7 p X 3 B 7 0,4 3 0,4 0,6 0,29 3

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1 Aufgabe C1 Landesabitur Hessen 2012 GK Aufgabe BE X ist die Anzahl der Regentage in einer Woche im Juni. X ist binomialverteilt mit p = 0,4 und n = 7. Die Anwendung der Binomialverteilung erfordert 3 Voraussetzungen : Voraussetzung Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge Die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Ausgänge ändern sich nicht Die zugrundeliegende Bernoulli Kette ist beliebig lang Sachzusammenhang Regentag oder kein Regentag Das Wetter an aufeinanderfolgenden Tagen ist laut Aufgabe unabhängig voneinander pregentag = 0,4 Der Beobachtungszeitraum ist beliebig verlängerbar 7 p X 3 B 7 0,4 3 0,4 0,6 0,29 3 Daraus folgt 3 4 Aufgabe BE Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist p X 1 p X 1 1 p X 0 p X 1 1 B 7 0, 4 0 B 7 0, 4 1 0,841 Aufgabe BE Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen regenfreien Tag ist gleich der Gegenwahrscheinlichkeit für nur Regentage. p X n 1 - p X n n 1-0,4 0,6 n 1-0,4 n n 0 Abitur Hessen 2012 GK Stochastik C1 Abiturloesung.de

2 Da diese Wahrscheinlichkeit größer als 0,95 sein soll, muss die folgende ngleichung gelöst werden : n 1-0, 4 0,95 1 n 0, 4 0,05 1 n 0, 4 0,05 n log 0, 4 log 0, 05 log 0, n 3,3 Die gesuchte Anzahl ist also n = 4 Tage. Bei dieser Rechnung ist darauf zu achten, dass sich das ngleichheitszeichen an zwei Stellen umkehrt: Einmal bei der Division durch -1 und einmal bei der Division durch den Zehner-Logarithmus von 0,4. Zur Erinnerung : Jeder Logarithmus einer Zahl x, mit 0 < x < 1, ist negativ. Aufgabe BE Mit R: Regentag und S: Tag mit mind. 8 Stunden Sonnenschein ergibt sich das folgende Baumdiagramm : dabei ist p RS =0,25 die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Regentag zusätzlich 8 Stunden die Sonne scheint und p S = 0,6 die Wahrscheinlichkeit, dass an einem R regenfreien Tag die Sonne ebenfalls an 8 Stunden scheint und ps = p RS + p S = 0,5 ist die totale R Wahrscheinlichkeit für S, also die Wahrscheinlichkeit, dass an einem beliebigen Tag die Sonne scheint. Aufgabe BE Die gesuchte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeiten p S R berechnet sich nach der Formel für bedingte Abitur Hessen 2012 GK Stochastik C1 Abiturloesung.de

3 1 0,4 PR S 4 0,1 P S R 0,2 PS 1 2 0,4 0,6 0,5 4 3 alternativ kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit auch über ein umgekehrtes Baumdiagramm gefunden werden. Die Wahrscheinlichkeit für S ist ja ps = 0,5 siehe Baumdiagramm und Nenner der obigen Formel und daraus ergibt sich : mit p SR = 0,1 0,2 0,5 Aufgabe BE Zuerst ist die Wahrscheinlichkeit p für einen solchen Tag zu bestimmen: p pr pr S 0,6 0, 4 0, 25 0,7 Die Wahrscheinlichkeit für ein schönes Wochenende 3 Tage berechnet sich aus: px 3 p 3 0, 7 3 0,343 Abitur Hessen 2012 GK Stochastik C1 Abiturloesung.de

4 Aufgabe BE X ist binomialverteilt mit p = 0,5 und n = 30 1 n p Tage n p 1 p 30 2, 74 Tage 2 2 Aufgabe BE 1 Die erste Kenngröße gibt die durchschnittliche Anzahl der sonnigen Junitage pro Jahr bezogen auf den Zeitraum von 2001 bis 2010 an. 2 Die zweite Kenngröße gibt die Varianz der Anzahl der sonnigen Junitage für denselben Zeitraum an. 3 Die dritte Kenngröße gibt die Standardabweichung der Anzahl der sonnigen Junitage für denselben Zeitraum an. Die letzten beiden sind Streumaße. Sie beschreiben, wie stark die Anzahlen im Laufe der Jahre variieren. Aufgabe BE Der in 3.2 berechnete Durchschnittswert im Stichprobenzeitraum stimmt mit dem in 3.1 ermittelten Erwartungswert fast überein. Die Streumaße sind jedoch in der Stichprobe deutlich höher als die im Modell berechneten Werte. Das Modell der Binomialverteilung ist also nur bedingt geeignet, denn das Wetter an aufeinander folgenden Tagen ist im stochastischen Sinne nicht unabhängig. Abitur Hessen 2012 GK Stochastik C1 Abiturloesung.de

