Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren

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1 Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren ÜBUNG LÖSUNGEN POISSONVERTEILUNG. Fahrzeuge, die eine Brücke passieren Zufallsexperiment: Zeitpunkt des Eintreffens eines Fahrzeugs auf der Brücke Zufallsvariable X : Anzahl Fahrzeuge pro Stunde Durchschnittliche Anzahl Fahrzeuge pro Stunde E ( X ) μ Poissonverteilung Ps ( μ ) Ps() Wahrscheinlichkeitsfunktion f Ps Verteilungsfunktion x μ ( x) e x! F( x) μ x e x! x 0,, 2,,... x k x k x k μ μ e e e k 0 k! k 0 k! k 0 k! x 0 a. Die Wahrscheinlichkeit, daß stündlich weniger als zwei Fahrzeuge die Brücke passieren, beträgt: P ( X < 2) X ) F() 0,99 b. Die Wahrscheinlichkeit, daß stündlich zwei bis vier Fahrzeuge die Brücke passieren, beträgt: P ( 2 X ) < X ) F() F() 0,85 0,99 0,662 c. Die Wahrscheinlichkeit, daß stündlich mehr als fünf Fahrzeuge die Brücke passieren, beträgt: P ( X > 5) X 5) F(5) 0,96 0,089

2 ÜBUNG LÖSUNGEN 2 2. Wahrscheinlichkeit von Geburtstagen in einer Gemeinde Zufallsexperiment: n 825-malige Feststellung des Geburtstags Zufallsvariable X : Anzahl Einwohner mit Geburtstag an einem bestimmten Tag (7.06.; 0.0.; 2.2.) Erfolgs- und ißerfolgswahrscheinlichkeit p ; p q Erwartungswert (durchschnittliche Anzahl der Geburtstage am gleichen Tag) E( X ) μ np Wahrscheinlichkeitsverteilung B( n; p) B(825 ; / 65) Ps(5) Die binomialverteilte Zufallsvariable X ist approximativ poissonverteilt mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f x 865 x x 5 B 825 ( x) x e x! f Ps ( x) a. Die Wahrscheinlichkeit, daß genau ein Einwohner am Geburtstag hat, beträgt: P ( X ) f () 0,07 b. Die Wahrscheinlichkeit, daß mehr als drei Einwohner am gleichen Tag (am 0.0.) Geburtstag haben, beträgt: P ( X > ) X ) F() 0,2650 0,75 c. Die Wahrscheinlichkeit, daß kein Einwohner am 2.2. Geburtstag hat, beträgt: P ( X 0) f (0) 0,0067

3 ÜBUNG LÖSUNGEN. Regulierung von Versicherungsschäden an einem Tag Zufallsexperiment: Zeitpunkt des Eintreffens eines Schadenfalls Zufallsvariable X : Anzahl Schadensfälle pro Tag Durchschnittliche Anzahl der Schadensfälle pro Tag Poissonverteilung E ( X ) μ 2 Ps ( μ ) Ps(2) a. Die Wahrscheinlichkeit, daß an einem Tag keine Schäden reguliert werden müssen, beträgt: P ( X 0) f (0) 0,5 b. Die Wahrscheinlichkeit, daß an einem Tag nur ein Schaden reguliert werden muß, beträgt: P ( X ) f () 0,2707 c. Die Wahrscheinlichkeit, daß an einem Tag mehr als fünf Schäden reguliert werden müssen, beträgt: P ( X > 5) X 5) F(5) 0,98 0,066. Ausschuß in einer Packung mit 500 Kondensatoren Zufallsexperiment: n 500-malige Entnahme eines Kondensators aus der laufenden Produktion Zufallsvariable X : Anzahl fehlerhafte Kondensatoren in einer Packung Erfolgs- und ißerfolgswahrscheinlichkeit Erwartungswert p 0,008 ; p q 0,992 E( X ) μ np 500 0,008 Das ist die durchschnittliche Anzahl defekter Kondensatoren in einer Packung. Wahrscheinlichkeitsverteilung B( n; p) B(500 ; 0,008) Ps()

4 ÜBUNG LÖSUNGEN a. Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Packung fehlerfrei ist, beträgt P ( X 0) f (0) 0,08 b. Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Packung höchstens zwei defekte Kondensatoren enthält, beträgt P ( X 2) F(2) 0,28 c. Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Packung mehr als vier defekte Kondensatoren enthält, beträgt P ( X > ) X ) F() 0,6288 0,72 HYPERGEOETRISCHE VERTEILUNG 5. Ziehen ohne Zurücklegen aus einem Skatspiel Zufallsexperiment: n 6-maliges Ziehen (o. Z.) aus einem Skatspiel mit N 2 Karten, davon Asse und N 28 andere Karten Zufallsvariable X : Anzahl A As Anteilswerte p N N q N 2 0, ,875 Hypergeometrische Verteilung H ( N; ; n) H (2;;6) Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens drei der gezogenen Karten Asse sind, beträgt: X ) X 2) F(2) Dabei ist 2 2 (2) k N n k F k 0 N k 0 n 6 28 k 0,

5 ÜBUNG LÖSUNGEN 5 und folglich P ( X ) X 2) F(2) 0, ,0878 Die direkte Berechnung ergibt X ) k k N n , Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit 20 Kugeln Zufallsexperiment: n 6-maliges Ziehen (o. Z.) aus einer Urne mit N 20 Kugeln, davon 8 weiße und N 2 schwarze Zufallsvariable X : Anzahl A weiße Kugel Anteilswerte p N N q N , Hypergeometrische Verteilung 0,6 5 H ( N; ; n) H (20;8;6) a. Die Wahrscheinlichkeit, daß unter den 6 gezogenen Kugeln genau eine weiße Kugel ist, beträgt: P ( X ) f () 0, b. Die Wahrscheinlichkeit, daß unter den 6 gezogenen Kugeln zwei bis vier weiße Kugeln sind, beträgt: 2 X ) < X ) F() F()

6 ÜBUNG LÖSUNGEN 6 2 X ) k k , c. Die Wahrscheinlichkeit, daß unter den 6 gezogenen Kugeln mindestens drei weiße Kugel sind, beträgt: Dabei ist X ) X 2) F(2) Folglich P ( X 2) F(2) k 0 6 k ,0289 0,67 0, ,589 P ( X ) 0,589 0,55 7. Qualitätskontrolle bei der Lieferung von Glühbirnen Zufallsexperiment: n -maliges Ziehen (o. Z.) aus einer Packung mit N 0 Glühbirnen, davon defekte und N 90 nicht defekte Zufallsvariable X : Anzahl A defekte Glühbirne

7 ÜBUNG LÖSUNGEN 7 Anteilswerte p N N q N Hypergeometrische Verteilung 0, 9 0,9 H ( N; ; n) H (0;;) Die Wahrscheinlichkeit, daß unter den überprüften Glühbirnen mehr als eine defekte ist, beträgt: Dabei ist X > ) X ) F() P ( X ) F() k 90 k 0 0 k K K 82 2 K 2 K K K 9 2 K 2 K K K K K 9 0,076 0, ,787 Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Packung zurückgewiesen wird, die den Lieferbedingungen entspricht, beträgt also P ( X > ) 0,787 0,265