Abitur 2010 Mathematik GK Stochastik IV

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1 Seite Seite Abitur 00 Mathematik GK Stochastik IV Das Spiel Gewinn mit Vier besteht aus dem einmaligen Drehen des abgebildeten Laplace- Glücksrades mit gleich großen Sektoren und dem einmaligen Werfen eines üblichen Laplace- Würfels. Teilaufgabe c (5 BE) Wie viele Kandidaten müssen in der Show mindestens Gewinn mit Vier spielen, damit die, dass mindestens ein Kandidat einen Kleingewinn erhält, mehr als 99 % beträgt? Teilaufgabe ( BE) Ein Kandidat wird zur nächsten Show erneut eingeladen, wenn beim Spiel Gewinn mit Vier die Summe der beiden von ihm erzielten Zahlen den Wert ergibt. Berechnen Sie die zugehörige. Teilaufgabe (5 BE) Teilaufgabe (7 BE) Es werden die beiden Ereignisse Erzielt ein Kandidat beim Spiel Gewinn mit Vier zweimal die Zahl, darf er an die Glückswand. An dieser sind zwölf Felder in zufälliger Anordnung beschriftet, und zwar je drei mit 0 e, 00 e, 500 e bzw. 000 e. Die folgende Abbildung zeigt eine mögliche Anordnung der Geldbeträge an der Glückswand. A: Beim Drehen des Glücksrades wird die Zahl erzielt und B: Beim Werfen des Würfels wird die Zahl erzielt betrachtet. Drücken Sie die Ereignisse C: Keines der beiden Ereignisse A und B tritt ein und D: Höchstens eines der beiden Ereignisse A und B tritt ein durch A und B unter Verwendung der Mengenschreibweise aus und berechnen Sie die en von C und D. In einer Spielshow spielt jeder Kandidat das Spiel Gewinn mit Vier genau einmal. Ein Kandidat erhält nur dann einen Kleingewinn, wenn er beim Spiel Gewinn mit Vier genau einmal die Zahl erzielt. Teilaufgabe a ( BE) Zeigen Sie, dass die dafür beträgt. Teilaufgabe b ( BE) Für die Show wurden 5 Kleingewinne bereitgestellt. Wie groß ist die, dass diese ausreichen, wenn 5 Kandidaten am Spiel teilnehmen? Die Felder sind zunächst verdeckt. Ein Spieler darf vier Felder aufdecken und erhält die Summe der aufgedeckten Geldbeträge. Wie groß ist für einen Kandidaten die, dass er im Rahmen einer Show an die Glückswand darf und dort mindestens 000 e gewinnt? Teilaufgabe 5 ( BE) Es wird vermutet, dass die für die Augenzahl beim Würfel nicht mehr beträgt, sondern höher ist. Um zu entscheiden, ob der Würfel ausgetauscht werden muss, wird er 00-mal geworfen. Der Würfel soll ausgetauscht werden, wenn die Augenzahl dabei mehr als 0-mal erscheint. Wie groß ist die, dass ein Laplace- Würfel irrtümlich ausgetauscht wird? Die für einen Kleingewinn (vgl. Aufgabe ) soll von auf reduziert werden. Dazu verkleinert man den Sektor mit der Zahl auf dem Glücksrad. Die Sektoren der anderen Zahlen werden so angepasst, dass die Winkel aller Sektoren zusammen wieder 0 ergeben. Der Laplace-Würfel bleibt unverändert. Abitur Bayern 00 GK Stochastik IV

2 Seite Seite Teilaufgabe a (5 BE) Berechnen Sie die p, mit der die Zahl nun beim Drehen des Glücksrades erzielt wird, und geben Sie die Größe des Winkels des zugehörigen Sektors an. Teilaufgabe b ( BE) Begründen Sie, dass durch diese Änderungen am Glücksrad die für den Summenwert gegenüber der Ausgangssituation (vgl. Aufgabe ) größer wird. Lösung Teilaufgabe (7 BE) Das Spiel Gewinn mit Vier besteht aus dem einmaligen Drehen des abgebildeten Laplace- Glücksrades mit gleich großen Sektoren und dem einmaligen Werfen eines üblichen Laplace-Würfels. Es werden die beiden Ereignisse A: Beim Drehen des Glücksrades wird die Zahl erzielt und B: Beim Werfen des Würfels wird die Zahl erzielt betrachtet. Drücken Sie die Ereignisse C: Keines der beiden Ereignisse A und B tritt ein und D: Höchstens eines der beiden Ereignisse A und B tritt ein durch A und B unter Verwendung der Mengenschreibweise aus und berechnen Sie die en von C und D. Lösung zu Teilaufgabe Mengenschreibweise für die Ereignisse C und D : Erläuterung: Schnitt zweier Ereignisse Das Ereignis C bedeutet: Nicht A UND nicht B treten ein, also die Schnittmenge von A und B. Abitur Bayern 00 GK Stochastik IV

