Institut für Biometrie und klinische Forschung. WiSe 2012/2013

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Institut für Biometrie und klinische Forschung. WiSe 2012/2013"

Transkript

1 Klinische Forschung WWU Münster Pflichtvorlesung zum Querschnittsfach Epidemiologie, Biometrie und Med. Informatik Praktikum der Medizinischen Biometrie (3) Überblick. Deskriptive Statistik I 2. Deskriptive Statistik II 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen - Zufallsereignis und Wahrscheinlichkeit - Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Binomialverteilung - Normalverteilung - Induktiver Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit 4. Induktive Statistik 4 Zufallsexperiment Experiment mit unbekanntem Ausgang Beispiel: Würfelwurf X Zufallsereignis: Möglicher Ausgang des Experiments Beispiel:, d.h. [X=3] Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses Beispiel: P(X=3) = /6 Definition und Interpretation von Wahrscheinlichkeiten Anzahl günstiger Fälle für das betrachtete Ereignis Laplace: P Anzahl möglicher Fälle #( x x 3) Grenzwert relativer Häufigkeiten: P( X 3) n n 3. W'rechnung und ZV Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit 5

2 Axiome von Kolmogoroff 0 P(A) P(A) = 0 unmögliches Ereignis P(A) = sicheres Ereignis Falls sich zwei Ereignisse gegenseitig ausschließen, so gilt P(AB) = P(A) + P(B) Daraus folgt: P(A C ) = -P(A) Gegenwahrscheinlichkeit Beispiel Würfelwurf: P( gerade ) = P( ungerade ) 3. W'rechnung und ZV Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit 6 Beispiele für Wahrscheinlichkeiten Würfelwurf: P(X=3) = /6 Lostrommel mit 00 Losen, davon 0 Gewinne: P( Gewinn ) = 0/00 = 0. = 0% P( 6 Richtige im Lotto ) Einfacher Würfelwurf: P( gerade ) = 3/6 = /2 Zweifacher Würfelwurf: P(Summe=7) = 6/36 Bedingte Wahrscheinlichkeit: P( Würfel=3 ungerade ) = /3 Geschlecht einer zufällig ausgewählten Person: P(weiblich) W'rechnung und ZV Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit 7 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten () Gegeben seien zwei Zufallsereignisse A und B. Dann gilt der Additionssatz: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) Beispiel Würfelwurf Ereignis A: gerade Zahl, d.h. {2,4,6} Ereignis B: größer als 3, d.h. {4,5,6} P(AB) = P({2,4,5,6}) = P(A) + P(B) P(AB) = P({2,4,6}) + P({4,5,6}) P({4,6}) = 3/6 + 3/6 2/6 = 4/6 Venn-Diagramm 3. W'rechnung und ZV Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit 8

3 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (2) Gegeben seien zwei Zufallsereignisse A und B. Dann gilt der Additionssatz: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) Multiplikationssatz: P(AB) = P(B) P(A B) <=> P(A B) = P(AB) / P(B) Beispiel Würfelwurf Ereignis A: gerade Zahl, d.h. {2,4,6} Ereignis B: größer oder gleich 4, d.h. {4,5,6} P(A B) = P({2,4,6} {4,5,6}) = 2/3 Venn-Diagramm = P(AB) / P(B) = P({4,6}) / P({4,5,6}) = (2/6) / (3/6) = 2/3 3. W'rechnung und ZV Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit 9 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (3) Gegeben seien zwei Zufallsereignisse A und B. Dann gilt der Additionssatz: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) Multiplikationssatz: P(AB) = P(B) P(A B) <=> P(A B) = P(AB) / P(B) Stochastische Unabhängigkeit Definition: P(A B) = P(A) bzw. P(B A) = P(B) <=> P(AB) = P(B) P(A B) = P(B) P(A) Satz der totalen Wahrscheinlichkeit P(A) = P(A B ) P(B ) + P(A B 2 ) P(B 2 ) Satz von Bayes P(A B) = P(B A) P(A) / P(B) 3. W'rechnung und ZV Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit 0 Überblick. Deskriptive Statistik I 2. Deskriptive Statistik II 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen - Zufallsereignis und Wahrscheinlichkeit - Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Binomialverteilung - Normalverteilung - Induktiver Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit 4. Induktive Statistik

4 Zufallsvariable = Zufallsexperiment mit unbekanntem Ausgang Beispiele: mögliche Realisationen : Würfelwurf {,2,3,4,5,6} Geschlecht einer zufällig ausgewählten Person {, } Alter einer zufällig ausgewählten Person [0,50] Therapieerfolg bei der Behandlung einer bestimmten Erkrankung {Erfolg, Misserfolg} Therapie, die einem Patienten in einer klinischen Studie durch Randomisierung zugewiesen wird {Verum,Plazebo} 2 Wahrscheinlichkeitsverteilung Charakterisierung einer Zufallsvariablen: Was kann man über die Zufallsvariable sagen, bevor das Experiment durchgeführt wurde, d.h. vor Kenntnis des Ausgangs? Wahrscheinlichkeitsverteilung Angabe von Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments Beispiel Würfelwurf: Wahrscheinlichkeit = Relative Häufigkeit bei unendlich-facher Wiederholung des Zufallsexperiments Wahrscheinlichkeitsverteilung Charakterisierung einer Zufallsvariablen: Was kann man über die Zufallsvariable sagen, bevor das Experiment durchgeführt wurde, d.h. vor Kenntnis des Ausgangs? Wahrscheinlichkeitsverteilung Angabe von Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments Beispiel Behandlungserfolg einer Therapie: Wahrscheinlichkeit = Relative Häufigkeit bei unendlich-facher Wiederholung des Zufallsexperiments Erfolg Misserfolg 4

