kugeln in der Urne befinden. Wurde beim ersten Zug eine gelbe Kugel gezogen, so befinden sich noch zwei gelbe in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine gelbe Kugel zu ziehen, beträgt zwei von sieben Kugeln, also 2 7.Wurde beim ersten Zug eine rote Kugel gezogen, so befinden sich noch drei gelbe und vier rote Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine gelbe Kugel zu ziehen, beträgt drei von sieben, also 7. Stellt man diesen mehrstufigen Zufallsversuch mit dem Baumdiagramm dar, muss im Gegensatz zum ersten Beispiel auf die Reihenfolge der Versuchsstufen geachtet werden, da die Wahrscheinlichkeiten des zweiten Zugs vom ersten Zug abhängen. Es ergibt sich folgendes Bild:

3 Pfadregeln Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten und beim zweiten Zug eine gelbe Kugel zu ziehen, ergibt sich aus dem Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten, also = 6. Auch die Wahrscheinlichkeiten für andere Ereignisse lassen sich mithilfe des Baumdiagramms bestimmen. So beträgt die Wahrscheinlichkeit im ersten Zug eine gelbe und dann eine rote Kugel zu ziehen, = 15 ; die Wahrscheinlichkeit, erst eine rote, dann eine gelbe zu ziehen = 15.Die Wahrscheinlichkeit zwei rote zu ziehen beträgt = 20. Als Regel für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen ergibt sich die Pfadmultiplikationsregel: Pfadmultiplikationsregel (1. Pfadregel) Bei mehrstufigen Zufallsversuchen ist die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses gleich dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades. Überträgt man die Wahrscheinlichkeiten des letzten Beispiels in eine Vierfeldertafel, so ergibt sich folgendes Bild: 2. Zug G R Summe 1. Zug G R Summe = = = = Pfadadditionsregel Betrachten wir noch einmal den Versuch von Seite 50. Es soll jetzt untersucht werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau eine gelbe Kugel gezogen wird. Das gesuchte Ereignis tritt ein, wenn beim ersten Zug eine gelbe und dann eine rote Kugel, oder wenn zunächst eine rote und dann eine gelbe Kugel gezogen wird. Da beide Ergebnisse zum Ereignis gehören, sind bei der Berechnung der Aufgabe beide Wahrscheinlichkeiten zu berücksichtigen, d. h. beide Einzelwahrschein

4 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen lichkeiten sind zu addieren. Als Lösung ergibt sich damit: Die Wahrscheinlichkeit, genau eine gelbe Kugel zu ziehen, beträgt = 0 = Der Versuch von Seite 51 soll noch einmal unter einem anderen Gesichtspunkt betrachtet werden. Es soll untersucht werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens eine gelbe Kugel gezogen wird. Das gesuchte Ereignis tritt ein, wenn zusätzlich zu den oben aufgeführten Versuchsausgängen auch noch der Versuchsausgang berücksichtigt wird, wenn bei beiden Zügen eine gelbe Kugel gezogen wird. Zu der Wahrscheinlichkeit von 0 kommt also noch die Wahrscheinlichkeit von 6.Die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine gelbe Kugel gezogen wird, beträgt dann = 6 = Aus dieser Erkenntnis lässt sich eine zweite Regel für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen ableiten: Pfadadditionsregel (2. Pfadregel) Bilden bei einem mehrstufigen Zufallsversuch mehrere Pfade ein Ereignis, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade. BEISPIELE 1. Betrachten wir wieder die Urne mit drei gelben und fünf roten Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei drei Ziehungen ohne Zurücklegen mindestens zweimal eine gelbe Kugel zu ziehen? Wird nach dem zweiten Zug ohne Zurücklegen eine weitere Kugel aus der Urne gezogen, so ergibt sich das folgende Baumdiagramm:

5 Pfadregeln Die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse, die zum Ereignis mindestens zweimal eine gelbe Kugel zu ziehen gehören, werden wieder durch Multiplikation der einzelnen Wahrscheinlichkeiten entlang der jeweils zugehörigen Pfade berechnet. Zum gesuchten Ereignis zählen folgende Kombinationen mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten (im Baumdiagramm rot gekennzeichnet): GGG mit P1hGGGj2 = 6 6 GGR mit P1hGGRj2 = 0 6 GRG mit P1hGRGj2 = 0 6 RGG mit P1hRGGj2 = 0 6 Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses mindestens zweimal eine gelbe Kugel zu ziehen beträgt = 96 6 = Wie imbeispiel von Seite 52 soll wieder eine Urne mit drei gelben und fünf roten Kugeln betrachtet und die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Ziehen von mindestens einer gelben Kugel in zwei Zügen berechnet werden. Nur soll jetzt die im ersten Versuch gezogene Kugel wieder in die Urne zurückgelegt werden. Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit? Die Wahrscheinlichkeiten beim ersten Zug ändern sich nicht. Beim zweiten Zug gelten jetzt die gleichen Wahrscheinlichkeiten wie beim ersten Zug. Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten und beim zweiten Zug eine gelbe Kugel zu ziehen, beträgt 8 8 = 9.Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Zug eine gelbe und dann eine rote Kugel zu ziehen, beträgt = 15.Die Wahrscheinlichkeit, erst eine rote, dann eine gelbe zu ziehen, beträgt = 15, die Wahrscheinlichkeit zwei rote zu ziehen, beträgt = 25. Zum gesuchten Ereignis zählen folgende Kombinationen mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten (im Baumdiagramm rot gekennzeichnet): GG mit P1hGGj2 = 8 8 = 9 GR mit P1hGRj2 = = 15 RG mit P1hRGj2 = = 15 Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Ziehen von mindestens einer gelben Kugel in zwei Zügen beträgt =

6 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen Das folgende Baumdiagramm veranschaulicht die entsprechende Lösung: Werden die Kugeln dreimal mit Zurücklegen aus der Urne gezogen, so ergibt sich das folgende Baumdiagramm mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten (im Baumdiagramm rot gekennzeichnet): Für mindestens zwei gezogene gelbe Kugeln bei drei Zügen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit von = =

7 Pfadregeln In der U-Bahn werden bei einer Fahrkartenkontrolle zufällig bei vier von neun Fahrgästen die Fahrausweise kontrolliert. Zwei der neun Fahrgäste haben keinen Fahrausweis gelöst. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kontrolleure a) beide Schwarzfahrer, b) genau einen Schwarzfahrer, c) mindestens einen der Schwarzfahrer, d) keinen der Schwarzfahrer erwischen? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit mithilfe eines Baumdiagramms. In einer Urne befinden sich schwarze, 2 rote und 7 gelbe Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Zug zwei Kugeln gleicher Farbe zu ziehen? Lösen Sie die Aufgabe mithilfe eines Baumdiagramms. # Bei einem Auto ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Blinker funktioniert 0,97 und die Wahrscheinlichkeit, dass die Abgaswerte in Ordnung sind, 0,95. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer TÜV-Untersuchung der Blinker defekt ist und die Abgaswerte nicht in Ordnung sind. Bei einer Lieferung von 50 Glühbirnen wird die Lieferung akzeptiert, wenn bei einer zufälligen Stichprobe von Birnen alle Birnen in Ordnung sind. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung gekauft wird, wenn 5 Birnen defekt sind. fi Peter hält aus einem Skatspiel vier Könige und zwei Asse in der Hand. Sein Freund Paul zieht nacheinander jeweils eine Karte, bis die beiden Asse gezogen worden sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel nach dem dritten Zug beendet ist? Lösen Sie die Aufgabe mit einem Baumdiagramm. ^ Norbert und Franz üben beim Fußballtraining das Elfmeterschießen. Norbert verwandelt seine Elfmeter mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5, Franz mit einer Wahrscheinlichkeit von 1.Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit von je einem Schuss beider Spieler wenigstens ein Tor erzielt wird. \ Aus einem Skatspiel werden nacheinander zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Zeichnen Sie jeweils ein Baumdiagramm und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) eine Dame im zweiten Zug gezogen wird, wenn vorher bereits eine Dame gezogen wurde, b) eine Kreuz-Karte gezogen wird, wenn im ersten Zug eine Kreuz-Karte gezogen wurde. Anne hat das Wechselgeld vom Einkauf in Höhe von,80 lose in ihre Handtasche gelegt. Das Wechselgeld besteht aus je einer 2- -, 1- -, 50-Cent-, 20-Centund 10-Cent-Münze. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und berechnen Sie: