Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen

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1 Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler Grimmer Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen Eine anwendungsorientierte Einführung Auflage Übungsaufgaben zu Kapitel 9 [Text eingeben]

2 Aufgaben zu Abschnitt 9.3: Aufgabe 9.3.1: Den Außendienstmitarbeitern einer Versicherungsgesellschaft gelingt es nur bei 7% der neu abgeschlossenen Sachversicherungspolicen, den Kunden zeitnah auch eine kapitalbildende Versicherung zu verkaufen (Cross-Selling- Quote). Im Rahmen einer Weiterbildungsoffensive möchte der Marketingvorstand den Außendienst schulen lassen, um diesen Wert zu erhöhen. Nach einem Jahr soll der Erfolg der Weiterbildungsmaßnahmen anhand der nun gemessenen Cross-Selling-Quote von Kapitalversicherungen bestimmt werden. a) Formulieren Sie naheliegende Hypothesen H 0 und H 1. b) Erklären Sie, was die Beibehaltung der Nullhypothese durch den Test inhaltlich bedeutet. c) Erklären Sie, was die Ablehnung der Nullhypothese durch den Test inhaltlich bedeutet. d) Erläutern Sie, worin der Fehler erster und zweiter Art in diesem Test bestehen. Aufgabe 9.3.2: Eine große Grundgesamtheit enthält einen unbekannten Anteil p von Merkmalsträgern mit Eigenschaft X. Gegeben sei dafür folgender Hypothesentest mit H 0 : p = p 0 = 0,2; H 1 : p p 0. In einer Stichprobe aus 400 Merkmalsträgern finden sich 90 mit der Eigenschaft. a) Bestimmen Sie den Annahme- und Ablehnungsbereich zum Niveau α = 0,05 und treffen Sie anhand obiger Stichprobendaten die Testentscheidung. b) Bestimmen Sie nun den p-wert und treffen Sie anhand dessen die Testentscheidung. Aufgabe 9.3.3: Die Controlling-Abteilung eines Versicherungsunternehmens hat herausgefunden, dass durchschnittlich 7% der Policen des Neugeschäfts fehlerhaft sind und von den Angaben des Antrags abweichen. Um diese Quote zu senken, wird ein verbessertes Texterkennungsprogramm installiert, mit dem künftig die Antragsformulare bei der Policierung eingescannt werden sollen. Nach einiger Zeit führt das Controlling einen Test durch, um die Wirkung des Texterkennungsprogramms zu prüfen. Der (einseitige) Test soll zum Signifikanzniveau α = 0,05 erfolgen. a) Bei der Überprüfung von 287 neu abgeschlossenen Verträgen erweisen sich 9 als fehlerbehaftet. Stellen Sie geeignete Hypothesen auf und führen Sie einen parametrischen Test durch, ob sich die Fehlerquote signifikant verbessert hat. b) Skizzieren Sie den eben gerechneten Test, wenn sich unter den geprüften Neuabschlüssen 14 anstelle von 9 als fehlerhaft herausstellen. Aufgabe 9.3.4: Die Marktforscher einer Bank im Privatkundengeschäft erfassen durch halbjährliche Kundenbefragungen den Grad der Zufriedenheit mit der Kundenberatung der Bank. Bei der letzten Befragung hatten sich 74% der Kunden zufrieden oder sehr zufrieden geäußert. a) Aktuell werden nun 455 Kunden befragt, von denen sich 346 zufrieden oder sehr zufrieden äußern. Testen Sie damit zum Niveau α = 0,1, ob sich dieser Anteil im letzten halben Jahr signifikant geändert hat. b) Wie lautet die Testentscheidung bei einem Ergebnis von 316 zufriedenen und sehr zufriedenen Kunden? c) Wie lautet die Testentscheidung bei einem Ergebnis von 316 zufriedenen und sehr zufriedenen Kunden, wenn zum niedrigeren Signifikanzniveau α = 0,02 getestet wird? Aufgabe 9.3.5: (Vgl. Aufgabe 8.2.6) Eine britische Tageszeitung hatte im Rahmen einer Meinungsumfrage ermittelt, dass 72% der Briten einen Beitritt zur Euro-Zone ablehnen. Im Folgejahr wird die Befragung wiederholt. Von 963 Befragten erklären nun 674 ihre Ablehnung eines Euro-Beitritts. Testen Sie damit zum Niveau α = 0,1, ob sich dies als signifikanter Rückgang der Ablehnungsquote deuten lässt.