5 Wahrscheinlichkeitsverteilung Charakterisierung einer Zufallsvariablen: Was kann man über die Zufallsvariable sagen, bevor das Experiment durchgeführt wurde, d.h. vor Kenntnis des Ausgangs? Wahrscheinlichkeitsverteilung Angabe von Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments 00 Beispiel 80 Behandlungserfolg einer Therapie: Typen von Zufallsvariablen: - qualitativ: nominal / ordinal - quantitativ: diskret / stetig Erfolg Misserfolg 6 Wahrscheinlichkeitsverteilung Charakterisierung einer Zufallsvariablen: Was kann man über die Zufallsvariable sagen, bevor das Experiment durchgeführt wurde, d.h. vor Kenntnis des Ausgangs? Wahrscheinlichkeitsverteilung Angabe von Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments Beispiel Alter einer zufällig ausgewählten Person: Wahrscheinlichkeitsmasse Typen von Zufallsvariablen: - qualitativ: nominal / ordinal - quantitativ: diskret / stetig 2. Induktive Statistik Zufallsvariable & Wahrscheinlichkeitsvtlg

6 Überblick. Deskriptive Statistik I 2. Deskriptive Statistik II 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen - Zufallsereignis und Wahrscheinlichkeit - Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Binomialverteilung - Normalverteilung - Induktiver Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit 4. Induktive Statistik 9 Binomialverteilung () Zufallsexperiment: 20 Patienten werden mit einer bestimmten Therapie behandelt, anschließend wird die Anzahl erfolgreich behandelter Patienten registriert. Mögliche Ausgänge des Zufallsexperiments: {0,,2,3,,20} Wahrscheinlichkeiten für die Ausgänge? Binomialverteilung: n Patienten werden behandelt. Die Erfolgswahrscheinlichkeit der Therapie beträgt in jedem Fall p. Dann ist die Anzahl erfolgreich behandelter Patienten eine binomialverteilte Zufallsvariable und es gilt für k{0,,2,3,,n}: n k nk P( X k) p ( p) k 20

7 Binomialverteilung (2) 0.25 Bin(n=0,p=0.5) Binomialverteilung (3) 0.30 Bin(n=0,p=0.2) Binomialverteilung (4) 0.5 Bin(n=20,p=0.4)

8 Binomialverteilung (5) Java-Applet 5.2 Binomialverteilung 5.5 Javascript und Applet - diskrete Verteilungen 24 Überblick. Deskriptive Statistik I 2. Deskriptive Statistik II 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen - Zufallsereignis und Wahrscheinlichkeit - Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Binomialverteilung - Normalverteilung - Induktiver Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit 4. Induktive Statistik 25 Wahrscheinlichkeitsverteilung Charakterisierung einer Zufallsvariablen: Was kann man über die Zufallsvariable sagen, bevor das Experiments durchgeführt wurde, dh vor Kenntnis des Ausgangs? Wahrscheinlichkeitsverteilung Angabe von Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments Beispiel Alter einer zufällig ausgewählten Person: Wahrscheinlichkeitsmasse Typen von Zufallsvariablen: - qualitativ: nominal / ordinal - quantitativ: diskret / stetig 2. Induktive Statistik Zufallsvariable & Wahrscheinlichkeitsvtlg

9 Normalverteilung (2) Beispiel: Verteilung des Alters einer zufällig ausgewählten Person f(x) f ( x) e 2 2 x Alter (Jahre) x 28 Normalverteilung (3) Die Parameter μ und σ steuern die Gestalt der Glockenkurve. µ-2 µ- µ µ+ µ+2 μ : Erwartungswert mittlere Lage der Wahrscheinlichkeitsmasse σ : Standardabweichung Streuung 29 Normalverteilung (4) Wahrscheinlichkeit der Realisation einer normalverteilten Zufallsvariable X P( a X b) b a a b b f ( x) dx e 2 a 2 x 2 dx 30

10 Normalverteilung (5) Beispiel: Die Körpergröße erwachsener Männer in einer bestimmten Population sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit μ=75 und σ=0.. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mann aus der Population zwischen 66 und 8cm groß ist? 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mann kleiner als 77cm ist? zu (): P( 66 X 8 ) = zu (2): P(X 77) = Verteilungsfunktion 3 Normalverteilung (6) µ-3 µ-2 µ % Flächenanteile 95.45% 99.74% Interpretation: Ca. 95% der Realisationen einer normalverteilten Zufallsvariablen liegen erwartungsgemäß in einem Bereich von μ±2 σ. µ µ+ µ+2 µ+3 32 Normalverteilung (7) 7.4 Javascript und Applet - stetige Verteilungen 33

