Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen

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Julia Gehrig
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1 Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler Grimmer Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen Eine anwendungsorientierte Einführung Auflage Übungsaufgaben zu Kapitel 6

2 Aufgaben zu Abschnitt 6.3: Aufgabe 6.3.1: a) Auf wie viele Arten kann man aus einer Lottotrommel mit den Zahlen 1 bis 49 genau 6 verschiedene Zahlen auswählen? b) Auf wie viele Arten kann man aus einer Lottotrommel mit den Zahlen 1 bis 38 genau 7 verschiedene Zahlen auswählen? c) Ist ein Volltreffer beim Zahlenlotto 6 aus 49 wahrscheinlicher als beim Zahlenlotto 7 aus 38? Aufgabe 6.3.2: k a) Berechnen Sie aus der Information 28 2 alle möglichen Werte für k. k b) Berechnen Sie aus den Informationen 84 3 k und alle möglichen Werte für k. Aufgabe 6.3.3: Berechnen und skizzieren Sie für eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,4 und n = 10 Versuchen die Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Verteilungsfunktion F(x) = P(X x). Wie groß sind Erwartungswert und Standardabweichung? Aufgabe 6.3.4: Ein Zufallsexperiment liefert mit Wahrscheinlichkeit 40% das Ergebnis überdurchschnittlich, zu 35% das Ergebnis durchschnittlich und zu 25% das Ergebnis unterdurchschnittlich. Das Experiment kann beliebig oft wiederholt werden; die Versuche gehorchen unabhängig voneinander denselben Ergebniswahrscheinlichkeiten. a) Das Experiment werde zehnmal durchgeführt. Kann man die Wahrscheinlichkeit für das Gesamtergebnis viermal überdurchschnittlich, dreimal durchschnittlich und dreimal unterdurchschnittlich mit Hilfe der Binomialverteilung berechnen? b) Das Experiment werde zehnmal durchgeführt. Kann man die Wahrscheinlichkeit für das Gesamtergebnis viermal überdurchschnittlich und sechsmal nicht überdurchschnittlich mit Hilfe der Binomialverteilung berechnen? Aufgabe 6.3.5: Ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,9 werde 20 Mal durchgeführt. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei den 20 Versuchen nicht mehr als 3 Erfolge zu erzielen. Wären Sie überrascht, bei einer konkreten Versuchsreihe dieses Typs tatsächlich nicht mehr als 3 Erfolge zu verbuchen? b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei den 20 Versuchen mindestens 18 Erfolge zu erzielen. Wären Sie überrascht, bei einer konkreten Versuchsreihe dieses Typs tatsächlich mindestens 18 Erfolge zu erzielen?

3 Aufgabe 6.3.6: Ein Handwerksbetrieb erlaubt seinen Kunden, bei Zahlung des Rechnungsbetrages innerhalb von 10 Tagen ein Skonto (Abschlag) von 2% des Betrages vorzunehmen. Bei späterer Zahlung ist der volle Betrag fällig. In den vergangenen Jahren wurde die Möglichkeit des Skontos bei einem Viertel aller Rechnungen genutzt. In einer Woche verschickt der Betrieb nun 9 Rechnungen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Skonto a) bei keiner Rechnung in Anspruch genommen; b) bei allen neun Rechnungen in Anspruch genommen; c) bei nicht mehr als drei Rechnungen in Anspruch genommen; d) bei mindestens zwei Rechnungen in Anspruch genommen? Aufgabe 6.3.7: Ein Taxiunternehmer versichert seine fünfzehn Fahrzeuge. Mit Wahrscheinlichkeit p = 0,3 erfährt ein Taxi im Laufe eines Jahres kleinere Blechschäden. Die Wahrscheinlichkeit sei für jedes Fahrzeug unabhängig von den übrigen Fahrzeugen. a) Überlegen Sie sich eine Rekursionsformel, mit der Sie die Wahrscheinlichkeit für ein k (z. B. 10) auf die Wahrscheinlichkeit für k 1 (z. B. 9) zurückführen können. Schreiben Sie zu diesem Zweck die Formeln für f B (k n; p) und f B (k-1 n; p) nebeneinander und bestimmen Sie durch Vergleich aller Bestandteile die Faktoren, mit denen Sie die Formel für k 1 erweitern müssen, um die Formel für k zu erhalten. b) Erstellen Sie eine Tabelle mit den Gesamtwahrscheinlichkeiten, dass k Taxis im Lauf eines Jahres einen Blechschaden haben (k = 0, 1,, 15). Aufgabe 6.3.8: a) Es sei bekannt, dass 70 % aller Bürger einer Kleinstadt im Vordertaunus ein Aktiendepot besitzen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter zehn zufällig ausgewählten Bürgern der Stadt höchstens sieben Besitzer eines Aktiendepots? b) Ein Lebensversicherer habe einen Bestand von Jährigen versichert. Nach Sterblichkeitsanalysen beträgt die Sterbewahrscheinlichkeit innerhalb eines Jahres für 50-Jährige 0,2 %. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass innerhalb eines Jahres k = 15, 16, 17, 18, 19 oder 20 der versicherten 50-Jährigen sterben. Welche Schlüsse lassen sich aus dem Ergebnis ziehen? Aufgabe 6.3.9: Weisen Sie das Bildungsgesetz der Binomialkoeffizienten im Pascal-Dreieck n n n 1 k k 1 k 1 allgemein nach.