3 Aufgaben zu Abschnitt 9.4: Aufgabe 9.4.1: Die Angestellten eines Finanzmaklers verkaufen pro Woche und Mitarbeiter durchschnittlich 7 Investmentprodukte. Der Makler möchte diesen Wert erhöhen und initiiert als Anreiz ein Bonusprogramm. Nach einem halben Jahr möchte er die durchschnittliche Vertriebsleistung seiner Mitarbeiter einem statistischen Testverfahren unterziehen. a) Formulieren Sie naheliegende Hypothesen H 0 und H 1. b) Erklären Sie, was die Beibehaltung der Nullhypothese durch den Test inhaltlich bedeutet. c) Erklären Sie, was die Ablehnung der Nullhypothese durch den Test inhaltlich bedeutet. d) Erläutern Sie, worin der Fehler erster und zweiter Art in diesem Test bestehen. Aufgabe 9.4.2: Durch einen Kooperationsvertrag mit einer regionalen Kette von Handwerksbetrieben möchte ein Hausratversicherer die Reparaturkosten nach Wohnungseinbrüchen senken. Pro Versicherungsfall betragen diese bei Abschluss des Vertrages im Durchschnitt Nach einem Jahr soll getestet werden, ob die angestrebte Kostenreduktion tatsächlich eingetreten ist. a) Formulieren Sie naheliegende Hypothesen H 0 und H 1. b) Erklären Sie, was die Beibehaltung der Nullhypothese durch den Test inhaltlich bedeutet. c) Erklären Sie, was die Ablehnung der Nullhypothese durch den Test inhaltlich bedeutet. d) Erläutern Sie, worin der Fehler erster und zweiter Art in diesem Test bestehen. Aufgabe 9.4.3: Für ein metrisches Merkmal X werde ein Mittelwerttest zu den Hypothesen H 0 : μ μ 0 = 20, H 1 : μ > 20 durchgeführt. Die Standardabweichung des Merkmals betrage in der Grundgesamtheit σ = 2. Die verwendete Teststichprobe umfasse 50 Elemente. a) Wie lauten Testdurchführung und Testentscheidung bei einem Signifikanzniveau α = 5% und einem gemessenen Stichprobenmittelwert x 20, 7? b) Ab welchem Wert α würde der Test bei ansonsten unveränderten Bedingungen beim Stichprobenmittelwert x 20,7 die Nullhypothese gerade eben verwerfen? c) Zu welcher Testentscheidung käme man mit einer Hypothesenwahl H 0 : μ μ 0 = 20, H 1 : μ < 20 bei einem Stichprobenmittelwert von x 19, 3und ansonsten unveränderten Größen? Aufgabe 9.4.4: Ein regionaler Sachversicherer möchte expandieren und sondiert den ländlichen Raum eines benachbarten Bundeslandes. Für die Kalkulation eines Hausrattarifs soll dort anhand der aktuellen Kriminalstatistik die Diebstahlhäufigkeit ermittelt werden. Die Diebstahlverteilung zeigt ein annähernd normales (glockenförmiges) Profil. Aus mehrjährigen Vergleichsbetrachtungen ist die Standardabweichung bekannt, sie beträgt 85 Fälle von Diebstahl pro Einwohner und Jahr. Die versicherungsmathematische Abteilung des Versicherers geht davon aus, dass sein bestehender Tarif maximal bis zu einer durchschnittlichen Diebstahlhäufigkeit von 250 pro Einwohner und Jahr auskömmlich kalkuliert ist. a) Der Vertriebsvorstand möchte wissen, ob der vorhandene Tarif für den Verkauf in der Nachbarregion genutzt werden kann und formuliert bezüglich der mittleren Diebstahlhäufigkeit μ die Testhypothesen H 0 : μ μ 0 = 250, H 1 : μ > 250. Anhand von 25 Kleinstädten ergibt sich die durchschnittliche Anzahl von Diebstählen zu 274 auf Einwohner pro Jahr. Führen Sie unter diesen Vorgaben zum Signifikanzniveau α = 0,05 den Hypothesentest durch und interpretieren Sie das Ergebnis. b) Die Versicherungsmathematiker melden gegen das Ergebnis dieses Tests schwere Bedenken an. Begründen Sie, worin die Schwierigkeit beim Ergebnis aus Teil a) besteht und formulieren Sie ein anderes Hypothesenpaar, dass diesen Bedenken Rechnung trägt. Wie lautet mit demselben Stichprobenmittelwert (274) jetzt das Testergebnis und was bedeutet es?

