Wieviele Frösche sind im Teich?

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1 Wieviele Frösche sind im Teich? zählen, raten, schätzen? PD Dr. Sonja Kuhnt, Dipl. Stat. Viktoria Sander TU Dortmund 7. Februar 2012 TU Dortmund DOTS / 20

2 Ausgangssituation Teich mit einer unbekannten Anzahl an Fröschen Frage Wieviel Frösche sind im Teich? TU Dortmund DOTS / 20

3 Lösungsideen Zählen? nur bei kleinen, überschaubaren Populationen sinnvoll Raten? wenig sinnvoll Schätzen? mit dem richtigen Verfahren gute Schätzungen möglich TU Dortmund DOTS / 20

4 Vergleichbare Probleme Anzahl von Schädlingen in einem Feld (z.b. Kartoffelkäfer im Kartoffelfeld) Population von bedrohten Tierarten (z.b. Nashörner in Ostafrika) Prävalenz von Krankheiten (z.b. Aidskranke in New York) Dunkelziffer von Straftaten (z.b. Drogendealer in Oregon) TU Dortmund DOTS / 20

5 Induktive (schließende) Statistik: Rückschlüsse auf datengenerierenden Mechanismus (Grundgesamtheit) mit mathematischem Modell basierend auf Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsexperiment ( X 1,,X n ) Grundgesamtheit Stichprobe Schließende Statistik TU Dortmund DOTS / 20

6 Idee: Capture-Recapture-Methode Ausgangssituation: Insgesamt N Frösche sind im Teich Vorgehen 1 M Fröschen aus dem Teich fangen 2 Frösche werdem markiert und wieder zurück in den Teich geben 3 Fangen einer Stichprobe von m Fröschen, dann ist eine Anzahl x der Frösche markiert TU Dortmund DOTS / 20

7 Induktive (schließende) Statistik: Rückschlüsse auf datengenerierenden Mechanismus (Grundgesamtheit) mit mathematischem Modell basierend auf Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsexperiment ( X 1,,X n ) Grundgesamtheit Stichprobe Schließende Statistik TU Dortmund DOTS / 20

8 Hypergeometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung Urnenmodell In einer Urne befinden sich N Kugeln, davon M rot. Es werden insgesamt m Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, x rote zu ziehen? TU Dortmund DOTS / 20

9 Hypergeometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus: Anzahl der Möglichkeiten, genau x rote Kugeln zu ziehen und somit genau m x andersfarbige: ( ) ( ) M N M x m x Anzahl der Möglichkeiten, m Kugeln aus der Urne zu ziehen: ( ) N m TU Dortmund DOTS / 20

10 Hypergeometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung Sei X die Anzahl roter Kugeln in den gezogenen m Kugeln, dann ist X hypergeometrisch verteilt: X Hyp(m, M, N) mit ( ) ( ) M N M x m x P(X = x) = ( ) N m TU Dortmund DOTS / 20

11 Hypergeometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung Sei X die Anzahl roter Kugeln in den gezogenen m Kugeln, dann ist X hypergeometrisch verteilt: X Hyp(m, M, N) mit ( ) ( ) M N M x m x P(X = x) = ( ) N m Erwartungswert: Lage der Wahrscheinlichkeitsverteilung E(X ) = m M N TU Dortmund DOTS / 20

12 Capture-Recapture-Methode Wie lässt sich dies auf das Ausgangsproblem mit der Anzahl von Fröschen im Teich übertragen? Annahmen Es liegt eine geschlossene Population vor, d.h. N ist konstant Alle Frösche haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden Die Markierungen gehen nicht verloren Problem N ist unbekannt TU Dortmund DOTS / 20

13 Bestimmung eines Schätzers für N 1 Betrachtung des Erwartungswertes von X = Anzahl markierter Frösche in Stichprobe: E(X ) = m M N 2 Auflösen der Gleichung nach N, da M und m bekannt. E(X ) kann durch den in der Recapture-Stichprobe erhaltenen Wert für X ersetzt werden: ˆN = m M x TU Dortmund DOTS / 20

