Institut für Biometrie und klinische Forschung. WiSe 2012/2013

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1 Klinische Forschung WWU Münster Pflichtvorlesung zum Querschnittsfach Epidemiologie, Biometrie und Med. Informatik Praktikum der Medizinischen Biometrie (3) Überblick. Deskriptive Statistik I 2. Deskriptive Statistik II 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen - Zufallsereignis und Wahrscheinlichkeit - Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Binomialverteilung - Normalverteilung - Induktiver Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit 4. Induktive Statistik 4 Zufallsexperiment Experiment mit unbekanntem Ausgang Beispiel: Würfelwurf X Zufallsereignis: Möglicher Ausgang des Experiments Beispiel:, d.h. [X=3] Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses Beispiel: P(X=3) = /6 Definition und Interpretation von Wahrscheinlichkeiten Anzahl günstiger Fälle für das betrachtete Ereignis Laplace: P Anzahl möglicher Fälle #( x x 3) Grenzwert relativer Häufigkeiten: P( X 3) n n 3. W'rechnung und ZV Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit 5

2 Axiome von Kolmogoroff 0 P(A) P(A) = 0 unmögliches Ereignis P(A) = sicheres Ereignis Falls sich zwei Ereignisse gegenseitig ausschließen, so gilt P(AB) = P(A) + P(B) Daraus folgt: P(A C ) = -P(A) Gegenwahrscheinlichkeit Beispiel Würfelwurf: P( gerade ) = P( ungerade ) 3. W'rechnung und ZV Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit 6 Beispiele für Wahrscheinlichkeiten Würfelwurf: P(X=3) = /6 Lostrommel mit 00 Losen, davon 0 Gewinne: P( Gewinn ) = 0/00 = 0. = 0% P( 6 Richtige im Lotto ) Einfacher Würfelwurf: P( gerade ) = 3/6 = /2 Zweifacher Würfelwurf: P(Summe=7) = 6/36 Bedingte Wahrscheinlichkeit: P( Würfel=3 ungerade ) = /3 Geschlecht einer zufällig ausgewählten Person: P(weiblich) W'rechnung und ZV Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit 7 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten () Gegeben seien zwei Zufallsereignisse A und B. Dann gilt der Additionssatz: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) Beispiel Würfelwurf Ereignis A: gerade Zahl, d.h. {2,4,6} Ereignis B: größer als 3, d.h. {4,5,6} P(AB) = P({2,4,5,6}) = P(A) + P(B) P(AB) = P({2,4,6}) + P({4,5,6}) P({4,6}) = 3/6 + 3/6 2/6 = 4/6 Venn-Diagramm 3. W'rechnung und ZV Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit 8

3 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (2) Gegeben seien zwei Zufallsereignisse A und B. Dann gilt der Additionssatz: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) Multiplikationssatz: P(AB) = P(B) P(A B) <=> P(A B) = P(AB) / P(B) Beispiel Würfelwurf Ereignis A: gerade Zahl, d.h. {2,4,6} Ereignis B: größer oder gleich 4, d.h. {4,5,6} P(A B) = P({2,4,6} {4,5,6}) = 2/3 Venn-Diagramm = P(AB) / P(B) = P({4,6}) / P({4,5,6}) = (2/6) / (3/6) = 2/3 3. W'rechnung und ZV Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit 9 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (3) Gegeben seien zwei Zufallsereignisse A und B. Dann gilt der Additionssatz: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) Multiplikationssatz: P(AB) = P(B) P(A B) <=> P(A B) = P(AB) / P(B) Stochastische Unabhängigkeit Definition: P(A B) = P(A) bzw. P(B A) = P(B) <=> P(AB) = P(B) P(A B) = P(B) P(A) Satz der totalen Wahrscheinlichkeit P(A) = P(A B ) P(B ) + P(A B 2 ) P(B 2 ) Satz von Bayes P(A B) = P(B A) P(A) / P(B) 3. W'rechnung und ZV Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit 0 Überblick. Deskriptive Statistik I 2. Deskriptive Statistik II 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen - Zufallsereignis und Wahrscheinlichkeit - Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Binomialverteilung - Normalverteilung - Induktiver Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit 4. Induktive Statistik

