Population und Stichprobe Wahrscheinlichkeitstheorie II

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1 Population und Stichprobe Wahrscheinlichkeitstheorie II 5. Sitzung 1 S. Peter Schmidt Stichprobenziehung als Zufallsexperiment Definition Stichprobe: Teilmenge der Elemente der Grundgesamtheit bzw. Population Zufallsvariable beim Stichprobenziehen: Verteilung der aus der Population gezogenen Elemente Kennwerte der Stichprobe i.a. bekannt Kennwerte der Population i.a. unbekannt Daher: Schluß von der Stichprobe auf die Population 5. Sitzung 1 S. Peter Schmidt

2 Stichprobenziehung und Urnenmodell Ziel: Verallgemeinerung von Stichprobenergebnissen Urnenmodell: Prototyp des Zufallsexperiments Stichprobenziehung Ziehung von n Kugeln aus einer Urne, die N Kugeln enthält Zwei Varianten der Ziehung möglich: Einfache Zufallsauswahl ohne Zurücklegen Einfache Zufallsauswahl mit Zurücklegen 5. Sitzung 1 S. Peter Schmidt Urnenmodell und Wahrscheinlichkeit Annahme: Realisationswahrscheinlichkeiten sind gleichverteilt Folgerung:Die Wahrscheinlichkeit der Realisation der jeweiligen Ziehung errechnet sich über: 5. Sitzung 1 S. Peter Schmidt

3 Permutation Berechnung der Anzahl der Sortierungsmöglichkeiten der Elemente einer N Elementigen Menge N!wird auch N - Fakultät genannt 5. Sitzung 1 S. Peter Schmidt Anzahl Stichproben: ohne Zurücklegen (ohne Sortierung) Wobei N = Anzahl der Kugeln in der Urne n = Größe der Stichprobe 5. Sitzung 1 S. Peter Schmidt

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5 Anzahl Stichproben: mit Zurücklegen (ohne Sortierung) Wobei N = Anzahl der Kugeln in der Urne n = Größe der Stichprobe 5. Sitzung 1 S. Peter Schmidt 2003 Anzahl Stichproben: mit Zurücklegen (mit Sortierung) Wobei N = Anzahl der Kugeln in der Urne n = Größe der Stichprobe 5. Sitzung 1 S. Peter Schmidt

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7 Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsverteilungen können mit ähnlichen Methoden wie Häufigkeitsverteilungen betrachtet werden Es besteht die Möglichkeit Quantile ( und damit den Median) für die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable anzugeben. Dies geschieht analog zum Vorgehen bei Häufigkeitsverteilungen 5. Sitzung 1 S. Peter Schmidt Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen Weitere Kennwerte von Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind Erwartungswert und Varianz Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen entspricht im Prinzip dem arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung Die Varianz einer Zufallsvariablen ist ebenso zu interpretieren wie die Varianz von Häufigkeitsverteilungen 5. Sitzung 1 S. Peter Schmidt

8 Erwartungswert Beschreibt die mittlere Realisation einer Zufallsvariablen Wobei: µ x = Erwartungswert der Zufallsvariable X P(X=x k ) = Wahrscheinlichkeit für die Ausprägung x k der Zufallsvariablen X 5. Sitzung 1 S. Peter Schmidt Varianz einer Zufallsvariablen Symbol: Beschreibt den Erwartungswert der quadrierten Abweichungen der Realisationen vom Erwartungswert der Variablen Populationsstandardabweichung: 5. Sitzung 1 S. Peter Schmidt

9 Kennwerteverteilungen Mit Hilfe der Konzeption der Stichprobenziehung als Zufallsexperiment kann die Kluft zwischen (1) empirischen Kennwerten und (2) Populationskennwerten überwunden werden: Man nimmt an, daß es eine (3) Verteilung von Stichprobenkennwerten gibt, deren Mittelwert der Erwartungswert der Zufallsvariablen Stichprobenziehung ist 5. Sitzung 1 S. Peter Schmidt