Brückenkurs Statistik für Wirtschaftswissenschaften

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1 Peter von der Lippe Brückenkurs Statistik für Wirtschaftswissenschaften Weitere Übungsfragen UVK Verlagsgesellschaft mbh Konstanz Mit UVK/Lucius München UVK Verlagsgesellschaft mbh Konstanz und München ISBN

2 Weitere Übungsfragen zur Deskriptiven Statistik Offene Fragen Formulieren Sie eine Antwort Übungsfrage 1: Warum reicht es nicht aus, die eindimensionalen Randverteilungen von und von y zu betrachten, wenn man den Zusammenhang zwischen und y messen will und wie kann die Statistik Art und Ausmaß des Zusammenhangs zwischen zwei Variablen beschreiben? Die Lösung finden Sie auf den letzten Seiten. Übungsfrage 2: Was stellt ein Preisinde nach Laspeyres dar und was ist die übliche Kritik an dessen Formel? Die Lösung finden Sie auf den letzten Seiten.

3 Multiple-Choice-Fragen Markieren Sie die richtige(n) Antworten Übungsfrage 3: Jemand fährt eine Strecke hin mit einer Geschwindigkeit von 1 = 40km/h und die gleiche Strecke zurück mit 2 = 60km/h. Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt dann 50 km/h, denn das arithmetische Mittel ist ( )/2 = ( )/2 = km/h, denn das harmonische Mittel ist 1/0, = 48 und 0, = ½(1/40 + 1/60) kann man nicht berechnen, weil man nicht weiß, wie lang die Strecke ist, die man hin und zurück fährt Übungsfrage 4: Ein Maß für den Zusammenhang zwischen den zwei Variablen und y ist die Kovarianz s y der Korrelationskoeffizient r = r y beide Antworten sind falsch beide Antworten sind richtig, aber r ist auf einen Wertebereich zwischen -1 und +1 normiert (-1 r +1) während die Kovarianz beliebige negative oder positive Werte annehmen kann also etwa s y = -4 oder s y = 18,2. Übungsfrage 5: Ein gewogenes und ein entsprechendes ungewogenes Mittel (z.b. ein gewogenes arithmetisches Mittel und ein ungewogenes arithmetisches Mittel) ist stets gleich groß; denn das ist nur eine Frage, wie die Daten vorliegen, als Einzelwerte 1, 2, oder als Häufigkeitsverteilung 1 mit der absoluten Häufigkeit n 1, 2 mit n 2 usw. können auch nicht gleich sein und es sind verschiedene Mittelwerte, so wie ein Median ein anderes Mittel ist als das arithmetische Mittel.

4 Weitere Übungsfragen zur Induktiven Statistik Offene Fragen Formulieren Sie eine Antwort Übungsfrage 1 (nimmt Bezug auf die Aufgabe 5 im Brückenkurs, S. 47): Die Antworten zu dieser Fragen enthalten Fehler (welche?) bzw. man könnte sie auch anderes formulieren (wie?) Antworten: 1. Der Ausdruck Nullhypothese heißt nicht, dass den Wert 0 annehmen muss, sondern nur, dass man für einen bestimmten hypothetischen Wert etwa = 14 annimmt und man fragt sich dann, wie wahrscheinlich ein Wert = 14,5 ist, wenn der wahre Wert = 14 ist. Weil wir ja nur eine Stichprobe haben kann sehr wohl größer oder auch kleiner als 14 sein, auch dann wenn in der Grundgesamtheit der Mittelwert (also ) 14 ist, einfach deshalb, weil die Stichprobe nicht alle Elemente (Einheiten) der Grundgesamtheit umfasst, man also notwendig immer einen Auswahlfehler hat. 2. Signifikant heißt nicht in einem inhaltlichen Sinne wesentlich, bedeutsam oder wichtig, sondern nur, dass es wenig wahrscheinlich (z.b. weniger wahrscheinlich als 5% wenn das Signifikanzniveau 5% ist) ist, wenn die Nullhypothese gilt (man tut so als ob sie gilt; das Testen ist also quasi eine als-ob-prozedur ), also tatsächlich 14 ist. 3. Wenn man testen kann, dann kann man auch ein Konfidenzintervall berechnen, und umgekehrt, wenn man (wie hier, weil so etwas ja bei einer Vollerhebung völlig unsinnig wäre) nicht testen kann (bzw. nicht testen sollte), dann kann/sollte man auch kein Konfidenzintervall berechnen. Das Ergebnis des Tests und das Konfidenzintervall ist das gleiche Ergebnis, es ist nur in einer anderen Form ausgedrückt. Ist = 14 im berechneten Konfidenzintervall (das etwa von 13,2 bis 15,8 läuft ) enthalten, dann ist das Ergebnis (also = 14,5) nicht signifikant. Liegt = 14 außerhalb des berechneten Konfidenzintervalls (das z.b. von 14,2 bis 14,8 läuft ) dann ist es signifikant. Wir haben es also beim Testen und Schätzen mit zwei Seiten ein und der gleichen Medaille zu tun. Es gibt jeweils zwei gleichwertige Arten, ein Ergebnis auszudrücken: im Konfidenzintervall = nicht signifikant außerhalb des Konfidenzintervalls = signifikant.