11 Überblick. Deskriptive Statistik I 2. Deskriptive Statistik II 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen - Zufallsereignis und Wahrscheinlichkeit - Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Binomialverteilung - Normalverteilung - Induktiver Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit 4. Induktive Statistik 34 Zufallsvariablen und Merkmale Beispiel: Zufallsvariable bzw. Zufallsexperiment Therapieerfolg Theoretischer Ansatz: Wahrscheinlichkeitsverteilung Empirischer Ansatz: Erfolg Misserfolg patnr sex alter blutgru therap Erfolg A B A 2 0 Merkmalswerte = Stichprobe von Realisationen der Zufallsvariable 3. W'rechnung und ZV Induktiver Schluss 35 Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Beispiel: Erfolgswahrscheinlichkeit einer Therapie Empirische Information n-fache Realisation des Zufallsexperiments -> Bestimmung der relativen Häufigkeit des Zielereignisses = relative Erfolgsrate Anzahl beobachteter Behandlungserfolge Gesamte Anzahl n behandelter Patienten Theoretische Wahrscheinlichkeit P =? z.b. Behandlung von n=00 Patienten: Relative Erfolgsrate h=9% Nutzung der relativen Häufigkeit des Zielereignisses zur Schätzung der Wahrscheinlichkeit 3. W'rechnung und ZV Induktiver Schluss 36

12 Relative Häufigkeit in der Grundgesamtheit Beispiel: Erfolgswahrscheinlichkeit einer Therapie Empirische Information n-fache Realisation des Zufallsexperiments -> Bestimmung der relativen Häufigkeit des Zielereignisses = relative Erfolgsrate Anzahl beobachteter Behandlungserfolge Gesamte Anzahl n behandelter Patienten z.b. Behandlung von n=00 Patienten: Relative Erfolgsrate h=9% Theoretische Wahrscheinlichkeit P = Relative Häufigkeit in der Grundgesamtheit: Wie viele Behandlungserfolge würde ich beobachten, wenn ich nicht nur die n Patienten der Stichprobe behandeln würde, sondern sämtliche Patienten der Grundgesamtheit? Nutzung der relativen Häufigkeit der Stichprobe zur Schätzung der entsprechenden Erfolgsrate in der Grundgesamtheit 3. W'rechnung und ZV Induktiver Schluss 37 Induktiver Schluss () Beispiel: Erfolgswahrscheinlichkeit einer Therapie Empirische Information n-fache Realisation des Zufallsexperiments -> Bestimmung der relativen Häufigkeit des Zielereignisses = relative Erfolgsrate Relative Häufigkeit in der Grundgesamtheit: Wie viele Behandlungserfolge würde ich beobachten, wenn ich nicht nur die n Patienten der Stichprobe behandeln würde, sondern sämtliche Patienten der Grundgesamtheit? Deskriptive Statistik: Beschreibung des empirischen Stichprobenergebnisses Induktive Statistik: Induktiver Schluss von der empirischen Information der Stichprobe auf die Grundgesamtheit. 3. W'rechnung und ZV Induktiver Schluss 38 Induktiver Schluss (2) Beispiel: Erfolgswahrscheinlichkeit einer Therapie Empirische Information n-fache Realisation des Zufallsexperiments -> Bestimmung der relativen Häufigkeit des Zielereignisses = relative Erfolgsrate Relative Häufigkeit in der Grundgesamtheit: Wie viele Behandlungserfolge würde ich beobachten, wenn ich nicht nur die n Patienten der Stichprobe behandeln würde, sondern sämtliche Patienten der Grundgesamtheit? Deskriptive Statistik: Relative Erfolgsrate in der Stichprobe, z.b. h=9% Induktive Statistik: Schätzung der unbekannten Erfolgsrate in der GG, P h=9% mit Konfidenzintervall.8% 28.% 3. W'rechnung und ZV Induktiver Schluss 39

13 Induktiver Schluss (3): Stetige ZV Empirische Kenngröße x X X XXX X X X X X systolischer Blutdruck (mm Hg) x: (arithmetischer) Mittelwert Mittlere Lage der Stichprobenwerte Theoretische Kenngröße Deskriptive Statistik: Beschreibung Empirischer Mittelwert des empirischen der Stichprobe: Stichprobenergebnisses x=2.4mmhg Induktive Statistik: Induktiver Schätzung Schluss des entsprechenden von der empirischen Mittelwertes Information in der GG: der µ x=2.4 Stichprobe mit auf Konfidenzintervall die Grundgesamtheit mmhg µ systolischer Blutdruck (mm Hg) µ: Erwartungswert = Arithmetischer Mittelwert über alle Patienten der Grundgesamtheit 3. W'rechnung und ZV Induktiver Schluss 40 Aufgabe Im folgenden Venn-Diagramm sei A das Ereignis Blutgruppe A und R das Ereignis Rhesusfaktor positiv. Die schraffierte Fläche bezeichnet das Ereignis, dass. Blutgruppe A und Rhesusfaktor positiv gemeinsam vorliegen 2. Blutgruppe B oder Rh positiv vorliegt 3. nur Blutgruppe A, Rh positiv vorliegt 4. nur Blutgruppe A, Rh negativ vorliegt 5. andere Blutgruppe als A, Rh positiv vorliegt. 0% 0% 0% 0% 0% Aufgabe 2 Nach bisheriger Erfahrung in einer Zahnklinik muss davon ausgegangen werden, dass auf je 00 Patienten bei 20 Patienten ein chirurgischer Eingriff nötig ist (Ereignis A). Außerdem werden in dieser Klinik jährlich durchschnittlich 000 Patienten mit Parodontitis behandelt (Ereignis B). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(A) für das Ereignis A= chirurgischer Eingriff unter der Annahme, dass die Ereignisse A und B unabhängig sind?. 20 / / / / / / 000 0% 0% 0% 0% 0% 00 / / / / 000