4 Aufgaben zu Abschnitt 6.4: Aufgabe 6.4.1: In der Schadensachbearbeitung eines kleinen Versicherers arbeiten 30 Mitarbeiter, von denen 5 zu Samstagsarbeit bereit sind. Als diese tatsächlich eingeführt werden soll, befragt ein Redakteur des Branchenmagazins Schadenwirtschaft 5 zufällig ausgewählte Mitarbeiter nach ihrer Einstellung zur Samstagsarbeit. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist keiner der befragten Personen mit Samstagsarbeit einverstanden? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mehr als die Hälfte der befragten Personen mit Samstagsarbeit einverstanden? Aufgabe 6.4.2: a) Berechnen und skizzieren Sie die hypergeometrische Verteilung für ein Urnenmodell, bestehend aus 20 Kugeln, darunter 3 rote, bei einer Entnahme von insgesamt 8 Kugeln. b) Berechnen und skizzieren Sie die hypergeometrische Verteilung für ein Urnenmodell, bestehend aus 30 Kugeln, darunter 12 rote, bei einer Entnahme von insgesamt 14 Kugeln. Aufgabe 6.4.3: Man vergleiche im Urnenmodell ohne Zurücklegen (N = 1.000) die exakten, mit Hilfe der hypergeometrischen Verteilung berechneten Wahrscheinlichkeiten mit approximativ anhand der Binomialverteilung berechneten Werten. Betrachten Sie für die Approximationsgüte die prozentualen Fehler. Wie beurteilen Sie die Ergebnisse im Vergleich mit den Approximationsbedingungen? a) M = 200, n = 100 b) M = 200, n = 50 c) M = 200, n = 20 d) M = 100, n = 100 e) M = 100, n = 50 f) M = 100, n = 20 g) M = 50, n = 100 h) M = 50, n = 50 i) M = 50, n = 20 Aufgabe 6.4.4: In einer Personengesamtheit soll über eine Stichprobenauswahl eine Meinungsumfrage durchgeführt werden. Oft geht es dabei um Fragen des Typs, wie viele Prozent der Befragten sich zu einer bestimmten Aussage bekennen oder diese ablehnen. Vergleichen Sie die folgenden Modellannahmen im Hinblick auf Größenanforderungen an die Stichprobe: a) Unter den N Personen der Grundgesamtheit befinden sich M, die der Aussage zustimmen. b) Eine zufällig ausgewählte Person stimmt mit Wahrscheinlichkeit p = M/N der Aussage zu.

5 Aufgaben zu Abschnitt 6.5: Aufgabe 6.5.1: Ein Rechtsschutzversicherer bietet, um die Aufwendungen für Prozess- und Anwaltskostenerstattungen zu reduzieren, seinen Kunden Unterstützung bei Mediationsverfahren an. Es zeigt sich, dass die Anzahl der mediationswilligen Kunden in etwa poissonverteilt ist und täglich durchschnittlich zwei Kunden Streitfälle vortragen, denen ein solches Verfahren nahegelegt werden kann. Wie wahrscheinlich ist es, dass sich an einem Tag a) kein Kunde auf ein Mediationsverfahren einlässt? b) mehr als zwei Kunden auf ein Mediationsverfahren einlassen? Aufgabe 6.5.2: Geologen gehen davon aus, dass es an der San-Andreas-Spalte in Kalifornien durchschnittlich alle 75 Jahre ein schweres Erdbeben gibt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss man in einem Jahrhundert keinem, einem oder zwei schweren Beben rechnen? Aufgabe 6.5.3: Testen Sie die Güte der Approximation der Binomialverteilung durch die Poissonverteilung in der Nähe des Erwartungswertes anhand folgender Kombinationen der Verteilungsparameter n und p: a) n = 10; p = 0,2 b) n = 10; p = 0,1 c) n = 10; p = 0,05 d) n = 30; p = 0,2 e) n = 30; p = 0,1 f) n = 30; p = 0,05 g) n = 100; p = 0,2 h) n = 100; p = 0,1 i) n = 100; p = 0,05 Aufgabe 6.5.4: Für welche Werte von k und λ gilt bei einer poissonverteilten Zufallsvariablen P(X = k) = P(X = k + 1)? Aufgabe 6.5.5: a) Finden Sie eine Rekursionsformel, mit der Sie die Wahrscheinlichkeit P(X = k) einer poissonverteilten Zufallsvariablen für ein k (z. B. 10) auf die Wahrscheinlichkeit für k 1 (z. B. 9) zurückführen können. Schreiben Sie zu diesem Zweck die Formeln für f B (k λ) und f P (k-1 λ) nebeneinander und bestimmen Sie durch Vergleich aller Bestandteile die Faktoren, mit denen Sie die Formel für k 1 erweitern müssen, um die Formel für k zu erhalten. b) Ein Lebensversicherer habe einen Bestand von Jährigen versichert. Nach Sterblichkeitsanalysen beträgt die Sterbewahrscheinlichkeit innerhalb eines Jahres für 50-Jährige 0,2 %. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass innerhalb eines Jahres k = 15, 16, 17, 18, 19 oder 20 der versicherten 50-Jährigen sterben. Verwenden Sie einen möglichst einfachen Berechnungsansatz. Welche Schlüsse lassen sich aus dem Ergebnis ziehen, wenn Sie es mit Aufgabe b) vergleichen?

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