5 Grundlage sowohl für das Konfidenzintervall als auch für die Prüfgröße beim Hypothesentest ist, die Standardabweichung der Stichprobenverteilung von. Die Lösung finden Sie auf den letzten Seiten. Übungsfrage 2: Es ist enorm wichtig zu verstehen, dass jede statistische Berechnung an bestimmte Voraussetzungen geknüpft ist (man kann immer etwas rechnen und bekommt dabei auch immer ein Ergebnis in Gestalt von Zahlen heraus, aber die Rechnung ist unterschiedlich sinnvoll, evtl. sogar völlig sinnlos). Nennen Sie Beispiele dafür, dass eine statistische Methode an solche Voraussetzungen geknüpft ist.

6 Die Lösung finden Sie auf den letzten Seiten. Multiple-Choice-Fragen Markieren Sie die richtige(n) Antworten Übungsfrage 3: Woran erkennt man, dass es im Allgemeinen von Vorteil ist, wenn man den Stichprobenumfang n vergrößert, weil sich dann so verändert, dass der Abstand zwischen und mit größerem n geringer wird weil sich mit größerem n (bzw. mit größerem n ) die Standardabweichung von also verringert, denn n da die Standardabweichung der Stichprobenverteilung von ist und diese (asymptotisch, also bei großem n) eine Normalverteilung ist, bedeutet ein kleineres auch dass die Glockenkurve schmaler wird, also größere Abweichungen weniger wahrscheinlich werden.

7 Übungsfrage 4: Wenn man keine Stichprobenbefragung hat, sondern nur beliebige Leute gefragt hat hat man auch keine Stichprobenverteilung, so dass es auch keinen Sinn macht, mit Konfidenzintervalle oder Tests zu berechnen gilt auch nicht mehr die Folgerung aus der Formel für, dass es nämlich im Allgemeinen von Vorteil ist, wenn man den Stichprobenumfang n vergrößert wird es schwer sein, zu sagen, was die Grundgesamtheit (welche Einheit zu ihr gehört und welche nicht) ist und wie groß sie ist (wie groß N ist); denn man hat ja nicht n < N Einheiten aus einer klar definierten Grundgesamtheit von N Einheiten gezogen (ausgewählt) Lösungen: Deskriptive Statistik Lösung Deskriptive Statistik Übungsfrage 1: Mit dem Beispiel von Geschlecht und Klausurleistung (bestehen oder durchfallen ) haben wir gezeigt, dass es sehr wohl möglich ist, dass ganz unterschiedliche (zweidimensionale) gemeinsame Verteilungen und damit auch ganz unterschiedliche Korrelationen zu den gleichen Randverteilungen führen können. Die Messung des Zusammenhangs muss also an der gemeinsamen Verteilung ansetzen. Ein Maß hierfür (ein Parameter der zweidimensionalen gemeinsamen Verteilung) ist die Kovarianz s y. Dividiert man s y durch das Produkt der Standardabweichungen (also s s y ), dann erhält man den Korrelationskoeffizient r = r y = s y /s s y. Die Kovarianz s y ist auch bestimmend für die Steigung der Regressionsgerade b= s y /(s ) 2. Mit der Berechnung eines Korrelationskoeffizienten und der Bestimmung einer Regressionsgeraden (Berechnung von a und b) haben Sie zwei Arten kennen gelernt, wie man in der Statistik Art und Ausmaß des Zusammenhangs zwischen zwei Variablen beschreibt. Lösung Deskriptive Statistik Übungsfrage 2: Dieser Preisinde misst, wie sich ein (für eine gewisse Zeit) konstant gehaltener Warenkorb p 0 q 0 im Laufe der Zeit verteuert zu p 1 q 0, p 2 q 0, denn der Inde ist L L P 01 = p 1 q 0 / p 0 q 0, P 02 = p 2 q 0 / p 0 q 0, Der Vorteil ist, dass L L aufeinanderfolgende Werte P 01, P 02, voll vergleichbar sind (weil sie sich nur durch die Preise unterscheiden). Kritisiert wird aber, dass immer auf den gleichen Warenkorb Bezug genommen wird und dieser veralten kann, also neue Waren