14 Aufgabe 3 Die nebenstehende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsvariablen mit den Parametern n und p. Die Zufallsvariable wird gebildet, indem n einzelne Experimente durchgeführt werden, die jeweils erfolgreich oder erfolglos verlaufen können, und anschließend die Anzahl der Erfolge registriert wird. Die Erfolgswahrscheinlichkeit der einzelnen Experimente wird durch den Parameter p wiedergegeben. Welche Werte für n und p liegen der dargestellten Zufallsvariablen zugrunde?. n=, p= n=, p= n=0, p= n=0, p= n=0, p=0.7 n=, p=0.5 0% 0% 0% 0% 0% n=, p=0.8 n=0, p=0.3 n=0, p= n=0, p=0.7 Aufgabe 4 Welche der folgenden Eigenschaften einer Normalverteilung trifft nicht notwendig zu: Die Normalverteilung N(μ,σ²). ist symmetrisch 2. ist glockenförmig 3. ist eine stetige Verteilung 4. hat den Erwartungswert 0 5. ist eine eingipflige Verteilung 0% 0% 0% 0% 0% Aufgabe 5 In einer Klinik sei die Körpergröße aller Neugeborenen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 55 cm und einer Standardabweichung von σ = 2.5 cm. Wie groß ist in etwa die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Neugeborenes aus dieser Grundgesamtheit zwischen 50 und 60 cm groß ist?. 25 % % % % % 0% 0% 0% 0% 0% 25% 50% 60% 95% 45 99%

Fit for Abi & Study Stochastik

Fit for Abi & Study Stochastik Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie. Alea iacta est!

Wahrscheinlichkeitstheorie. Alea iacta est! Wahrscheinlichkeitstheorie Alea iacta est! "Wissenschaftliche Theorien, die auf Eigenschaften einer großen Zahl von Individuen rekurrieren, [...] werden anfällig gegen Fehlinterpretationen, wenn man die

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

SozialwissenschaftlerInnen II

SozialwissenschaftlerInnen II Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II Henning Best best@wiso.uni-koeln.de Universität zu Köln Forschungsinstitut für Soziologie Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.1 Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Mehr

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Universität Bielefeld 3. Mai 2005 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Ziehen einer Stichprobe ist die Realisierung eines Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet

Mehr

Institut für Biometrie und klinische Forschung. WiSe 2012/2013

Institut für Biometrie und klinische Forschung. WiSe 2012/2013 Klinische Forschung WWU Münster Pflichtvorlesung zum Querschnittsfach Epidemiologie, Biometrie und Med. Informatik Praktikum der Medizinischen Biometrie () WiSe /3 Univariate und bivariate Verfahren Univariate

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Marco Cattaneo Institut für Statistik Ludwig-Maximilians-Universität München Sommersemester 2011 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Diskrete Zufallsvariable 3. Stetige Zufallsvariable 4. Grenzwertsätze

Mehr

Modelle diskreter Zufallsvariablen

Modelle diskreter Zufallsvariablen Statistik 2 für SoziologInnen Modelle diskreter Zufallsvariablen Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Zufallsvariable Eine Variable (Merkmal) X, deren numerische Werte als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs aufgefasst

Mehr

1.5 Erwartungswert und Varianz

1.5 Erwartungswert und Varianz Ziel: Charakterisiere Verteilungen von Zufallsvariablen durch Kenngrößen (in Analogie zu Lage- und Streuungsmaßen der deskriptiven Statistik). Insbesondere: a) durchschnittlicher Wert Erwartungswert, z.b.

Mehr

Wichtige Definitionen und Aussagen

Wichtige Definitionen und Aussagen Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge

Mehr

1.5 Erwartungswert und Varianz

1.5 Erwartungswert und Varianz Ziel: Charakterisiere Verteilungen von Zufallsvariablen (Bildbereich also reelle Zahlen, metrische Skala) durch Kenngrößen (in Analogie zu Lage- und Streuungsmaßen der deskriptiven Statistik). Insbesondere:

Mehr

Philipp Sibbertsen Hartmut Lehne. Statistik. Einführung für Wirtschafts- und. Sozialwissenschaftler. 2., überarbeitete Auflage. 4^ Springer Gabler

Philipp Sibbertsen Hartmut Lehne. Statistik. Einführung für Wirtschafts- und. Sozialwissenschaftler. 2., überarbeitete Auflage. 4^ Springer Gabler Philipp Sibbertsen Hartmut Lehne Statistik Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler 2., überarbeitete Auflage 4^ Springer Gabler Inhaltsverzeichnis Teil I Deskriptive Statistik 1 Einführung

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Robert Galata, Sandro Scheid. Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL. Methoden - Beispiele - Anwendungen

Inhaltsverzeichnis. Robert Galata, Sandro Scheid. Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL. Methoden - Beispiele - Anwendungen Inhaltsverzeichnis Robert Galata, Sandro Scheid Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL Methoden - Beispiele - Anwendungen Herausgegeben von Robert Galata, Markus Wessler ISBN (Buch):

Mehr

Heute. Die Binomialverteilung. Poissonverteilung. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Heute. Die Binomialverteilung. Poissonverteilung. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Heute Die Binomialverteilung Poissonverteilung Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Arbeiten mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen Die Binomialverteilung Man werfe eine Münze n

