SS 2017 Torsten Schreiber

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Emma Kohler
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2 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Wird die Anordnung von unterschiedlichen Objekten eines Experiments untersucht, so handelt es sich um eine. Möchte man die Anzahl der möglichen Kombinationen betrachten, muss man unterscheiden ob die Stichprobe mit oder ohne ist. Man spricht dann von. Neben den Wiederholungen spielt die eine große Rolle, so dass insgesamt verschiedene Berechnungsformeln existieren. Dabei können jeweils drei Szenarien über die Definition des bestimmt werden. Hat jedes Ereignis von der Anzahl der Versuche die gleiche Wahrscheinlichkeit, dann handelt es sich um ein -Experiment. Das Gegenereignis erleichtert stellenweise die Berechnung der Wahrscheinlichkeit und wird auch als bezeichnet. Graphisch können Zufallsexperimente in Form eines dargestellt werden. Entlang eines Astes werden die Wahrscheinlichkeiten immer. Werden mehrere dieser Äste für die Gesamtwahrscheinlichkeit benötigt, so werden diese. Für die Berechnung einer -Kombination von Ereignissen spielt die Vereinbarkeit eine wichtige Rolle. Sind zwei Ereignisse nicht zueinander, so muss die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten der Ereignisse werden. 174

3 1. Von 5 Mathematikern und 7 Informatikern soll ein Ausschuss bestehend aus 2 Mathematikern und 3 Informatikern gebildet werden. Auf wie viele Arten kann dies geschehen, wenn... a)... jeder Mathematiker und jeder Informatiker ausgewählt werden kann, b)... ein bestimmter Mathematiker im Ausschuss vertreten sein muss und 2 bestimmte Informatiker nicht im vertreten sein dürfen. 2. Bei der Herstellung eines Produkts treten die beiden Fehler nicht maßhaltig (M) und nicht funktionsfähig (F) mit Wahrscheinlichkeiten von 0,1 bzw. 0,15 auf. Beide Fehler treten gleichzeitig mit der Wahrscheinlichkeit 0,05 auf. Ein Produkt ist nur dann verkäuflich, wenn es keinen der beiden Fehler besitzt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Produkt verkäuflich? 175

4 Durch den Satz von Bayeswird der direkte Zusammenhang zwischen den bedingten Wahrscheinlichkeiten und für beliebige Ereignisse A und B näher beschrieben. Beispiel: In den beiden Urnen A und B sind jeweils 10 Kugeln. In der Urne A sind sieben rote und drei weiße Kugeln und in der Urne B eine rote und 9 weiße Kugeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt eine gezogene rote Kugel aus der Urne A? Es gilt: Gemäß dem Satz von Bayesgilt: 87,5% 176

5 Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig voneinander, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: und $ Nutzt man nun den Satz von Bayesund formt die entstehende Gleichung um, erhält man: $ $ $ $ $ 1& $ $ $ ' ( ) ' ( ' ) Also sind zwei Ereignisse unabhängig, sofern die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten identisch mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist. 177

6 Beispiel: In einer Urne befinden sich vier Kugeln mit den aufgedruckten Zahlen 110, 101, 011, 000. Es wird nun eine Kugel aus der Urne gezogen, wobei folgende Ereignisse definiert werden: :Die gezogene Kugel hat an der ersten Stelle eine Eins. :Die gezogene Kugel hat an der zweiten Stelle eine Eins. + :Die gezogene Kugel hat an der dritten Stelle eine Eins. Für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten gilt somit: + Betrachtet man nun das gleichzeitige Auftreten zweier Ereignisse, so erhält man:,- : ,- + : ,- + : Werden nun alle drei Ereignisse berücksichtigt, so erkennt man, dass diese nicht unabhängig sind, denn

7 Aufgabe: 1. Ein berühmter Fernsehkoch versalzt seine Suppe mit einer Wahrscheinlichkeit von 20%. Wenn er jedoch verliebt ist (Wahrscheinlichkeit 30%), so versalzt er die Suppe mit einer Wahrscheinlichkeit von 60%. a) Zeichnen Sie das Baumdiagramm. b) Geben Sie die Randverteilungen mittels Vierfeldertafel an. c) Sind die Ereignisse unabhängig? d) Sie erhalten nun eine versalzene Suppe. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Koch verliebt? 179