4 c) Der Vertriebsvorstand akzeptiert zähneknirschend den Einspruch der Versicherungsmathematiker. Im Folgejahr gibt er einen neuen Test in Auftrag. Basierend auf 37 zufällig ausgewählten Kleinstädten wird nun eine mittlere Häufigkeit von 234 Diebstählen pro Jahr und Einwohner ermittelt. Wie lautet nun die Testentscheidung (α = 0,05) und was bedeutet sie? Wie groß ist der Fehler zweiter Art bei einer tatsächlichen Diebstahlhäufigkeit von 200? d) Ab welchem Signifikanzniveau α würde der Test aus Teil c) die Nullhypothese zurückweisen? Aufgabe 9.4.5: Ein Kfz-Versicherer misst anhand der Rechnungen aus 40 verschiedenen Werkstätten einen Durchschnittspreis von für eine bestimmte Reparaturleistung. Die Standardabweichung für den Preis wird anhand der 40 Belege mit 768 angegeben. Durch ein Assistance-Programm will die Versicherung die Reparaturkosten senken. Nach einem Jahr prüft sie den Erfolg des Programms und ermittelt bei den 40 Werkstätten nun einen Durchschnittspreis von bei einer Standardabweichung von 735. Man teste anhand dessen, ob sich das Programm wirklich als Kostensenker erwiesen hat (Signifikanzniveau α = 0,1). Aufgabe 9.4.6: 50 Kunden einer Bankfiliale beurteilen die Qualität Ihres Kundenberaters auf einer Skala von 0 (sehr schlechte Beratung) bis 10 (ausgezeichnete Beratung) wie folgt: Anhand dieser Daten soll getestet werden (zum Signifikanzniveau α = 0,05), ob sich der durchschnittliche Zufriedenheitswert von 6,5 seit der letzten Kundenbefragung verändert hat.

5 Aufgaben zu Abschnitt 9.5: Aufgabe 9.5.1: Aus einer Gesamtheit G 1 werde eine Stichprobe des Umfangs n 1 = 200 entnommen, von denen 44 die Eigenschaft X haben. Unabhängig davon werde aus der Vergleichsgesamtheit G 2 eine Stichprobe des Umfangs n 2 = 300 entnommen; von diesen weisen 30 die Eigenschaft auf. Testen Sie zum Niveau α = 0,05 die beiden Anteilswerte auf Übereinstimmung. Aufgabe 9.5.2: Ein großer Kfz-Versicherer untersucht stichprobenartig die Schadenmeldungen seiner männlichen Versicherten. In einem Fünfjahreszeitraum haben 136 von 800 ledigen Versicherten einen Schaden gemeldet, aber 255 von verheirateten Versicherten. Deuten diese Zahlen auf eine unterschiedliche Schadenhäufigkeit in beiden Kollektiven hin? Testen Sie zum Niveau α = 0,02. Aufgabe 9.5.3: Die Oppenthaler Genossenschaftsbank hat in den letzten Monaten bei Beratungsgesprächen mit 250 Kunden aus der Weststadt 28mal ihren neuen Windparkaktienfonds verkaufen können. Von 340 Kunden aus der Oststadt haben sich 49 für den Fonds entschieden. Modifizieren Sie den Differenztest für folgende Hypothesenwahl: H 0 : Die Verkaufsquote stimmt bei den Kunden der West- und Oststadt überein. H 1 : Die Verkaufsquote der Weststadtkunden ist kleiner als diejenige der Oststadtkunden. Testen Sie zum Niveau α = 0,1.

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