Mehr

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus

Mehr

Kapitel 2. Wahrscheinlichkeit (wird heute behandelt) Kapitel 2. Wahrscheinlichkeit

Kapitel 2. Wahrscheinlichkeit (wird heute behandelt) Kapitel 2. Wahrscheinlichkeit Teil I: Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Kapitel 2. Wahrscheinlichkeit (wird heute behandelt) Kapitel 3: Bedingte Wahrscheinlichkeit Kapitel 4: Zufallsvariablen Kapitel 5: Erwartungswerte, Varianz, Kovarianz

Mehr

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Wahrscheinlichkeit Axiome nach Kolmogorov Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

Grundlagen der Statistik

Grundlagen der Statistik www.nwb.de NWB Studium Betriebswirtschaft Grundlagen der Statistik Band 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik Von Professor Dr. Jochen Schwarze 9., vollständig überarbeitete Auflage STUDIUM

Mehr

Population und Stichprobe Wahrscheinlichkeitstheorie II

Population und Stichprobe Wahrscheinlichkeitstheorie II Population und Stichprobe Wahrscheinlichkeitstheorie II 5. Sitzung 1 S. Peter Schmidt 2003 1 Stichprobenziehung als Zufallsexperiment Definition Stichprobe: Teilmenge der Elemente der Grundgesamtheit bzw.

Mehr

1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)?

1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)? 1. Was ist eine Wahrscheinlichkeit P(A)? Als Wahrscheinlichkeit verwenden wir ein Maß, welches die gleichen Eigenschaften wie die relative Häufigkeit h n () besitzt, aber nicht zufallsbehaftet ist. Jan

Mehr

5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)

5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 5.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte

Mehr

1 EINLEITUNG Allgemeines Kapitelübersicht Gebrauch dieses Buches Verwenden zusätzlicher Literatur...

1 EINLEITUNG Allgemeines Kapitelübersicht Gebrauch dieses Buches Verwenden zusätzlicher Literatur... Inhaltsverzeichnis 1 EINLEITUNG... 1 1.1 Allgemeines... 1 1.2 Kapitelübersicht... 2 1.3 Gebrauch dieses Buches... 3 1.4 Verwenden zusätzlicher Literatur... 4 DESKRIPTIVE STATISTIK 2 GRUNDLAGEN... 5 2.1

Mehr

Demokurs. Modul Grundlagen der Wirtschaftsmathematik Grundlagen der Statistik

Demokurs. Modul Grundlagen der Wirtschaftsmathematik Grundlagen der Statistik Demokurs Modul 31101 Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik Kurs 40601 Grundlagen der Statistik 13. Juli 2010 KE 1 2.4 Schiefe und Wölbung einer Verteilung Seite: 53 2.4 Schiefe und Wölbung

Mehr

I. Deskriptive Statistik 1

I. Deskriptive Statistik 1 I. Deskriptive Statistik 1 1. Einführung 3 1.1. Grundgesamtheit und Stichprobe.................. 5 1.2. Merkmale und Verteilungen..................... 6 1.3. Tabellen und Grafiken........................

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Lageparameter: Erwartungswert d) Erwartungswert

Mehr

Einführung in Quantitative Methoden

Einführung in Quantitative Methoden Einführung in Quantitative Methoden Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides 11. Mai 2011 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 1/40 Poisson-Verteilung Diese Verteilung

Mehr

Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 8 Treffer.

Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 8 Treffer. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 06.1008 Erwartungswert binomialverteilter Zufallsgrößen. Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40 mal durchgeführt,

Mehr

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet Kapitel 10 Zufall und Wahrscheinlichkeit 10.1. Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgang Klein-Omega ω Groß-Omega Ω Stellt Modelle bereit, die es erlauben zufallsabhängige Prozesse abzuschätzen

Mehr

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung 2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der P(X = x i ) = 1/N gilt, wenn N die Anzahl möglicher Realisierungen von

Mehr

Biostatistik, Winter 2011/12

Biostatistik, Winter 2011/12 Biostatistik, Winter 2011/12 Wahrscheinlichkeitstheorie:, Kenngrößen Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 7. Vorlesung: 09.12.2011 1/58 Inhalt 1 2 Kenngrößen von Lagemaße 2/58 mit Dichte Normalverteilung

Mehr

1. Einführung in die induktive Statistik

1. Einführung in die induktive Statistik Wichtige Begriffe 1. Einführung in die induktive Statistik Grundgesamtheit: Statistische Masse, die zu untersuchen ist, bzw. über die Aussagen getroffen werden soll Stichprobe: Teil einer statistischen

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung. Semester Begleitendes Skriptum zur Vorlesung im FH-Masterstudiengang Technisches Management von Günther Karigl FH Campus Wien 206/7 Inhaltsverzeichnis. Semester: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Streuungsparameter Varianz Var(X) bzw. σ 2 : [x i E(X)] 2 f(x i ), wenn X diskret Var(X)

Mehr

Arbeitsbuch zur deskriptiven und induktiven Statistik

Arbeitsbuch zur deskriptiven und induktiven Statistik Helge Toutenburg Michael Schomaker Malte Wißmann Christian Heumann Arbeitsbuch zur deskriptiven und induktiven Statistik Zweite, aktualisierte und erweiterte Auflage 4ü Springer Inhaltsverzeichnis 1. Grundlagen

Mehr

Statistik für Ingenieure Vorlesung 2

Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 24. Oktober 2016 2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Häufig ist es nützlich, Bedingungen

Mehr

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis VII Erst mal locker bleiben: Es f angt ganz einfach an! Keine Taten ohne Daten!

