Übung zur Stochastik

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1 Übung zur Stochastik 1.) Die G-Partei hat bei der vergangenen Kommunalwahl in einer Stadt mit etwa wahlberechtigten Bürgern rund 9 % der Stimmen erhalten. Nun werden rein zufällig ausgewählte Wahlberechtigte dieser Stadt erneut befragt. Bestimmen Sie die binomialverteilte Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den Befragten a) genau 90 G-Wähler; b) mindestens 90 G-Wähler c) höchstens 90 G-Wähler befinden. 2.) Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 15 Fragen. Für jede Frage sind vier Auswahlantworten vorgegeben, von denen jeweils genau eine richtig ist. Ein Prüfling hat die Antworten jeweils auf gut Glück angekreuzt. Berechnen Sie die binomialverteilte Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: A = {genau acht Antworten sind richtig}; B = {mehr als die Hälfte der Antworten sind richtig}; C = {weniger als ein Drittel der Antworten sind richtig}; D = {höchstens fünf Antworten sind falsch} 3.) Ein Führerscheintest besteht aus 6 Fragen mit je 3 Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist. X sei die binomialverteilte Zufallsgröße, die die Anzahl der richtig beantworteten Fragen beschreibt. a) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung tabellarisch und graphisch dar. b) Berechnen Sie den Erwartungswert. c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Kandidat den Test, wenn er auf gut Glück jeweils eine Antwort ankreuzt? Der Test gilt als bestanden, wenn mindestens 4 Fragen richtig beantwortet sind. 4.) Ein Wettbewerb bei einem Sportfest ist der Ballzielwurf. Peters Trefferwahrscheinlichkeit sei bei jedem Wurf 0,3. Dieser Wurf wird als binomialverteilt aufgefasst. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Peter bei 6 Würfen genau 3 Treffer erzielt. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Peter bei 6 Würfen höchstens 4 Treffer erzielt. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Peter bei 6 Würfen mindestens 2 Treffer erzielt. d) Wie oft muss Peter werfen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens einmal trifft, über 95% liegt?

2 5.) Eine Urne enthalte sechs Kugeln, auf die je genau eine Zahl aufgedruckt ist. Auf zwei Kugeln ist die Zahl 2, auf eine die Zahl 3 und auf drei Kugeln die Zahl 6 gedruckt. Ein Zufallsexperiment besteht im zweimaligen Ziehen einer Kugel, die dabei nach erfolgter Ziehung jeweils wieder zurückgelegt werden soll. a) Die Zufallsgröße X beschreibt die dabei ermittelte Augensumme. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an. Stellen Sie diese grafisch dar. b) Peter und sein Partner Paul vereinbaren ein Spiel. Ist die Augensumme beim zweimaligen Ziehen gerade erhält Peter 5 von Paul. Ist die Augensumme beim zweimaligen Ziehen ungerade zahlt Peter 10 an Paul. Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn bzw. Verlust von Peter. Geben sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y an. Entscheiden Sie, ob das Spiel fair ist und begründen Sie Ihre Entscheidung rechnerisch. 6.) Ein Betrieb fertigt elektronische Bauteile als Massenware, die Ausschussquote beträgt 10%. Der laufenden Produktion werden nacheinander 50 Bauteile zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. Die Produktion wird als binomialverteilt aufgefasst. Für die Lösung dieser Aufgabe können Sie die Tabellen im Tafelwerk nutzen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse: A: Alle Bauteile sind einwandfrei. B: 4 Bauteile sind defekt. C: Höchstens 3 Bauteile sind defekt. D: Mehr als 10 Bauteile sind defekt. E: Mindestens 4 und höchstens 6 Bauteile sind defekt. Wie viele Ausschussteile können erwartet werden.

3 Abitur 2004 Mathematik Lk Seite Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,3. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der eintretenden Erfolge an Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse. A: Bei einem 20-stufigen Vorgang treten genau 7 Erfolge ein. B: Bei einem 10-stufigen Vorgang treten mehr als 2 und weniger als 6 Erfolge ein Ermitteln Sie den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ von X für n = 5 und n = 15. Stellen Sie fest, welche Werte der Zufallsvariablen X für n = 5 bzw. n = 15 im Intervall [ µ - 2σ ; µ + 2σ ] liegen Wie groß muss n mindestens gewählt werden, damit das Intervall [ µ - 2σ ; µ + 2σ ] vollständig im Intervall [ 0; n ] enthalten ist?

4 Abitur 2005 Mathematik Gk Seite 3 P3 Stochastik Für die Qualitätskontrolle eines Produktes werden drei Gütemerkmale beurteilt. Die Prüfung der Merkmale wird unabhängig voneinander durchgeführt. Aus Erfahrung weiß man, dass das erste Merkmal mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % positiv beurteilt wird, das zweite mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % und das dritte mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 %. Werden alle drei Merkmale positiv beurteilt, dann ist das Produkt Erste Wahl, bei Zweiter Wahl müssen zwei positive Bewertungen vorliegen. 3.1 Zeichnen Sie ein vollständiges Baumdiagramm für diese Prüfung und geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung an. 3.2 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Produkte als Erster bzw. Zweiter Wahl eingestuft werden. 3.3 Es werden 5000 Produkte hergestellt. Berechnen Sie die Anzahl der zu erwartenden Produkte Erster Wahl. Teil C: Stochastik Erfahrungsgemäß buchen 12 % der Kunden eines Reiseveranstalters eine Individualreise. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: Ereignis A: Ereignis B: Von den nächsten 125 Kunden dieses Reiseveranstalters buchen höchstens 14 eine Individualreise. Von den nächsten 125 Kunden dieses Reiseveranstalters buchen mehr als sechs und weniger als 12 eine Individualreise. Erreichbare BE-Anzahl: 3 b) Berechnen Sie die Mindestanzahl der Kunden dieses Reiseveranstalters pro Tag, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens eine Individualreise pro Tag gebucht wird. Erreichbare BE-Anzahl: 2 Signatur 50/1 (Math-GK-ET/Ma) Seite 6 von 8

5 Abitur 2006 Mathematik LK (CAS) Seite 4 P3 Stochastik (11 BE) Der Betreiber einer Glücksspielhalle bietet folgendes Spiel an. Aus der dargestellten Urne werden auf gut Glück Kugeln gezogen. Der Auszahlungsbetrag ergibt sich als Summe der aufgedruckten Beträge in Cent. 3.1 Betrachtet wird zunächst das Spiel Zweimaliges Ziehen aus der Urne ohne Zurücklegen. Die Zufallsvariable X ist der Auszahlungsbetrag nach einem Spiel Ermitteln Sie mit Hilfe eines Baumdiagramms alle möglichen Werte von X. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X in einem geeigneten Diagramm dar Der Betreiber verlangt vor jedem Spiel einen Einsatz. Berechnen Sie den Mindesteinsatz pro Spiel, damit der Betreiber auf lange Sicht keinen Verlust erzielt. 3.2 In einem weiteren Spiel wird aus der dargestellten Urne zehnmal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Es ist jeweils von Interesse, ob die 50-Cent-Kugel gezogen wird Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dabei höchstens zweimal 50 Cent zu erzielen Berechnen Sie die Anzahl der Ziehungen, die erforderlich sind, um mit mindestens 95%-iger Wahrscheinlichkeit wenigstens einmal eine Kugel mit dem Aufdruck 50 zu erhalten.