3 Seite 5 Seite C = A B Erläuterung: Vereinigung zweier Ereignisse, De Morgansche Gesetze Das Ereignis D bedeutet: Entweder nicht A oder nicht B, also die Vereinigung von A und B. Nach dem Gesetzt von De Morgan, gilt: A B = A B D = A B = A B Baumdiagramm erstellen: Erläuterung: Laplace-,. Pfadregel Jede Zahl auf dem Laplace-Glücksrad ist mit einer von vertreten P (A) =. Jede Zahl auf dem Laplace-Würfel ist mit einer von vertreten P (B) =..Pfadregel: In einem Baumdiagramm ist die eines Ereignisses gleich dem Produkt der en längs des zugehörigen Pfades. Beispiel: P (A B) = P (A) P (B) = = en bestimmen: P (C) = P ( A B ) = 5 = 5 =, 5% 8 P (D) = P ( A B ) = P (A B) = = 95, 8% Teilaufgabe a ( BE) In einer Spielshow spielt jeder Kandidat das Spiel Gewinn mit Vier genau einmal. Ein Kandidat erhält nur dann einen Kleingewinn, wenn er beim Spiel Gewinn mit Vier genau einmal die Zahl erzielt. Zeigen Sie, dass die dafür beträgt. Lösung zu Teilaufgabe a Ereignisse: A : Beim Drehen des Glücksrades wird die Zahl erzielt B : Beim Werfen des Würfels wird die Zahl erzielt Abitur Bayern 00 GK Stochastik IV

4 Seite 7 Seite 8 E : Kandidat erzielt genau einmal die Zahl Baumdiagramm (aus Teilaufgabe ): Für die Show wurden 5 Kleingewinne bereitgestellt. Wie groß ist die, dass diese ausreichen, wenn 5 Kandidaten am Spiel teilnehmen? Lösung zu Teilaufgabe b Binomialverteilung Treffer = Kleingewinn bekommen Niete = Kleingewinn nicht bekommen p = P (Treffer) = (siehe Teilaufgabe a) n = 5 Z 5 Anzahl der Kandidaten (Kleingewinne reichen aus bei höchstens 5 Gewinne) bestimmen (Wert wird aus dem Tafelwerk entnommen): P 5 (Z 5) = 0, 87 =, 8% für einen Kleingewinn: Erläuterung: Ereignis Das Ereignis E bedeutet: Der Kandidat dreht eine beim Glücksrad (Ereignis A ) und wirft keine beim Würfeln (Ereignis B ) ODER der Kandidat dreht kein beim Glücksrad (Ereignis A) und wirft eine beim Würfeln (Ereignis B ). Die en der verschiedenen Ereignisse werden aus dem Baumdiagramm entnommen. P (E) = P (A B) + P (A B) = 5 }{{} + = 8 = Teilaufgabe c (5 BE) Wie viele Kandidaten müssen in der Show mindestens Gewinn mit Vier spielen, damit die, dass mindestens ein Kandidat einen Kleingewinn erhält, mehr als 99 % beträgt? Lösung zu Teilaufgabe c Binomialverteilung Treffer = Kandidat bekommt Kleingewinn Niete = Kandidat bekommt kein Kleingewinn p = P (Treffer) = q = P (Niete) = p = (siehe Teilaufgabe a) n Anzahl der Kandidaten (die zu bestimmen sind) Teilaufgabe b ( BE) Z mindestens ein Treffer Abitur Bayern 00 GK Stochastik IV