4 Zufallsvariable = Zufallsexperiment mit unbekanntem Ausgang Beispiele: mögliche Realisationen : Würfelwurf {,2,3,4,5,6} Geschlecht einer zufällig ausgewählten Person {, } Alter einer zufällig ausgewählten Person [0,50] Therapieerfolg bei der Behandlung einer bestimmten Erkrankung {Erfolg, Misserfolg} Therapie, die einem Patienten in einer klinischen Studie durch Randomisierung zugewiesen wird {Verum,Plazebo} 2 Wahrscheinlichkeitsverteilung Charakterisierung einer Zufallsvariablen: Was kann man über die Zufallsvariable sagen, bevor das Experiment durchgeführt wurde, d.h. vor Kenntnis des Ausgangs? Wahrscheinlichkeitsverteilung Angabe von Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments Beispiel Würfelwurf: Wahrscheinlichkeit = Relative Häufigkeit bei unendlich-facher Wiederholung des Zufallsexperiments Wahrscheinlichkeitsverteilung Charakterisierung einer Zufallsvariablen: Was kann man über die Zufallsvariable sagen, bevor das Experiment durchgeführt wurde, d.h. vor Kenntnis des Ausgangs? Wahrscheinlichkeitsverteilung Angabe von Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments Beispiel Behandlungserfolg einer Therapie: Wahrscheinlichkeit = Relative Häufigkeit bei unendlich-facher Wiederholung des Zufallsexperiments Erfolg Misserfolg 4

5 Wahrscheinlichkeitsverteilung Charakterisierung einer Zufallsvariablen: Was kann man über die Zufallsvariable sagen, bevor das Experiment durchgeführt wurde, d.h. vor Kenntnis des Ausgangs? Wahrscheinlichkeitsverteilung Angabe von Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments 00 Beispiel 80 Behandlungserfolg einer Therapie: Typen von Zufallsvariablen: - qualitativ: nominal / ordinal - quantitativ: diskret / stetig Erfolg Misserfolg 6 Wahrscheinlichkeitsverteilung Charakterisierung einer Zufallsvariablen: Was kann man über die Zufallsvariable sagen, bevor das Experiment durchgeführt wurde, d.h. vor Kenntnis des Ausgangs? Wahrscheinlichkeitsverteilung Angabe von Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments Beispiel Alter einer zufällig ausgewählten Person: Wahrscheinlichkeitsmasse Typen von Zufallsvariablen: - qualitativ: nominal / ordinal - quantitativ: diskret / stetig 2. Induktive Statistik Zufallsvariable & Wahrscheinlichkeitsvtlg

6 Überblick. Deskriptive Statistik I 2. Deskriptive Statistik II 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen - Zufallsereignis und Wahrscheinlichkeit - Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Binomialverteilung - Normalverteilung - Induktiver Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit 4. Induktive Statistik 9 Binomialverteilung () Zufallsexperiment: 20 Patienten werden mit einer bestimmten Therapie behandelt, anschließend wird die Anzahl erfolgreich behandelter Patienten registriert. Mögliche Ausgänge des Zufallsexperiments: {0,,2,3,,20} Wahrscheinlichkeiten für die Ausgänge? Binomialverteilung: n Patienten werden behandelt. Die Erfolgswahrscheinlichkeit der Therapie beträgt in jedem Fall p. Dann ist die Anzahl erfolgreich behandelter Patienten eine binomialverteilte Zufallsvariable und es gilt für k{0,,2,3,,n}: n k nk P( X k) p ( p) k 20

7 Binomialverteilung (2) 0.25 Bin(n=0,p=0.5) Binomialverteilung (3) 0.30 Bin(n=0,p=0.2) Binomialverteilung (4) 0.5 Bin(n=20,p=0.4)

8 Binomialverteilung (5) Java-Applet 5.2 Binomialverteilung 5.5 Javascript und Applet - diskrete Verteilungen 24 Überblick. Deskriptive Statistik I 2. Deskriptive Statistik II 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen - Zufallsereignis und Wahrscheinlichkeit - Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Binomialverteilung - Normalverteilung - Induktiver Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit 4. Induktive Statistik 25 Wahrscheinlichkeitsverteilung Charakterisierung einer Zufallsvariablen: Was kann man über die Zufallsvariable sagen, bevor das Experiments durchgeführt wurde, dh vor Kenntnis des Ausgangs? Wahrscheinlichkeitsverteilung Angabe von Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments Beispiel Alter einer zufällig ausgewählten Person: Wahrscheinlichkeitsmasse Typen von Zufallsvariablen: - qualitativ: nominal / ordinal - quantitativ: diskret / stetig 2. Induktive Statistik Zufallsvariable & Wahrscheinlichkeitsvtlg