8 Eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeiten in der Mathematik resultieren aufgrund der Binomialverteilung. Dabei handelt es sich zum einen um unabhängige Ereignisse und zum anderen existieren nur zwei Möglichkeiten ( Treffer oder Niete ). Eine solche Versuchsreihe wird auch Bernoulli-Prozess genannt. Die Zufallsvariable3beschreibt hier die Anzahl des günstigen Ereignis bei n Wiederholungen, so dass sich die Wahrscheinlichkeit als Produkt aus den möglichen Kombinationen sowie den günstigen und ungünstigen Wahrscheinlichkeiten ergibt. Es gilt: &5 786 Anzahl der gewünschten Treffer Anzahl der Kombinationen Wahrscheinlichkeit eines Treffer Wahrscheinlichkeit einer Niete Handelt es sich um eine solche diskrete Zufallsvariable, dann nennt man die dazugehörige Verteilung auch binomialverteilt und schreibt 3~ ; 5. Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten (gerade auch kumuliert) können direkt mit Hilfe der Tabelle der Binomialverteilungabgelesen werden. 180

9 Neben dem Vorteil, dass sich ein Großteil von Fragen aus der Wahrscheinlichkeit auf die Situation Treffer oder Niete reduzieren lässt, können aufgrund der binomialverteilten Zufallsvariable 3auch verschiedene wichtige Werte der Statistik sehr einfach bestimmt werden. Erwartungswert: ; 3 5 Varianz: <= 3 5 1&5 Beispiel: Wir haben eine gezinkte Münze, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% Wappen anzeigt. Nun stellt sich die Frage, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für siebenmal Wappen bei zehnmaligen Werfen ist. 10; 4 7; > 1& > 0,4 Es handelt sich somit um eine binomialverteilte Zufallsvariable, so dass 3~ 10; 0,6 gilt ,6 0,4 + 0,

10 Für das letzte Beispiel mit 3~ 10;0,6 und 4 7ergibt sich weiter: Erwartungswert: Varianz: ; ,66 <= 3 5 1&5 10 0,6 0,42,4 Graphisch bildet die Binomialverteilung immer die sogenannte Gaußsche Glockenkurve und sieht aufgrund unseres letzten Beispiels so aus: 0,30 0,20 0,10 0,

10,4 2,5 0,05,A 1&5 0,95 Via Formel: 3 2 10 2 0,05 0,95 0,0746 Sollten Sie direkt über das

11 Bei einem Glücksspiel gewinnt man mit einer Wahrscheinlichkeit von 5%, sofern man aus 10 Kugeln zwei markierte Exemplare zieht. 10,4 2,5 0,05,A 1&5 0,95 Via Formel: ,05 0,95 0,0746 Sollten Sie direkt über das Komplementärereignis sprich Gegenwahrscheinlichkeit gehen, nutzen Sie die rechte Spalte, um die Zufallsvariable abzulesen (siehe Beispiel S.175). 183

12 Um Fragen nach Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsvariablen zu berechnen, die mittels einer Ungleichung beschrieben wird, nutzt man die Tabelle der kumulierten Binomialverteilungen. Man sollte darauf achten, dass stets eine C- Beziehung entsteht bzw. diese erzeugen. 3 D4 1& 3 C4 Beispiel: Bei einer Produktion von Glühbirnen können mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% farbliche Unterschiede entstehen. Sollten bei einer Stichprobe aus 100 Birnen mehr als 10 von ihnen defekt sein, erhält der Käufer einen Preisnachlass von 25%. Sie erhalten somit: 100,4 D10,5 0,1,A 1&5 0,9 Umwandlung : 3 D10 1& 3 C10 Ohne die folgende Tabelle der kumulierten Binomialverteilung müsste man alle Einzelwahrscheinlichkeiten für 4 0;1;2 ;9;10berechnen. 184

13 Sie erhalten über die Tabelle für 100 und 50,1 den Wert für 3 C10 0,5832: 3 D10 1&0,58320,4168 Der Käufer erhält somit mit einer Wahrscheinlichkeit von 41,68% den Preisnachlass. 185

14 1. Ein bekannter Hersteller von Schokolade verspricht in einer Aktion, dass in jeder sechsten Tafel eine besondere Überraschung versteckt sei. Voller Freude kauft Egon gleich 20 Tafeln der Schokolade. a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den 20 Tafeln genau 4 Überraschungen zu befinden? b) Wie hoch ist Wahrscheinlichkeit keine der Überraschungen zu finden? c) Tatsächlich befinden sich in den 20 Tafeln exakt drei Überraschungen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in den ersten 5 Tafeln zwei der drei Überraschungen befinden? d) Bei einer Stichprobe werden 100 Tafeln geprüft. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit mit 5 dafür weniger als 10 Tafeln bzw. W weniger als 20 Tafeln zu finden. 186

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