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis VII Erst mal locker bleiben: Es f angt ganz einfach an! Keine Taten ohne Daten! Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis VII 1 Erst mal locker bleiben: Es fängt ganz einfach an! 1 1.1 Subjektive Wahrscheinlichkeit - oder warum...?..... 4 1.2 Was Ethik mit Statistik zu tun hat - Pinocchio

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 11. November 2010 1 Erwartungswert und Varianz Erwartungswert Varianz und Streuung Rechenregeln Binomialverteilung

Mehr

Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt 2. Stock, Nordflügel R. 02-429 (Persike) R. 02-431 (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 2008/2009

Mehr

Binomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec

Binomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec Binomialverteilung Jakob Bernoulli (1654-1705) Ars Conjectandi Klassisches Verteilungsmodell für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Häufigkeit des Eintretens von Ereignissen in bestimmten noch

Mehr

Bereiche der Statistik

Bereiche der Statistik Bereiche der Statistik Deskriptive / Exploratorische Statistik Schließende Statistik Schließende Statistik Inferenz-Statistik (analytische, schließende oder konfirmatorische Statistik) baut auf der beschreibenden

Mehr

Schließende Statistik

Schließende Statistik Schließende Statistik [statistical inference] Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen.

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite. 1.0 Erste Begriffsbildungen Merkmale und Skalen 5

Inhaltsverzeichnis. Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite. 1.0 Erste Begriffsbildungen Merkmale und Skalen 5 Inhaltsverzeichnis Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite 1.0 Erste Begriffsbildungen 1 1.1 Merkmale und Skalen 5 1.2 Von der Urliste zu Häufigkeitsverteilungen 9 1.2.0 Erste Ordnung

Mehr

Einführung in die Statistik

Einführung in die Statistik Einführung in die Statistik 1. Deskriptive Statistik 2. Induktive Statistik 1. Deskriptive Statistik 1.0 Grundbegriffe 1.1 Skalenniveaus 1.2 Empirische Verteilungen 1.3 Mittelwerte 1.4 Streuungsmaße 1.0

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Begriffe Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt 2. Stock, Nordflügel R. 02-429 (Persike) R. 02-431 (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 2008/2009

Mehr

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie Priv.-Doz. Dr. H. Steinacker Wintersemester 2013/2014 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachte Wiederholungen eines Experimentes, gleicher Vorbereitung (z.b. Würfeln, Dart werfen, Doppelspaltexperiment,...)

Mehr

Psychologische Methodenlehre und Statistik I

Psychologische Methodenlehre und Statistik I Psychologische Methodenlehre und Statistik I Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr SS 2013 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 1/61 Zufallsexperiment

Mehr

Schließende Statistik

Schließende Statistik Schließende Statistik Die schließende Statistik befasst sich mit dem Rückschluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit (Population). Die Stichprobe muss repräsentativ für die Grundgesamtheit sein.

Mehr

7.5 Erwartungswert, Varianz

7.5 Erwartungswert, Varianz 7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k

Mehr

Klassifikation von Signifikanztests

Klassifikation von Signifikanztests Klassifikation von Signifikanztests nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängige = parametrische Tests verteilungsunabhängige = nichtparametrische Tests Bei parametrischen Tests werden im Modell Voraussetzungen

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Verteilung von Summen

Verteilung von Summen Verteilung von Summen Beispiel: Würfelwurf Frage: Wie verhält sich die Verteilung der Augensumme von -Würfeln bei wachsendem? Zur Beantwortung führen wir ein Simulationseperiment durch. 6 Würfe mit 1 Würfel

Mehr

Überblick. Linguistische Anwendungen: æ Spracherkennung æ Textretrival æ probabilistische Grammatiken: z.b. Disambiguierung. Problem: woher Daten?

Überblick. Linguistische Anwendungen: æ Spracherkennung æ Textretrival æ probabilistische Grammatiken: z.b. Disambiguierung. Problem: woher Daten? 1 Überblick æ Beschreibende Statistik: Auswertung von Experimenten und Stichproben æ Wahrscheinlichkeitsrechnung: Schlüsse aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten, Hilfsmittel: Kombinatorik æ Beurteilende Statistik:

Mehr

Ausgewählte spezielle Verteilungen

Ausgewählte spezielle Verteilungen Ausgewählte spezielle Verteilungen In Anwendungen werden oft Zufallsvariablen betrachtet, deren Verteilung einem Standardmodell entspricht. Zu den wichtigsten dieser Modelle gehören: diskrete Verteilungen:

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure Von Prof. Hubert Weber Fachhochschule Regensburg 3., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit zahlreichen Bildern, Tabellen sowie

Mehr

Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung

Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 5.05.0 Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung Erwartungswert binomialverteilter Zufallsgrößen Wird ein Bernoulli- Versuch, bei

Mehr

Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung

Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung HSR Hochschule für Technik Rapperswil Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung beinhaltet Teile des Skripts von Herrn Hardy von Lukas Wilhelm lwilhelm.net 12. Januar 2007 Inhaltsverzeichnis 1

Mehr

SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Aufbaukurs 1

SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Aufbaukurs 1 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 0 by Clifford Wolf SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das