6 Abitur 2009 Mathematik mit CAS Seite 5 A3 Stochastik und Analysis Eine mittelständische Firma aus dem Metall verarbeitenden Gewerbe stellt u.a. Räucheröfen her. Mit diesen Produkten präsentiert sich die Firma regelmäßig auf Verbrauchermessen. Langfristige Beobachtungen haben ergeben, dass sich ca. 2 % aller Besucher derartiger Messen speziell für diese Räucheröfen interessieren. 3.1 Bei einer solchen Messe kommen an einem Tag 3450 Besucher Geben Sie an, mit wie vielen Interessenten die Vertreter dieser Firma an diesem Tag rechnen können Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: A: Weniger als 60 Interessenten besuchen an diesem Tag den Stand. B: Mehr als 80 Interessenten besuchen an diesem Tag den Stand. C: Mindestens 60, aber höchstens 70 Interessenten besuchen an diesem Tag den Stand. 3.2 Die Firmenleitung beschließt, ihr Engagement bei der nächsten Messe zu verstärken und bereitet dazu ein Gewinnspiel für 5000 Besucher vor. Gespielt wird mit 4 gewöhnlichen Würfeln, bei denen jeweils die Zahlen 1 bis 6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Bei jedem Wurf werden alle 4 Würfel gleichzeitig geworfen. Würfelt man einen 6-er-Pasch, d.h. alle 4 Würfel zeigen zugleich die 6 an, gewinnt man einen Räucherofen im Wert von 690. Würfelt man einen anderen Pasch, gewinnt man ein Buch zum Thema Räuchern im Wert von 15. Weitere Preise gibt es nicht, das Spiel ist für die Besucher kostenlos Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für den Gewinn eines Räucherofens bzw. eines Buches bei einem Wurf Berechnen Sie den zu erwartenden Gesamtwert aller Gewinne, wenn 5000 Besucher jeweils genau einmal an diesem Spiel teilnehmen.

7 Abitur 2010 Mathematik mit CAS Seite 8 B3 Stochastik Abhängig von der Zusammensetzung der Eiweiße des Blutes unterscheidet man beim Menschen 4 Blutgruppen; A, B, AB und 0. Zusätzlich ist es noch wichtig, das Vorhandensein des sogenannten Rhesusfaktors zu kennen. Daraus ergeben sich verschiedene Kombinationen. Dabei bedeutet z. B. die Angabe A+ die Blutgruppe A mit Rhesusfaktor positiv. Die Kenntnis der Blutgruppe ist bei einer Transfusion von größter Wichtigkeit, da Blut unterschiedlicher Blutgruppen gegebenenfalls verklumpt. Vor der Entdeckung der Blutgruppen waren Blutübertragungen nur zufällig erfolgreich und endeten oft tödlich. Für die gesamte Aufgabe gilt: Ein Spender kann einem Empfänger Blut spenden, bedeutet, die Spende ist für den Empfänger verträglich. Alle weiteren Angaben entnehmen Sie den nachfolgenden Grafiken. Empfänger Spender 0-0+ B- B+ A- A+ AB- AB+ AB+ AB- A+ A- B+ B Tabelle 1: Verträglichkeit der Blutgruppen bedeutet, dass eine Blutübertragung möglich ist Abbildung 1: Blutgruppenverteilung in Deutschland 3.1 Berechnen Sie die Zahlenwerte für x und y aus der Abbildung 1. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: A: Eine zufällig ausgewählte Person hat die Blutgruppe A+. B: Eine zufällig ausgewählte Person hat den Rhesusfaktor (Rh+). C: Eine zufällig ausgewählte Person kann von jedermann eine verträgliche Bluttransfusion erhalten. 3.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person mit der Blutgruppe A+ von einer zufällig ausgewählten Person eine Blutspende erhalten kann. Die Aufgabe wird auf der folgenden Seite fortgesetzt.

8 Abitur 2010 Mathematik mit CAS Seite In Deutschland tritt die Blutgruppe AB- mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,01 auf zufällig ausgewählte Personen werden getestet, ob sie diese Blutgruppe besitzen Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment als Bernoulli-Experiment betrachtet werden darf. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Genau 10 Personen besitzen die Blutgruppe AB-. B: Mehr als 20 Personen besitzen diese Blutgruppe.