9 Normalverteilung (2) Beispiel: Verteilung des Alters einer zufällig ausgewählten Person f(x) f ( x) e 2 2 x Alter (Jahre) x 28 Normalverteilung (3) Die Parameter μ und σ steuern die Gestalt der Glockenkurve. µ-2 µ- µ µ+ µ+2 μ : Erwartungswert mittlere Lage der Wahrscheinlichkeitsmasse σ : Standardabweichung Streuung 29 Normalverteilung (4) Wahrscheinlichkeit der Realisation einer normalverteilten Zufallsvariable X P( a X b) b a a b b f ( x) dx e 2 a 2 x 2 dx 30

10 Normalverteilung (5) Beispiel: Die Körpergröße erwachsener Männer in einer bestimmten Population sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit μ=75 und σ=0.. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mann aus der Population zwischen 66 und 8cm groß ist? 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mann kleiner als 77cm ist? zu (): P( 66 X 8 ) = zu (2): P(X 77) = Verteilungsfunktion 3 Normalverteilung (6) µ-3 µ-2 µ % Flächenanteile 95.45% 99.74% Interpretation: Ca. 95% der Realisationen einer normalverteilten Zufallsvariablen liegen erwartungsgemäß in einem Bereich von μ±2 σ. µ µ+ µ+2 µ+3 32 Normalverteilung (7) 7.4 Javascript und Applet - stetige Verteilungen 33

11 Überblick. Deskriptive Statistik I 2. Deskriptive Statistik II 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen - Zufallsereignis und Wahrscheinlichkeit - Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Binomialverteilung - Normalverteilung - Induktiver Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit 4. Induktive Statistik 34 Zufallsvariablen und Merkmale Beispiel: Zufallsvariable bzw. Zufallsexperiment Therapieerfolg Theoretischer Ansatz: Wahrscheinlichkeitsverteilung Empirischer Ansatz: Erfolg Misserfolg patnr sex alter blutgru therap Erfolg A B A 2 0 Merkmalswerte = Stichprobe von Realisationen der Zufallsvariable 3. W'rechnung und ZV Induktiver Schluss 35 Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Beispiel: Erfolgswahrscheinlichkeit einer Therapie Empirische Information n-fache Realisation des Zufallsexperiments -> Bestimmung der relativen Häufigkeit des Zielereignisses = relative Erfolgsrate Anzahl beobachteter Behandlungserfolge Gesamte Anzahl n behandelter Patienten Theoretische Wahrscheinlichkeit P =? z.b. Behandlung von n=00 Patienten: Relative Erfolgsrate h=9% Nutzung der relativen Häufigkeit des Zielereignisses zur Schätzung der Wahrscheinlichkeit 3. W'rechnung und ZV Induktiver Schluss 36

12 Relative Häufigkeit in der Grundgesamtheit Beispiel: Erfolgswahrscheinlichkeit einer Therapie Empirische Information n-fache Realisation des Zufallsexperiments -> Bestimmung der relativen Häufigkeit des Zielereignisses = relative Erfolgsrate Anzahl beobachteter Behandlungserfolge Gesamte Anzahl n behandelter Patienten z.b. Behandlung von n=00 Patienten: Relative Erfolgsrate h=9% Theoretische Wahrscheinlichkeit P = Relative Häufigkeit in der Grundgesamtheit: Wie viele Behandlungserfolge würde ich beobachten, wenn ich nicht nur die n Patienten der Stichprobe behandeln würde, sondern sämtliche Patienten der Grundgesamtheit? Nutzung der relativen Häufigkeit der Stichprobe zur Schätzung der entsprechenden Erfolgsrate in der Grundgesamtheit 3. W'rechnung und ZV Induktiver Schluss 37 Induktiver Schluss () Beispiel: Erfolgswahrscheinlichkeit einer Therapie Empirische Information n-fache Realisation des Zufallsexperiments -> Bestimmung der relativen Häufigkeit des Zielereignisses = relative Erfolgsrate Relative Häufigkeit in der Grundgesamtheit: Wie viele Behandlungserfolge würde ich beobachten, wenn ich nicht nur die n Patienten der Stichprobe behandeln würde, sondern sämtliche Patienten der Grundgesamtheit? Deskriptive Statistik: Beschreibung des empirischen Stichprobenergebnisses Induktive Statistik: Induktiver Schluss von der empirischen Information der Stichprobe auf die Grundgesamtheit. 3. W'rechnung und ZV Induktiver Schluss 38 Induktiver Schluss (2) Beispiel: Erfolgswahrscheinlichkeit einer Therapie Empirische Information n-fache Realisation des Zufallsexperiments -> Bestimmung der relativen Häufigkeit des Zielereignisses = relative Erfolgsrate Relative Häufigkeit in der Grundgesamtheit: Wie viele Behandlungserfolge würde ich beobachten, wenn ich nicht nur die n Patienten der Stichprobe behandeln würde, sondern sämtliche Patienten der Grundgesamtheit? Deskriptive Statistik: Relative Erfolgsrate in der Stichprobe, z.b. h=9% Induktive Statistik: Schätzung der unbekannten Erfolgsrate in der GG, P h=9% mit Konfidenzintervall.8% 28.% 3. W'rechnung und ZV Induktiver Schluss 39

