Erwartungswert. Wahrscheinlichkeit

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Erwartungswert. Wahrscheinlichkeit"

Helene Hochberg
vor 7 Jahren
Abrufe

1 Erwartungswert Bei einem Glücksspiel wird (häufig) jedem Elementarereignis ein Reingewinn zugeordnet. Eine Funktion, die jedem Elementarereignis eine Zahl zuordnet, heißt Zufallsvariable. Sie wird mit einem großen Buchstaben wie X, Y, Z bezeichnet. Betrachten wir hierzu ein einfaches Beispiel: Eine Münze mit den Seiten und wird mal geworfen. Die Anzahl der Einsen sei mein Gewinn. Die Menge der Elementarereignisse besteht aus Elementen: Ω = {,,...,}. Sei X die Anzahl der Einsen für ein Elementarereignis, z.b. X() = 2, X() =, X() =. Mein Gewinn X ist eine Funktion auf Ω. Das Diagramm veranschaulicht die Funktion. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mein Gewinn (, 2, ) beträgt? 2 Da die Elementarereignisse alle die Wahrscheinlichkeit / haben, kann die Tabelle leicht aufgestellt werden: Gewinn 2 Wahrscheinlichkeit Diese Tabelle heißt Verteilung der Zufallsvariablen X. Die Verteilung einer Zufallsvariablen ist die Liste ihrer Werte mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten, sie kann durch ein Streckendiagramm, ein Histogramm oder ein Glücksrad veranschaulicht werden. 2 x 2 x 2 Mit welchem Durchschnittsgewinn ist nun je Versuchswiederholung zu rechnen? Dieser wichtige Wert heißt Erwartungswert der Zufallsvariablen X. Nehmen wir an, es werden n Spiele gespielt. Nach der Häufigkeitsdeutung der Wahrscheinlichkeit wird der Gewinn etwa n, der Gewinn etwa n eintreten. Der Gesamtgewinn ist ungefähr n + n + n 2+ n und daher ist der Durchschnittsgewinn pro Spiel: Nimmt eine Zufallsvariable X die Werte x, x 2,..., x n mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p, p 2,..., p n an, so ist der Erwartungswert: E(X) = x p +x 2 p x n p n. Zwei Würfel werden geworfen. X sei die geworfene Augensumme. Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariablen X an, zeichnen Sie ein Streckendiagramm und berechnen Sie den Erwartungswert.

2 Erwartungswert Sei X eine Zufallsvariable mit der Verteilung: x x 2 x x 4 p p 2 p p 4 Die Verteilung kann immer als Massenverteilung gedeutet werden. Die Gesamtmasse wird auf die Punkte x i verteilt. Dabei wird dem Punkt x i die Masse p i zugewiesen. Der Schwerpunkt µ charakterisiert die Massenverteilung. Nach dem Hebelgesetz müssen die links- und rechtsdrehenden Momente gleich sein. p p 2 p p 4 µ x x 2 x x 4 (µ x )p +(µ x 2 )p 2 = (x µ)p +(x 4 µ)p 4 Durch Auflösen nach µ und unter Berücksichtigung von p +p 2 +p +p 4 = folgt: µ = x p +x 2 p 2 +x p +x 4 p 4 2

3 Zeitschriftenverkauf Ein Zeitschriftenladen bezieht pro Woche Exemplare einer wenig verlangten Fahrradzeitschrift. Pro Exemplar bezahlt der Besitzer, e und verkauft es für 2,7 e. Unverkaufte Fahrradzeitschriften entsorgt er, sobald er die neuen Exemplare erhält. Aus Erfahrung weiß er: Nachfragen pro Woche 2 mehr als Wahrscheinlichkeit,2,,,, Lohnt sich der Verkauf der Fahrradzeitschrift auf lange Sicht?

4 Ein Zeitschriftenladen bezieht pro Woche Exemplare einer wenig verlangten Fahrradzeitschrift. Pro Exemplar bezahlt der Besitzer, e und verkauft es für 2,7 e. Unverkaufte Fahrradzeitschriften entsorgt er, sobald er die neuen Exemplare erhält. Aus Erfahrung weiß er: Nachfragen pro Woche 2 mehr als Wahrscheinlichkeit,2,,,, Lohnt sich der Verkauf der Fahrradzeitschrift auf lange Sicht? Nachfragen pro Woche 2 mehr als Wahrscheinlichkeit,2,,,, Gewinn/Verlust in e,9,2,5 4,2 4,2 z.b. für eine Nachfrage:,e + 2,7e =,2e Der Erwartungswert für den Gewinn des Händlers beträgt:,5 e 4

5 Fahrzeiten Herr A trifft auf seinem Weg zur Arbeit auf 4 unabhängig voneinander geschaltete Ampeln. Die Rot- und Grünphasen dauern jeweils 2,4 Minuten, die Gelbphase bleibt unberücksichtigt. Wenn er stets auf eine grüne Ampel trifft, benötigt er 5 Minuten zur Arbeit. Ermittle die Wahrscheinlichkeiten der durchschnittlichen Fahrzeiten, falls Herr A entweder auf, 2, oder 4 rote Ampeln trifft. Welche Fahrzeit benötigt er im Schnitt? Variation Die Rotphase dauert 4 Minuten, die Grünphase 2 Minuten. 5

6 Fahrzeiten Herr A trifft auf seinem Weg zur Arbeit auf 4 unabhängig voneinander geschaltete Ampeln. Die Rot- und Grünphasen dauern jeweils 2,4 Minuten, die Gelbphase bleibt unberücksichtigt. Wenn er stets auf eine grüne Ampel trifft, benötigt er 5 Minuten zur Arbeit. Ermittle die Wahrscheinlichkeiten der durchschnittlichen Fahrzeiten, falls Herr A entweder auf, 2, oder 4 rote Ampeln trifft. Welche Fahrzeit benötigt er im Schnitt?,4 k P(X= k) = binompdf(n,p,k),,2, n = 4 (Ampeln) p = k (Anz. Ampeln) P Wartezeit (min) Fahrzeit (min),625 5,25,2 6,2 2,75 2,4 7,4,25,6,6 4,625 4, 9, durchschnittliche Fahrzeit:,25,2+,75 2,4+,25,6+,625 4,+5 = 2,4+5 = 7,4 (min) (= 4 /2,2+5) Variation Die Rotphase dauert 4 Minuten, die Grünphase 2 Minuten. k P Wartezeit (min) Fahrzeit (min),2 5, , , ,975 2,4,,2, 2 4 Mit der Wahrscheinlichkeit p = 2/ ist eine Ampel rot. durchschnittliche Fahrzeit:,9 2+,296 4+,95 6+, = 5,+5 = 2, (min) (= 4 2/ 2+5) 6

7 Siehe auch (Sek I): Erwartungswert, Aufgaben Startseite 7

Ähnliche Dokumente

Zufallsgröße: X : Ω R mit X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße: X : Ω R mit X : ω Anzahl der geworfenen K`s 4. Zufallsgrößen =============================================================== 4.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------