Mehr

Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe. Eigenschaften der Stichprobe. Klasseneinteilung, Histogramm. Arithmetisches Mittel, empirische Varianz

Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe. Eigenschaften der Stichprobe. Klasseneinteilung, Histogramm. Arithmetisches Mittel, empirische Varianz - 1 - Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe Dimension, Umfang Skalierung Eigenschaften der Stichprobe kennzeichnende Größen Eigenschaften der Stichprobe kennzeichnende Größen Punktediagramm, Regressionsgerade,

Mehr

Modellanpassung und Parameterschätzung. A: Übungsaufgaben

Modellanpassung und Parameterschätzung. A: Übungsaufgaben 7 Modellanpassung und Parameterschätzung 1 Kapitel 7: Modellanpassung und Parameterschätzung A: Übungsaufgaben [ 1 ] Bei n unabhängigen Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments sei π die Wahrscheinlichkeit

Mehr

Zuverlässigkeitstheorie

Zuverlässigkeitstheorie 3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Jochen Seitz Fachgebiet Kommunikationsnetze 20. November 2008 Übersicht Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli 1 Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli

Mehr

1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente...

1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente... Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 1 1 Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten 5 1.1 Zufallsvorgänge.......................... 5 1.1.1 Ergebnismengen..................... 6 1.1.2 Ereignisse und ihre Verknüpfung............

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Günther Bourier Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Praxisorientierte Einführung Mit Aufgaben und Lösungen 3. F überarbeitete Auflage GABLER Inhaltsverzeichnis Vorwort Inhaltsverzeichnis

Mehr

Biomathematik für Mediziner, Klausur SS 2000 Seite 1

Biomathematik für Mediziner, Klausur SS 2000 Seite 1 Biomathematik für Mediziner, Klausur SS 2000 Seite 1 Aufgabe 1: Bei der Diagnose einer bestimmten Krankheit mit einem speziellen Diagnoseverfahren werden Patienten, die tatsächlich an der Krankheit leiden,

Mehr

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Gegeben Menge Ω (Wahscheinlichkeitsraum, Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments), Abbildung P : P(Ω) [0, 1] (Wahrscheinlichkeit): Jeder Teilmenge

Mehr

Statistik Testverfahren. Heinz Holling Günther Gediga. Bachelorstudium Psychologie. hogrefe.de

Statistik Testverfahren. Heinz Holling Günther Gediga. Bachelorstudium Psychologie. hogrefe.de rbu leh ch s plu psych Heinz Holling Günther Gediga hogrefe.de Bachelorstudium Psychologie Statistik Testverfahren 18 Kapitel 2 i.i.d.-annahme dem unabhängig. Es gilt also die i.i.d.-annahme (i.i.d = independent

Mehr

Elementarereignis: Stellt ein Einzelergebnis eines Zufallsexperimentes dar, wird oftmals mit E bezeichnet.

Elementarereignis: Stellt ein Einzelergebnis eines Zufallsexperimentes dar, wird oftmals mit E bezeichnet. Statistik Grundlagen Charakterisierung von Verteilungen Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsverteilungen Schätzen und Testen Korrelation Regression Einführung Die Einführung in grundlegende

Mehr

Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Taubertsberg 2 R. 06-206 (Persike) R. 06-214 (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de http://psymet03.sowi.uni-mainz.de/

Mehr

Inhalt. I. Deskriptive Statistik Einführung Die Grundgesamtheit Merkmale und Verteilungen Tabellen und Grafiken...

Inhalt. I. Deskriptive Statistik Einführung Die Grundgesamtheit Merkmale und Verteilungen Tabellen und Grafiken... I. Deskriptive Statistik 1 1. Einführung 3 1.1. Die Grundgesamtheit......................... 5 1.2. Merkmale und Verteilungen..................... 6 1.3. Tabellen und Grafiken........................ 10

Mehr

Biomathematik für Mediziner, Klausur WS 1999/2000 Seite 1

Biomathematik für Mediziner, Klausur WS 1999/2000 Seite 1 Biomathematik für Mediziner, Klausur WS 1999/2000 Seite 1 Aufgabe 1: Wieviele der folgenden Variablen sind quantitativ stetig? Schulnoten, Familienstand, Religion, Steuerklasse, Alter, Reaktionszeit, Fahrzeit,

Mehr

4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)

4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte

Mehr

Einführung in die Statistik

Einführung in die Statistik Einführung in die Statistik Analyse und Modellierung von Daten von Prof. Dr. Rainer Schlittgen Universität Hamburg 12., korrigierte Auflage Oldenbourg Verlag München Inhaltsverzeichnis 1 Statistische Daten

Mehr

2.3 Intervallschätzung

2.3 Intervallschätzung 2.3.1 Motivation und Hinführung Bsp. 2.11. [Wahlumfrage] Der wahre Anteil der rot-grün Wähler 2009 war genau 33.7%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Zufallsstichprobe von 1000 Personen genau

Mehr

Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Multivariate Normalverteilung und ML Schätzung 11 p.2/38

Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Multivariate Normalverteilung und ML Schätzung 11 p.2/38 Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Multivariate Normalverteilung und ML Schätzung Kapitel 11 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Multivariate

Mehr

von x-würfeln bei wachsendem n? Zur Beantwortung führen wir ein Simulationsexperiment durch.