8 auftauchen und alte Waren dieses Warenkorbs nicht mehr repräsentativ oder überhaupt gar nicht mehr verfügbar sind. Eine Lösung verspricht man sich von einem sog. Ketteninde, bei dem aber aufeinanderfolgende Werte nicht voll vergleichbar sind, weil sie sich nicht nur durch unterschiedliche Preise p 1, p 2, p 3, sondern auch durch unterschiedliche Mengen q 1, q 2, q 3, unterscheiden. Lösung Deskriptive Statistik Übungsfrage 3: Die zweite Antwort ist richtig. Lösung Deskriptive Statistik Übungsfrage 4: Nur die letzte Antwort ist richtig. Lösung Deskriptive Statistik Übungsfrage 5: Die erste Antwort ist richtig. Bitte auf die Unterschiedlichkeit von (-Schlange) und (-quer; engl. -bar) achten. Lösungen: Deskriptive Statistik Lösung Induktive Statistik Übungsfrage 1: Es ist richtig, dass nicht von verschieden sein kann, wenn die Stichprobe praktisch schon die Grundgesamtheit ist. Das steckt auch hinter der Frage 4 in diesem Abschnitt Induktive Statistik ). Ein Hypothesentest ist hier schon deshalb völlig unsinnig, weil eine Hypothese ja immer eine Annahme über die Grundgesamtheit ist, aber man macht keine Annahmen über etwas, was man schon kennt. Lösung Induktive Statistik Übungsfrage 2: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung setzt Zufallseperimente voraus: man kann fragen, wie wahrscheinlich A bei einem reinen Glücksspiel (das nur vom Zufall abhängt) gegen B gewinnt, aber man kann nicht fragen, wie wahrscheinlich A gegen B gewinnt, wenn das Spiel Können, Geschicklichkeit oder Talent (z.b. bei Schach) voraussetzt und einer von beiden schlicht der bessere ist. Eine Stichprobe ist auch eine Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung, d.h. sie setzt einen Zufallsvorgang (der jetzt durch die Art der "Ziehung" gegeben ist) voraus. Eine Punkt- oder Intervallschätzung oder auch ein Hypothesentest in der Induktiven Statistik zu rechnen macht keinen Sinn, wenn die Auswahl nicht nach dem Zufallsprinzip erfolgt ist. Eine Regressionsgerade ŷi a bi zu berechnen setzt voraus, dass und y Variablen sind, die auf einer metrischen Skala gemessen sind, weil sonst auch

9 ein Zahlenwert für a oder für die Steigung b keine Bedeutung hat. Das gilt auch für einen linearen Trend ŷ t a bt der ja auch eine lineare Funktion (jetzt mit der Zeit t, statt mit der Variable ) ist. Man sieht an der Formel für 2 die Steigung b= Kovarianz/Varianz s y s auch, dass der Nenner also die Varianz von nicht Null sein darf. Wenn man den Zusammenhang als y ( als Bestimmungsfaktor oder gar "Ursache" für y) interpretiert, muss also die "Ursache" variieren, sie darf nicht eine Konstante sein. Untersucht man den Einfluss des Geschlechts auf irgendeine Variable y so kann man nicht Daten heranziehen, bei denen nur Männer oder nur Frauen vorkommen (das Geschlecht wäre dann eine Konstante). Aus dem gleichen Grunde macht es auch keinen Sinn, den Variationskoeffizienten V s zu berechnen, wenn der Mittelwert im Nenner Null oder negativ sein kann. Die Standardabweichung s im Zähler kann nie negativ sein. Es gibt viele weitere Beispiele, auf die hier jedoch aus Platzgründen nicht eingegangen werden kann. Lösung Induktive Statistik Übungsfrage 3: Die erste Antwort ist falsch die zweite und dritte richtig. Lösung Induktive Statistik Übungsfrage 4: Alle Antworten sind richtig.