5 Seite 9 Seite 0 Die, dass mindestens ein Kandidat einen Kleingewinn erhält, soll mehr als 99% betragen. Es gilt somit: P n (Z ) > 0, 99 Erläuterung: Gegenereignis Es wird das Gegenereignis betrachtet: P(mindestens Treffer) = - P(kein Treffer) P n (Z = 0) > 0, 99 Erläuterung: Bernoulli-Formel Die genau k Treffer bei n Versuchen zu erzielen beträgt: ( n ) P (k Treffer) = Pp n (Z = k) = p k ( p) n k k Dabei ist: n = Anzahl der Versuche k = Anzahl der Treffer p = eines Treffers pro Versuch p = einer Niete pro Versuch Spezialfall k = 0: ( n ) P (0 Treffer) = Pp n (Z = 0) = p 0 ( p) n 0 }{{} 0 }{{} P (0 Treffer) = ( p) n ( ) n > 0, 99 Erläuterung: Rechenweg ( ) n > 0, 99 ( ) n < 0, 99 logarithmieren ( ) n ln < ln( 0, 99) ( ) ( ) n ln < ln( 0, 99) : ln }{{} <0 (da die Ungleichung durch eine negative Zahl geteilt wird, ändert sich das Relationszeichen) ln( 0, 99) n > ln ( ) ln( 0, 99) n > ln ( ) n >, 5 n Es müssen mindestens Kandidaten am Spiel Gewinn mit Vier teilnehmen. Teilaufgabe ( BE) Ein Kandidat wird zur nächsten Show erneut eingeladen, wenn beim Spiel Gewinn mit Vier die Summe der beiden von ihm erzielten Zahlen den Wert ergibt. Berechnen Sie die zugehörige. Lösung zu Teilaufgabe A: Summe der erzielten Zahlen ist gleich Mögliche Augensumme: entweder + oder + oder + Abitur Bayern 00 GK Stochastik IV

6 Seite Seite Erläuterung: einer Zufallsgröße Jede Zahl auf dem Laplace-Glücksrad ist mit einer von vertreten. Jede Zahl auf dem Laplace-Würfel mit einer von. Die eine beim Glücksrad UND eine beim Würfeln zu erzielen ist gegeben aus dem Produkt der einzelnen en: P ( und ) = Analoges gilt für die Fälle und und und. A: Kandidat kommt an die Glückswand und gewinnt mindestens 000 Euro, dass der Kandidat an die Glückswand kommt (siehe Teilaufgabe ): P ( mal )= Möglichkeiten mehr als 000 Euro aufzudecken: /00/500 oder Die des Ereignisses A ergibt sich dann durch die Summe der en der einzelnen Fällen. + P (A) = = = =, 5% 8 Teilaufgabe (5 BE) Erzielt ein Kandidat beim Spiel Gewinn mit Vier zweimal die Zahl, darf er an die Glückswand. An dieser sind zwölf Felder in zufälliger Anordnung beschriftet, und zwar je drei mit 0 e, 00 e, 500 e bzw. 000 e. Die folgende Abbildung zeigt eine mögliche Anordnung der Geldbeträge an der Glückswand. Die Felder sind zunächst verdeckt. Ein Spieler darf vier Felder aufdecken und erhält die Summe der aufgedeckten Geldbeträge. Wie groß ist für einen Kandidaten die, dass er im Rahmen einer Show an die Glückswand darf und dort mindestens 000 e gewinnt? Lösung zu Teilaufgabe Abitur Bayern 00 GK Stochastik IV

7 Seite Seite Erläuterung: einer Zufallsgröße Damit ein Kandidat mehr als 000 Euro gewinnen kann, muss er erst an die Glückswand kommen. Danach muss einer der oben genannten Fälle eintreten: entweder werden drei 000 Euro Felder aufdeckt und ein weiteres beliebiges Feld oder zwei 000 Euro Felder und zwei 500 Euro Felder. P (A) = P ( mal ) P (gewinnt mehr als 000 Euro) P (gewinnt mehr als 000 Euro) = P ( mal 000 Euro Feld und mal beliebiges Feld) +P ( mal 000 Euro Feld und mal 500 Euro Feld) Teilaufgabe 5 ( BE) Es wird vermutet, dass die für die Augenzahl beim Würfel nicht mehr beträgt, sondern höher ist. Um zu entscheiden, ob der Würfel ausgetauscht werden muss, wird er 00-mal geworfen. Der Würfel soll ausgetauscht werden, wenn die Augenzahl dabei mehr als 0-mal erscheint. Wie groß ist die, dass ein Laplace-Würfel irrtümlich ausgetauscht wird? Lösung zu Teilaufgabe 5 Hypothesentest - Fehler.Art Daten aus der Aufgabenstellung analysieren: Anzahl der ( ) Möglichkeiten drei 000 Euro Felder aus drei vorhandenen zu wählen:. Anzahl ( ) der Möglichkeiten ein beliebiges Feld aus 9 übrigen Felder zu wählen: 9. Anzahl der Möglichkeiten Felder aus zu wählen: ( ). P ( mal 000 Euro Feld und mal beliebiges Feld) = ( 9 ( ) ) Hypothese H : p = Alternative H : p > n = 00 Anzahl Würfe k = 0 Entscheidungsregel: Anzahl ( ) der Möglichkeiten zwei 000 Euro Felder aus vorhandenen zu wählen:. Anzahl der ( ) Möglichkeiten zwei 500 Euro Felder aus vorhandenen Felder zu wählen:. Anzahl der Möglichkeiten Felder aus zu wählen: ( ). P ( mal 000 Euro Feld und mal 500 Euro Feld) = ( ( ) ) des Ereignisses A : P (A) = ( 9 + ( ) ) 0, 5% Abitur Bayern 00 GK Stochastik IV