von x-würfeln bei wachsendem n? Zur Beantwortung führen wir ein Simulationsexperiment durch. Zentraler Grenzwertsatz Die Normalverteilung verdankt ihre universelle theoretische und praktische Bedeutung dem zentralen Grenzwertsatz. Unabhängig von der konkreten k Ausgangsverteilung konvergiert die

Mehr

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Zufallsvariable Erinnerung: Merkmal, Merkmalsausprägung Deskriptive Statistik:

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig:

Mehr

Stichwortverzeichnis. Chi-Quadrat-Verteilung 183, 186, 189, 202 ff., 207 ff., 211 Testen von Zufallszahlen 294 Cărtărescu, Mircea 319

Stichwortverzeichnis. Chi-Quadrat-Verteilung 183, 186, 189, 202 ff., 207 ff., 211 Testen von Zufallszahlen 294 Cărtărescu, Mircea 319 Stichwortverzeichnis A Ableitung partielle 230 absolute Häufigkeit 47 Abweichungen systematische 38, 216, 219 zufällige 216, 218, 220, 222 Algorithmus average case 303 Las Vegas 300 Monte Carlo 300 randomisierter

Mehr

Die Varianz (Streuung) Definition

Die Varianz (Streuung) Definition Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ

Mehr

Wahrscheinlichkeitsfunktion. Binomialverteilung. Binomialverteilung. Wahrscheinlichkeitshistogramme

Wahrscheinlichkeitsfunktion. Binomialverteilung. Binomialverteilung. Wahrscheinlichkeitshistogramme Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion Konstruktionsprinzip: Ein Zufallsexperiment wird n mal unabhängig durchgeführt. Wir interessieren uns jeweils nur, ob ein bestimmtes Ereignis A eintritt oder

Mehr

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind:

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind: Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Mathematischer Teil In der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir es mit Zufallsexperimenten zu tun, d.h. Ausgang nicht vorhersagbar. Grundbegriffe Zufallsexperiment und Ergebnisse

Mehr

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

Inhaltsverzeichnis DESKRIPTIVE STATISTIK. 1 Grundlagen Grundbegriffe Skalen... 15

Inhaltsverzeichnis DESKRIPTIVE STATISTIK. 1 Grundlagen Grundbegriffe Skalen... 15 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen... 13 1.1 Grundbegriffe...13 1.2 Skalen... 15 DESKRIPTIVE STATISTIK 2 Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen...16 2.1 Häufigkeiten... 16 2.1.1 Grundbegriffe... 16 2.1.2

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilung diskreter Zufallsvariablen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

Biomathematik für Mediziner

Biomathematik für Mediziner Institut für Medizinische Biometrie, Informatik und Epidemiologie der Universität Bonn (Direktor: Prof. Dr. Max P. Baur) Biomathematik für Mediziner Klausur SS 2003 Aufgabe 1: Welche der unten angegebenen

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der Informatik. PD Dr. U. Ludwig. Vorlesung 7 1 / 19

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der Informatik. PD Dr. U. Ludwig. Vorlesung 7 1 / 19 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der Informatik PD Dr. U. Ludwig Vorlesung 7 1 / 19 2.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung (Fortsetzung) 2 / 19 Bedingter Erwartungswert

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilungen stetiger Zufallsvariablen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Stetige Zufalls-Variable Erweitert man den Begriff der diskreten Zufallsvariable

Mehr

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Kapitel 11 Diskrete Zufallsvariablen 11.1. Wahrscheinlichkeits- und diskret Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wahrscheinlichkeitsfunktion von X Nimmt abzählbare Anzahl von Ausprägungen an (z.b. Zählvariablen)

Mehr

Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik2/Stochastik 2 Master KI/PI

Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik2/Stochastik 2 Master KI/PI Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik/Stochastik Anpassung von Verteilungen Zu Aufgabe ) a) Zeichnen des Histogranmmes: Um das Histogramm zu zeichnen, benötigen wir die Höhe der Balken. Die Höhe

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung Übung Aufgabe 2.b und 3

Wahrscheinlichkeitsrechnung Übung Aufgabe 2.b und 3 Wahrscheinlichkeitsrechnung Übung Aufgabe 2.b und 3 B I N O M I A L V E R T E I L U N G, B I N O M I A L T A B E L L E, U N A B H Ä N G I G E E R E I G N I S S E Zentrale Methodenlehre, Europa Universität

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 23. Dezember 2011 1 Stetige Zufallsvariable, Normalverteilungen Der zentrale Grenzwertsatz und die 3-Sigma Regel

Mehr

Stichproben Parameterschätzung Konfidenzintervalle:

Stichproben Parameterschätzung Konfidenzintervalle: Stichproben Parameterschätzung Konfidenzintervalle: Beispiel Wahlprognose: Die Grundgesamtheit hat einen Prozentsatz p der Partei A wählt. Wenn dieser Prozentsatz bekannt ist, dann kann man z.b. ausrechnen,

Mehr

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere

Mehr

1 GRUNDLAGEN Grundbegriffe Skalen...15

1 GRUNDLAGEN Grundbegriffe Skalen...15 Inhaltsverzeichnis 1 GRUNDLAGEN...13 1.1 Grundbegriffe...13 1.2 Skalen...15 DESKRIPTIVE STATISTIK 2 EINDIMENSIONALE HÄUFIGKEITSVERTEILUNGEN...16 2.1 Häufigkeiten...16 2.1.1 Grundbegriffe...16 2.1.2 Klassieren

Mehr