13 Induktiver Schluss (3): Stetige ZV Empirische Kenngröße x X X XXX X X X X X systolischer Blutdruck (mm Hg) x: (arithmetischer) Mittelwert Mittlere Lage der Stichprobenwerte Theoretische Kenngröße Deskriptive Statistik: Beschreibung Empirischer Mittelwert des empirischen der Stichprobe: Stichprobenergebnisses x=2.4mmhg Induktive Statistik: Induktiver Schätzung Schluss des entsprechenden von der empirischen Mittelwertes Information in der GG: der µ x=2.4 Stichprobe mit auf Konfidenzintervall die Grundgesamtheit mmhg µ systolischer Blutdruck (mm Hg) µ: Erwartungswert = Arithmetischer Mittelwert über alle Patienten der Grundgesamtheit 3. W'rechnung und ZV Induktiver Schluss 40 Aufgabe Im folgenden Venn-Diagramm sei A das Ereignis Blutgruppe A und R das Ereignis Rhesusfaktor positiv. Die schraffierte Fläche bezeichnet das Ereignis, dass. Blutgruppe A und Rhesusfaktor positiv gemeinsam vorliegen 2. Blutgruppe B oder Rh positiv vorliegt 3. nur Blutgruppe A, Rh positiv vorliegt 4. nur Blutgruppe A, Rh negativ vorliegt 5. andere Blutgruppe als A, Rh positiv vorliegt. 0% 0% 0% 0% 0% Aufgabe 2 Nach bisheriger Erfahrung in einer Zahnklinik muss davon ausgegangen werden, dass auf je 00 Patienten bei 20 Patienten ein chirurgischer Eingriff nötig ist (Ereignis A). Außerdem werden in dieser Klinik jährlich durchschnittlich 000 Patienten mit Parodontitis behandelt (Ereignis B). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(A) für das Ereignis A= chirurgischer Eingriff unter der Annahme, dass die Ereignisse A und B unabhängig sind?. 20 / / / / / / 000 0% 0% 0% 0% 0% 00 / / / / 000

14 Aufgabe 3 Die nebenstehende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsvariablen mit den Parametern n und p. Die Zufallsvariable wird gebildet, indem n einzelne Experimente durchgeführt werden, die jeweils erfolgreich oder erfolglos verlaufen können, und anschließend die Anzahl der Erfolge registriert wird. Die Erfolgswahrscheinlichkeit der einzelnen Experimente wird durch den Parameter p wiedergegeben. Welche Werte für n und p liegen der dargestellten Zufallsvariablen zugrunde?. n=, p= n=, p= n=0, p= n=0, p= n=0, p=0.7 n=, p=0.5 0% 0% 0% 0% 0% n=, p=0.8 n=0, p=0.3 n=0, p= n=0, p=0.7 Aufgabe 4 Welche der folgenden Eigenschaften einer Normalverteilung trifft nicht notwendig zu: Die Normalverteilung N(μ,σ²). ist symmetrisch 2. ist glockenförmig 3. ist eine stetige Verteilung 4. hat den Erwartungswert 0 5. ist eine eingipflige Verteilung 0% 0% 0% 0% 0% Aufgabe 5 In einer Klinik sei die Körpergröße aller Neugeborenen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 55 cm und einer Standardabweichung von σ = 2.5 cm. Wie groß ist in etwa die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Neugeborenes aus dieser Grundgesamtheit zwischen 50 und 60 cm groß ist?. 25 % % % % % 0% 0% 0% 0% 0% 25% 50% 60% 95% 45 99%