WHB11 - Mathematik. AFS II: Umgang mit Zufall und Wahrscheinlichkeiten. Thema: Summierte Binomialverteilung
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- Maria Hofer
- vor 6 Jahren
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1 Binomialverteilung Bisher haben wir berechnet, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass bei einer Bernoulli-Kette n der Länge genau k Treffer auftreten. Die Formel dafür war: B (n;p;k) = P (X=k) = p k k p n k ( 1 ). Diese Werte können auch mit dem CAS ermittelt werden und zwar über menu -> 5 Wahrscheinlichkeit -> 5 Verteilungen -> D Binomial Pdf. Dort gibt man die Anzahl der Versuche, also die Länge der Bernoulli-Kette ein und anschließend die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer, je nachdem was man als Treffer definiert hat. Lässt man die letzte Zeile leer, erhält man als Menge die Wahrscheinlichkeiten für 0, 1, 2, 3, n Treffer und wenn man eine konkrete Trefferzahl angibt, so erhält man genau die eine gesuchte Wahrscheinlichkeit. Probieren Sie damit, ob Sie bei Aufgaben vom Montag richtig gerechnet haben. Schreibweise: Verteilung: X~B(n;p) und P(X = k) Summierte Binomialverteilung In der Praxis interessiert man sich jedoch mehr dafür, dass eine Zufallsvariable Werte aus einem bestimmten Bereich annimmt, z.b. Wie wahrscheinlich ist es, dass beim 20-maligen Münzwurf höchsten 8 mal Zahl wirft? oder Wie wahrscheinlich ist es, dass man beim 50-fachen Würfeln mit einem normalen Würfel mindestens 20 mal eine 6 würfelt? Diese Fragen können mit Hilfe der summierten Binomialverteilung beantwortet werden. Diese Werte können auch mit dem CAS ermittelt werden und zwar über menu -> 5 Wahrscheinlichkeit -> 5 Verteilungen -> E Binomial Cdf.
2 Aufgabe 1: Wörterbuch: Mathe Deutsch Ordnen Sie den sechs Ausdrücken in der linken Spalte die mathematischen Relationszeichen korrekt zu. Es geht um das Zufallsexperiment 50-mal Würfeln und die ZV X: Anzahl Einsen. Übung: Geben Sie die Verteilung an: Relationszeichen, die zugeordnet werden sollen: > ; < ; < ; < ; ; ; = Formulierung in der Aufgabe Mathematischer Ausdruck Wahrscheinlichkeit Höchstens 20 Einsen P (X 20) Mehr als 20 Einsen P (X 20) Genau 20 Einsen P (X 20) Mindestens 20 Einsen P (X 20) Weniger als 20 Einsen P (X 20) Mehr als 15 und weniger als 25 Einsen P ( 15 X 25 ) Zusammenfassung: Deutsch Mathe Mindestens Mehr als Genau Weniger als Höchstens
3 Übungen: Gehen Sie wie folgt vor: 1. Definition der Zufallsgröße (z.b. ZV X: Anzahl richtige Antworten ), falls nicht vorgegeben. 2. Angabe der Verteilung mit den Parametern n und p: z.b. X~B( 20;0,5) 3. Angabe der gesuchten Wahrscheinlichkeiten (z.b. P ( X < 10 ) =., wenn die Wahrscheinlichkeit für weniger als 10 Treffer gesucht ist. Aufgabe 1 Beim dem Spiel Eye-Know muss man Fragen zu bestimmten Themen beantworten. Bei der Schwierigkeitskategorie Mittel kann man die richtige Antwort aus drei möglichen Antworten auswählen. Ein Spieler hat von keinem Thema eine Ahnung und rät bei 20 Fragen, welches die richtige Antwortmöglichkeit ist. a) Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariable X Anzahl richtiger Antworten an. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: b) Der Spieler hat genau 11 richtige Antworten. c) Der Spieler hat weniger als 6 richtige Antworten. d) Der Spieler hat höchstens 3 richtige Antworten. e) Der Spieler hat mindestens eine richtige Antwort. f) Der Spieler hat mehr als 10 richtige Antworten. g) Der Spieler hat höchstens 20 richtige Antworten. Aufgabe 2 Bei den Klausuren des Mathematiklehrers V. fehlen in der Regel 10% der Schüler. Für die nächste Mathe-Klausur seiner beiden Klassen mit insgesamt 50 Schülern kopiert er daher nur 44 Exemplare. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen diese Kopien aus? Aufgabe 3 Beim dem Spiel Quizduell muss man Fragen zu bestimmten Themen beantworten. Man kann die richtige Antwort aus vier möglichen Antworten auswählen. Ein Spieler hat von keinem Thema eine Ahnung und rät bei 17 Fragen, welches die richtige Antwortmöglichkeit ist. a) Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariable X: Anzahl richtiger Antworten an. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: b) Der Spieler hat genau 9 richtige Antworten. c) Der Spieler hat mindestens 12 richtige Antworten. d) Der Spieler hat mindestens eine Antwort richtig. e) Der Spieler hat weniger als 8 Antworten richtig. f) Der Spieler hat mehr als 5 falsche Antworten. g) Der Spieler hat höchstens 7 falsche Antworten.
4 Aufgabe 4 Die von der JoRo GmbH produzierten USB-Sticks weisen in 4% der Fälle einen Fehler auf. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man in einem Paket mit 20 USB-Sticks mehr als einen fehlerhaften Stick findet. Aufgabe 5 Der Vorstand eines Vereins lädt seine 50 Mitglieder zur Hauptversammlung ein. Aufgrund langjähriger Erfahrung geht der Vorstand davon aus, dass jedes Mitglied nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% erscheint. Bestimmen Sie mit welcher Wahrscheinlichkeit die Bestuhlung des Vereinsraum ausreicht, wenn a) 30 Stühle hingestellt werden b) 35 Stühle hingestellt werden. Aufgabe 6 Bestimmte Kugelschreiber des Unternehmens Schreiblust nutzen einige Abnehmer als Werbegeschenke für ihre Kunden. Bei der Produktion treten je nach Art des Kugelschreibers verschiedene Fehler auf. Aufgabe a) ist freiwillig für Einser-Kandiaten zu Hause: a) Bei den Kugelschreibern können zwei voneinander unabhängige Fehler auftreten: defekte Mechanik (Fehlerwahrscheinlichkeit p) und defekte Mine (Fehlerwahrscheinlichkeit q). Eine defekte Mechanik tritt dabei häufiger auf als eine defekte Mine. Die Wahrscheinlichkeit für einen Kugelschreiber mit genau einem der beiden Fehler beträgt 4,88 %, während die Wahrscheinlichkeit für einen Kugelschreiber mit beiden Fehlern 0,06 % beträgt. Berechnen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeiten p und q sowie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: A: Ein Kugelschreiber ist fehlerfrei. B: Ein Kugelschreiber hat eine defekte Mine, aber keine defekte Mechanik. Ab jetzt für alle wieder Pflicht! Bei der Produktion einer anderen Art von Kugelschreiber treten mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % defekte Kugelschreiber auf. b) Ein Qualitätsprüfer entnimmt der laufenden Produktion zufällig 70 Kugelschreiber. Erläutern Sie, warum es sich um ein Bernoulli-Experiment handelt. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse (n =70): (1) Der Prüfer findet genau sechs defekte Kugelschreiber. (2) Der Prüfer findet mindestens fünf defekte Kugelschreiber. (3) Der Prüfer findet höchstens drei defekte Kugelschreiber. (4) Der Prüfer findet mehr als zwei und weniger als sechs defekte Kugelschreiber. (5) Der Prüfer findet mindestens 48 funktionierende Kugelschreiber.
5 Aufgabe 7 Im Produktionsprozess der Basislacke werden aus Rohstoffen Grundsubstanzen hergestellt und aus diesen wiederum die Basislacke. Die Basislacke am Standort München werden in zwei Arbeitsgängen produziert und in Kanister abgefüllt. Im ersten Arbeitsgang kann ein Mangel in der Fließfähigkeit und im zweiten Arbeitsgang ein Mangel in der Farbtreue entstehen. Die Mängel treten unabhängig voneinander auf und betreffen die gesamte Kanisterfüllung. Im Folgenden gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kanisterfüllung mindestens einen der Mängel aufweist, beträgt p = 0,1. a) Am Standort München wird zur Qualitätssicherung eine Stichprobe von 70 Kanistern aus der laufenden Produktion entnommen und deren Inhalt überprüft. Die Zufallsgröße X gibt hierbei die Anzahl der Kanister mit mangelhafter Füllung an. Begründen Sie, warum von einer binomialverteilten Zufallsgröße ausgegangen werden kann. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: E1: Genau 15 Kanisterfüllungen weisen einen Mangel auf. E2: Mindestens 12 der Kanisterfüllungen weisen einen Mangel auf. E3: Höchstens 10 Kanisterfüllungen weisen einen Mangel auf.
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Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [
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