8 Seite 5 Seite Erläuterung: Fehler Art Berechnen Sie die p, mit der die Zahl nun beim Drehen des Glücksrades erzielt wird, und geben Sie die Größe des Winkels des zugehörigen Sektors an. Es soll die für ein irrtümliches Austauschen eines Laplace- Würfels berechnet werden. Das ist der Fall wenn H stimmt, aber man sich im Bereich H befindet, also Z k +. Da H stimmt, rechnet man mit der p. Fehler erster Art: P 00 (Z ) Man spricht vom Fehler erster Art, wenn die Hypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. Fehler erster Art: P 00 (Z ) Lösung zu Teilaufgabe a Aus Teilaufgabe a) folgt: P (E) = P (A B) + P (A B)= P (A) P (B) + P (A) P (B) = mit A : Beim Drehen des Glücksrades wird die Zahl erzielt B : Beim Werfen des Würfels wird die Zahl erzielt E : Kandidat erzielt genau einmal die Zahl Erläuterung: Gegenereignis Es wird das Gegenereignis betrachtet: P(mindestens k+ Treffer) = - P(höchstens k Treffer) = P 00 (Z 0) = 0, 88 (Wert wird im stoch. Tafelwerk abgelesen) 5, % Die, dass ein Laplace-Würfel irrtümlich ausgetauscht wird, ist gleich 5, %. Sei nun P (A) = p und P (E) =. Daraus folgt: P (E) = p 5 + ( p) = 5 p + p = p = p = 8 Die, die Zahl beim Drehen des Glücksrades zu erzielen, beträgt 8. Winkel α des Sektors der Zahl : Teilaufgabe a (5 BE) Die für einen Kleingewinn (vgl. Aufgabe ) soll von auf reduziert werden. Dazu verkleinert man den Sektor mit der Zahl auf dem Glücksrad. Die Sektoren der anderen Zahlen werden so angepasst, dass die Winkel aller Sektoren zusammen wieder 0 ergeben. Der Laplace-Würfel bleibt unverändert. α = 8 0 = 5 Teilaufgabe b ( BE) Begründen Sie, dass durch diese Änderungen am Glücksrad die für den Summenwert gegenüber der Ausgangssituation (vgl. Aufgabe ) größer wird. Abitur Bayern 00 GK Stochastik IV

9 Seite 7 Lösung zu Teilaufgabe b Begründung: Für den Summenwert dürfen am Glücksrad nur die Werte, oder auftreten. Da der Sektor der Zahl kleiner geworden, ist als in der Ausgangssituation, sind die Sektoren der anderen Zahlen größer geworden, somit ist auch die größer geworden einer dieser Zahlen und dementsprechend den Summenwert zu erzielen. Alternative Lösung Begründung: A: Summe der erzielten Zahlen ist gleich Aus Teilaufgabe folgt: + P (A) = = Mit p = P (Zahl beim Glücksrad) = (siehe Teilaufgabe a), folgt für die, eine andere Zahl beim Drehen des Glücksrades zu 8 erzielen: P (Zahl ) = P (Zahl ) = P (Zahl ) = 8 = 7 Die den Summenwert zu erzielen, ist dann: + 7 P (A) = > = 7 8 Abitur Bayern 00 GK Stochastik IV