14 Bestimmung eines Schätzers für N 1 Betrachtung des Erwartungswertes von X = Anzahl markierter Frösche in Stichprobe: E(X ) = m M N 2 Auflösen der Gleichung nach N, da M und m bekannt. E(X ) kann durch den in der Recapture-Stichprobe erhaltenen Wert für X ersetzt werden: ˆN = m M x Intuitiv: Verhältnis in Grundgesamtheit und Stichprobe identisch M ˆN = x m ˆN = m M x TU Dortmund DOTS / 20

15 Beispiel: Frösche Anwendung Es wurden 150 Frösche markiert. Gezogen wird eine Stichprobe von 170 Fröschen, wobei 20 markiert sind. Schätzung: ˆN = 1275 Frösche im Teich = 150 N N = N = 1275 TU Dortmund DOTS / 20

16 Beispiel: Einwohnerzahlen Neues Problem Eine Schule in einer bestimmten Stadt hat 500 Schüler. Bei einer Umfrage in dieser Stadt nahmen 200 zufällig ausgewählte Personen teil, von denen 40 Schüler waren. Wieviele Einwohner wohnen in der Stadt? TU Dortmund DOTS / 20

17 Beispiel: Einwohnerzahlen Neues Problem Eine Schule in einer bestimmten Stadt hat 500 Schüler. Bei einer Umfrage in dieser Stadt nahmen 200 zufällig ausgewählte Personen teil, von denen 40 Schüler waren. Wieviele Einwohner wohnen in der Stadt? Lösung Die Stadt hat 2500 Einwohner. TU Dortmund DOTS / 20

18 Problem: Stichprobe kann auch keine markierten Tiere enthalten ˆN ist nicht wohldefiniert, da Nenner 0 Modifizierter Schätzer Ñ = (m + 1)(M + 1) x + 1 TU Dortmund DOTS / 20

19 Problem: Stichprobe kann auch keine markierten Tiere enthalten ˆN ist nicht wohldefiniert, da Nenner 0 Modifizierter Schätzer Ñ = (m + 1)(M + 1) x + 1 Für unseren Teich: Ñ = ( )( ) (20 + 1) = Frösche TU Dortmund DOTS / 20

20 Schätzung der genauen Anzahl kann deutlich variieren Beispiel 4 Schüler sollen die Capture-Recapture-Methode zur Schätzung der Anzahl an Fische in einem Teich ermitteln. Ihr Lehrer hat bereits 150 Fische markiert. Schüler gefangen markiert A B C D TU Dortmund DOTS / 20

21 Damit ergeben sich folgende Schätzungen Schüler Schätzung A 1000 B 1500 C D 1875 Lösungsvorschlag Exaktere Schätzung durch Mittelwertbildung TU Dortmund DOTS / 20

22 Mittelwertbildung 1 Voraussetzung: Es ist möglich, n Recapture-Stichproben zu ziehen 2 Bilden des arithmetischen Mittels der x i x = 1 n n i=1 x i 3 Einsetzen des arithmetischen Mittels ˆN = m M x TU Dortmund DOTS / 20

23 Mittelwertbildung 1 Voraussetzung: Es ist möglich, n Recapture-Stichproben zu ziehen 2 Bilden des arithmetischen Mittels der x i x = 1 n n i=1 x i 3 Einsetzen des arithmetischen Mittels ˆN = m M x Für unseren Teich: x = 1 4 ( ) = 26 ˆN = = TU Dortmund DOTS / 20

24 Was passiert bei? Gleiche Fang-Wahrscheinlichkeit trifft nicht zu 1 Manche markierte Tiere verstecken sich und sind schwerer zu fangen Schätzung der Population wird zu groß 2 Manche Tiere immer leichter zu fangen Schätzung der Population wird zu klein Keine geschlossene Population: N verändert sich In der Zeit zwischen dem Ziehen der beiden Stichproben sterben zwar manche der Tiere, aber es werden auch welche geboren. Die Schätzung wird zu groß Ausblick: Methoden mit komplexeren Wahrscheinlichkeitsmodellen und Kriterien zur Beurteilung der Genauigkeit der Schätzer TU Dortmund DOTS / 20

25 Ausgewählte Veranstaltungen im Kommunikation mit dem Anwender Nebenfächer Zieldefinition Datenerhebung Datenbeschreibung Statistische Analyse Ergebnis Versuchsplanung Deskriptive Statistik Schätzen und Testen Erhebungstechniken Wahrscheinlichkeitstheorie Spezielle statistische Verfahren Fallstudien TU Dortmund DOTS / 20