DEMO für Wahrscheinlichkeitsrechnung Erwartungswert u.a. 1. Erwartungswert INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

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Catharina Reuter
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1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Erwartungswert u.a.. Erwartungswert. Varianz und Standardabweichung. Spiele bewerten Datei Nr. Stand. April 0 Friedrich W. Buckel DEMO für INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 0 Erwartungswert Varianz Standardabweichung 8 Vorwort Mit diesem neu geschriebenen Taxt erkläre ich zunächst den Begriff Zufallsvariable, der auch schon in 0 verwendet worden ist. Dann folgt das Thema Erwartungswert einer Zufallsvariablen. Es folgen Übungen zur Varianz und Standardabweichung. Schließlich zeige ich an 7 Beispielen, wie man Spiele bewertet, das heißt die Wahrscheinlichkeits- Verteilung der Ergebnisse ermittelt und die Gewinnerwartung berechnet. Eine zusätzliche große Aufgabensammlung zu diesem Thema hat die Nummer. Dort kann man sich nach Lust und Laune in allerlei Aufgaben austoben. Inhalt Wichtige Hinweise zur Schreibweise von Ereignissen Mittelwert Erwartungswert Musterbeispiele zum Erwartungswert Voraussage der Streuung der Werte. Wie läuft das mit dem Zufall= - Lesestoff fürs Verständnis Varianz = mittlere quadratische Abweichung Standardabweichung. Weitere Beispiele zu Varianz und Standardabweichung Bewertung von Spielen 8 Allgemeines dazu 8. Spiel: Ein So-lange-bis Würfelspiel 9. Spiel: Am Glücksrad drehen 0. Spiel: Bunte Bälle ziehen Erwartungswert als quadratische Funktion. Spiel: Ein Glücksrad gewinnorientiert planen. Spiel: Ein verworrenes Münzwurfspiel. Spiel: Ein kompliziertes Würfelspiel DEMO für 7. Spiel: Rubbelspiel auf dem Münchner Oktoberfest

3 0 Erwartungswert Varianz Standardabweichung 9 Beispiel : Ein Glücksrad dreimal drehen Nebenstehendes Glücksrad wird dreimal gedreht. Die Ergebniszahlen werden addiert. X sei die Zufallsvariable Summe der Ergebniszahlen bei Drehungen. Mit welcher Summe kann man durchschnittlich langfristig rechnen? Ereignis X P(X=x i ) {} {,,} {,,,,,} {,,,,,,} {,,,,,} 7 {,,} 8 {} 9 Die ausführliche Berechnung des Erwartungswerts erfolgt durch 7 Summanden: E(X) P(X ) P(X )... 9P(X 9) 8 0 d. h. E(X) E(X) , Man kann langfristig mit einem Durchschnittswert von 7 rechnen. Zusatzfrage: Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X an und zeichne ein Histogramm: Lösung: X P(X=x i ) 7 0 DEMO für Unter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung versteht man die Wertetafel der Wahrscheinlichkeitsfunktion, die jedem Wert von X eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Und das Histogramm stellt diese Werte durch Rechtecke der Breite dar.

4 0 Erwartungswert Varianz Standardabweichung 0 Beispiel : Kugeln ziehen bis.. In einer Schale befinden sich rote und blaue Kugeln Wie oft muss man (blind) ziehen, bis man beide roten Kugeln in der Hand hat, ohne die gezogenen Kugeln wieder zurück zu legen. Gesucht ist (natürlich) der Erwartungswert für die Anzahl X der notwendigen Ziehungen. Lösung: Es ist klar, dass man also mindestens -mal ziehen muss und höchstens Ziehungen benötigt, bis man beide roten Kugeln in der Hand hält. X hat also den Definitionsbereich S,,,, Erfassung aller möglichen Ereignisse bei diesem Experiment durch eine Tabelle: Ereignis X P(X = x i ) rr rbr ;brr rbbr ; brbr ;bbrr rbbbr ; brbbr ; bbrbr ;bbbrr rbbbbr ; brbbb r ; bbrbbr; bbbrbr; bbbbrr Berechnung des Erwartungswerts: E(x) xp xp... xp,7 70 Man muss mit durchschnittlich,7 Ziehungen rechnen, bis man beide roten Kugeln hat. Hinweis: Das Problem stellt die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten dar. Diese insgesamt Pfade kann man auch gut in einem Baum darstellen. Besser ist es jedoch, wenn man die Ereignisse systematisch erfasst. In der ersten Reihe steht die zweite Kugel auf Platz, in der zweiten Reihe auf Platz usw. Damit gewinnt man schnell eine gute Übersicht und übersieht keine Möglichkeit. Wichtig ist dabei, dass man erkennt, dass die Ergebnisse eines Ereignisses alle dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Beispiel: X :. Ergebnis (Pfad): DEMO für r b b r : p. Ergebnis (Pfad):. Ergebnis (Pfad): b r b r p b b r r p Im Nenner stehen der Reihe nach die Zahlen,,,, denn bei jedem Zug wird (ohne Zurücklegen) die Anzahl der Kugeln um kleiner. Im Zähler steht für die. blaue eine, für die zweite eine, und zwar egal, wann diese gezogen werden, und analog dazu für die erste rote, für die zweite rote.

5 0 Erwartungswert Varianz Standardabweichung Beispiel : Defektes Bauteil suchen und finden Ein Betrieb fertigt elektronische Bauteile als Massenware; die Ausschussquote beträgt 0 %. Eine Schaltung (siehe Skizze) enthält Bauteile, von denen genau eines defekt ist. Um dieses herauszufinden, werden die Bauteile der Reihe nach untersucht, bis feststeht, welches Bauteil defekt ist. Wie viele Bauteile sind im Schnitt zu prüfen? Lösung Wichtig: Man muss maximal Teile testen. Begründung: Ist das. Bauteil defekt, wurde Test durchgeführt mit der Wahrscheinlichkeit. Ist das. Bauteil aber gut, liegen noch Bauteile vor, von denen eines defekt ist. Das. Bauteil ist defekt mit p = =, usw. Sind die Bauteile bis gut, dann kann nur das letzte defekt sein. Dazu muss dann kein weiterer Test mehr vorgenommen werden, wenn man weiß, dass eines defekt sein muss! Veranschaulichung der Testreihe mit diesem Abbruchbaum : B gut B def B B B B B Auswertung in einer Tabelle (Wahrscheinlichkeitsverteilung): Ereignis Z = Zahl der Tests P(Z = z i ) B defekt B defekt B defekt B defekt B gut B gut B gut B def B def B def B def = = DEMO für = B defekt = Berechnung des Erwartungswerts E( Z) = 0,+ 0,+ 0,+ 0,+ 0, = ( ) 0, = 0, =,8 Es sind im Schnitt,8 Bauteile zu prüfen. Siehe dazu die Aufgabe in, wo Einzeltest und auch das Modulverfahren angewandt werden.

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