Grundwissen Stochastik Grundkurs 23. Januar 2008

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1 GYMNSIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math.-technolog. u. sprachl. Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRSSE PEGNITZ FERNRUF 09241/48333 FX 09241/2564 Grundwissen Stochastik Grundkurs 23. Januar Erklären Sie die stochastischen Begriffe (a) Ergebnis, (b) Ergebnisraum sowie (c) Mächtigkeit des Ergebnisraumes und geben Sie ein Zufallsexperiment, an dem Sie die Begriffe verdeutlichen können. (a) Ein Ergebnis ist der mögliche usgang eines stochastischen Experimentes. (b) lle möglichen Ergebnisse werden zu einer Menge (genannt Ergebnisraum) zusammengefasst. (c) Die nzahl der Elemente heißt Mächtigkeit des Ergebnisraumes. Beispiel: Einfacher Würfelwurf Beobachtungsgegenstand: Oberseite des Würfels = {1; 2; 3;4; 5; 6} = 6 2. Erkläre an einem Beispiel die Begriffe (a) Ereignisraum (b) Elementarereignisse (c) sicheres Ereignis (d) unmögliches Ereignis (e) Gegenereignis = {1, 2, 3} (a) Ereignisraum: {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2,3} } }{{} (b) Elementarereignisse: ω 1 = {1}, ω 2 = {2}, ω 3 = {3} (c) sicheres Ereignisse: (d) unmögliches Ereignisse: (e) Gegenereignis E zu einem Ereignis E: E = {3} E := \ E = {1, 2} 3. Erkläre an einem Beispiel mit zwei Ereignissen und B die mengenalgebraischen Begriffe = {1, 2, 3,4}, = {2, 3}, B = {2, 4}. (a) oder B. (b) Mindestens eines der Ereignisse oder B. (a) B = {2, 3,4} (c) Weder noch B. (d) Entweder oder B. (b) B = {2, 3,4} (c) B = B = {1} (d) ( B) ( B) = {3, 4}

2 4.(a) Was versteht man unter der relativen Häufigkeit eines Ereignisses? (b) Welche Eigenschaften besitzt die relative Häufigkeit (wenn man sie als Funktion betrachtet)? Beispiele! (c) Welche Eigenschaften besitzt das Wahrscheinlichkeitsmaß P über einem Ergebnisraum? Beispiele! (a) Tritt ein Ereignis bei n Versuchen genau k-mal ein, so heißt h n() := k die relative Häufigkeit von in n dieser Versuchsfolge. (b) 0 h n() 1, h n( ) = 0 und h n() = 1. Die relative Häufigkeit h n() eines möglichen Ereignisses ist gleich der Summe der rel. Häufigkeiten der zugehörigen Elementarereignisse ω. h n( B) = h n() + h n(b) h n( B) Für disjunkte Ereignisse und B gilt h n( B) = h n() + h n(b) h n() = 1 h n() (c) Die gleichen wie die relative Häufigkeit. Ersetze also in der Lösung von Teilaufgabe (b) jedes h n durch P. 5. Welche Gesetzmäßigkeiten an Wahrscheinlichkeitsbäumen gibt es? Beispiele! Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1. Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem zugehörigen Pfad (1. Pfadregel). Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen (vollständigen) Pfade (2. Pfadregel). 6.(a) Was ist eine Laplace sche Wahrscheinlichkeitsverteilung? (b) Welche Eigenschaft besitzt sie? (a) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der jedes Elementarereignis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit vorkommt, heißt Laplace sche Wahrscheinlichkeitsverteilung. (b) Für jedes Elementarereignis ω gilt P(ω) = 1. Für jedes Ereignis gilt P() = nzahl der für günstigen Ereignisse =. nzahl der möglichen Ereignisse

3 7. Erkläre, was man unter dem Zählprinzip versteht. nwendungsbeipiele! Ist ein Zufallsexperiment z.b. in 5 Stufen zerlegbar und gibt es für die einzelnen Stufen 10, 8, 6,4 und 2 mögliche usgänge, dann gibt es für das gesamte Zufallsexperiment mögliche usgänge. Beim 4-fachen Würfelwurf gibt es z.b. 6 4 mögliche usgänge, 6 verschiedene Buchstaben kann man zu 6! verschiedenen Wörtern zusammenfügen. 8.(a) Wie lauten die Bezeichnungen der vier grundlegenden uswahlverfahren? (b) Wie können sie im Urnenmodell beschrieben werden? (c) Wie können sie im Verteilungsmodell beschrieben werden? (d) Wie lautet jeweils die Formel für die nzahl der uswahlmöglichkeiten? Bezeichnung Urnenmodell Verteilungsmodell mit Wied. mit Zurückl. M-fachbel. zul. ohne Wied. ohne Zurückl. M-fachbel. verb. Variationen m.b.d.r Kugeln n. id. Kombinationen o.b.d.r Kugeln id. ( n k n + k 1 ) k n! (n k)! ( n k) 9. Nenne für jede der vier grundlegenden uswahlverfahren stochastische Beispiele, die nicht direkt in das Urnen- oder das Verteilungsmodell übertragen werden können. m. Wied. o. Wied. Variationen nzahl der möglichen Tupel beim mehrfachen Würfelwurf nzahl der Belegungen der ersten drei Plätze beim 100-m- Lauf; nzahl möglicher Tanzpaare bei n Männern und k Frauen Kombinationen nzahl der möglichen ungerechten Verteilungen von k id. Bonbons auf n Kinder nzahl der möglichen Blätter beim Schafkopf

4 10.(a) Wann heißen zwei Ereignisse und B stochastisch unabhängig? (b) Wie kann man die Unabhängigkeit am schnellsten Überprüfen? (c) Gib je ein Beispiele an, so dass die Ereignisse stochastisch abhängig bzw. unabhängig sind. (a) Zwei Ereignisse und B in heißen (stochastisch) unabhängig, wenn P() P(B) = P( B). (b) Die Vierfelder-Tafel muss eine Multiplikationstafel sein. (c) Doppelter Würfelwurf i : 6 bei Wurf Nummer i, B : ugensumme 12 unabhängig: 1 und 2 abhängig: 1 und B 11.(a) Was ist ein Bernoulli-Experiment? (b) Was ist eine Bernoulli-Kette? (c) Gib ein Bespiel für eine Bernoulli-Kette und benenne die auftretenden mathematischen Größen. (a) Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das genau zwei verschiedene usgänge besitzt (z.b. T- N, 1-0, z-w). Die Wahrscheinlichkeit für T sei p. (b) Eine Bernoulli-Kette der Länge n ist das n-malige usführen eines bestimmten Bernoulli-Experiments. (c) 7-maliges Werfen eines Laplace-Würfels. BG: Folge der Ereignisse 6 6; Treffer: 6 n = 7 p = (a) Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für das uftreten von k Treffern in einer Bernoulli- Kette? (b) Wie kann man das kurz ausdrücken? (c) Wie findet man häufig auftretende Werte für B-verteilte Zufallsgrößen? (a) P(X = k) = ( n k) p k q n k, q = 1 p. (b) Man sagt, die Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli-Kette ist binomial verteilt und schreibt P(X = k) = B(n; p; k). (c) im Tafelwerk

5 13. Erkläre an einem Beispiel die Begriffe lternativ-test, Entscheidungsregel, Fehlerwahrscheinlichkeit. Gegeben sind zwei Güteklassen für Glühbirnen. lternativen: : p=0,90; B: p=0,70. Eine Stichprobe der Länge 20 soll ufschluss geben, um welche Güteklasse es sich bei einer Lieferung handelt. Festlegeung der Entschei- { } { } X 17: für dungsregel: Falls Entscheidung. X 16: für B Zufallsbedingt könnte die Stichprobe aber nicht repräsentativ für eine der lternativen ausfallen. So erhält man die Fehlerwahrscheinlichkeiten P(F ) und P(F B ) dafür, dass man fälschlicherweise aufgrund der Stichprobe an die falsche lternative glaubt. : p = 0, 9 B : p = 0, 7 X 17 F B X 16 F P(F ) = P 0,9 (X 16) = {wenn B-Exp.,TW} = 13, 4% P(F B ) = P 0,7 (X 17) = {wenn B-Exp.,TW} = 10, 7% 14. Erkläre an einem Beispiel, wie man bei einem zweiseitigen Hypothesentest eine Entscheidungsregel zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau bestimmt. Eine Firma behauptet, dass mehr als 90% der produzierten Bauteile funktionieren. Es soll eine Entscheidungsregel gefunden werden, die die Nullhypothese H 0 : p. 90% auf einem Signifikanzniveau von 5% bei einem Stichprobenumfang von 200 Teilen testet. X {0,1,... k} H 0 : p 0, 9 H 0 : p > 0,9 F II X {k + 1,..., n} F I P(F I ) = 1 P(X k) = 1 P 0,9 (X k) 0, 05. }{{} α us dem Tafelwerk erhält man k=187. lso = {0,1,..., 187}; = {188, 189,...,200};

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