5 Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Lösung Lösung zu Teilaufgabe 1.1 Zuerst sollten die beiden Ereignisse mit Abkürzungen belegt werden. T: nfall ereignete sich tagsüber : nfall geschah unter Alkoholeinfluss. Mit diesem Benennungen kann man die Wahrscheinlichkeiten, die im Text gegeben sind, formal beschreiben. PT = 65% = 0,65, P T = 5,1% = 0,051, P T = 27% = 0,27 Da die Wahrscheinlichkeiten PT,P T und P T gegeben sind, bietet es sich an, als erste Stufe des Baumdiagramms die nterscheidung T oder T zu wählen. Die drei bisher fehlenden Wahrscheinlichkeiten in nebenstehendem Baumdiagramm ergeben sich durch: P T = 1 PT = 0,35 T T P T = 1 PT = 0,949 P T = 1 PT = 0, Lösung zu Teilaufgabe 1.2 Das Ereignis A lässt sich folgendermaßen umformulieren: Der nfall ereignete sich tagsüber und geschah nicht unter Alkoholeinfluss Formal: T. Mit der Pfadmultiplikationsregel lässt sich die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses aus dem aufgestellten Baumdiagramm bestimmen. PA = P T = PT P T = 0,65 0,949 0,6169 = 61,69% B ist nur ein anderer Name für das Ereignis, das bereits in Teilaufgabe 1.1 benannt wurde. Deren Wahrscheinlichkeit ergibt sich unter Verwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit zu PB = P = PT +P T = 0,65 0,051+0,35 0,27 0,0332+0,0945 = 0,1277 = 12,77%. Abitur Hessen 2012 GK Infinitesimalrechnung Aufgabe A2

6 Seite 2 Erläuterung: Pfadmultiplikationsregel p n p 1 A 1 A n 1 p 2 A 2 A n P A 1 A 2... A n = PA 1 PA 2... PA n 1 2 C 1 6 D PC D = PC PD = = E PC E = PC PE = = 1 3 Möchte man wissen, wie wahrscheinlich es ist in einem Baumdiagramm einen vollständigen Weg von der Wurzel bis zu einem Blatt abzulaufen, muss man die Wahrscheinlichkeiten an den Einzelpfaden multiplizieren. Wie im obersten Pfad des obigen Baumes zu entnehmen ist, bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Ereignisse A 1 bis A n alle auftreten, gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten der Ereignise A i, i {1,...n} ist. Nimmt man an die Ereignisse C,D und E haben die Bedeutungen: C: Münzwurf führt zu Zahl. D: Würfelwurf führt zu einer 5. E: Würfelwurf führt zu einer Zahl kleiner 5. Dann ergeben sich aus der Pfadmultiplationsregel beim Wurf einer Münze und eines Würfels die Wahrscheinlichkeiten siehe auch Baumdiagramm: PZahl und 5 = PC D = PC PD = 1 12 PZahl und 1 bis 4 = PC E = PC PE = 1 3 Lösung zu Teilaufgabe 1.3 Vergleicht man die Wahrscheinlichkeiten in der Formel mit den Rechnungen aus der vorigen Teilaufgabe 1.2, stellt man fest, dass 0,35 0,27 PC = 0,65 0,051+0,35 0,27 = P T P gilt. c Abiturloesung.de

7 Seite 3 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Stellt man die Pfadmultiplikationsregel nach P P T = P T P T P T = P um, erhält man das Ergebnis, dass in der Gleichung die bedingte Wahrscheinlichkeit P T bestimmt wird. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein nfall nachts ereignete, wenn man nur die nfälle unter Alkoholeinfuss betrachtet, ungefähr 74% beträgt. Lösung zu Teilaufgabe 2.1 Die Bedingungen für eine Bernoullikette sind erfüllt, da ein einzelner Versuch nur genau 2 Ausgänge hat: Entweder der Fahrer ist ein junger Erwachsener oder er ist keiner. die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg in unserem Fall: eine Akte mit einem jungen Erwachsenen als nfallverursacher über die Versuche hinweg gleich bleibt. Genau genommen, ist dies in diesem Beispiel nicht perfekt erfüllt, da ein bereits gezogener nfall nicht in der Registratur verbleibt und sich somit, die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg verändert. Allerdings ist diese Veränderung bei einer großen Registratur vernachlässigbar. Der vorliegende Versuch ist somit eine Bernoullikette und kann durch eine Binomialverteilung Zufallsgröße X: Anzahl der Akten, bei denen junge Erwachsene als nfallverursacher auftreten beschrieben werden. Die Kenngrößen der Verteilung sind: Anzahl der Versuche: n = 50 Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs: p = 1 4 Die gefragten Wahrscheinlichkeiten bestimmen sich unter diesen Voraussetzungen zu und PD = PX 9 = B50;0,25;0 +B50;0,25; B50;0,25;9 = F 50;0,25;9 = 0,1637 = 16,37% PE = PX > 12 = 1 PX 12 = 1 B50;0,25;0 +B50;0,25; B50;0,25;12 = 1 F 50;0,25;12 = 1 0,5110 = 0,4890 = 48,9% Abitur Hessen 2012 GK Infinitesimalrechnung Aufgabe A2

8 Seite 4 Die Wahrscheinlichkeiten Fn; p; k können aus der Tabelle zur kumulativen Binomialverteilung abgelesen oder mit der Summenfunktion des Taschenrechners über die Bernoulliformel berechnet werden. Lösung zu Teilaufgabe 2.2 Die Bedeutung der vorgegebenen Zeilen ist wie folgt: I Die Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Erfolg in der Bernoullikette zu haben, also hier mindestens 1 Akte mit einem jungen Erwachsenen als nfallverursacher zu ziehen, soll größer als 80% sein. II PX 1 wurde durch 1 PX = 0 ersetzt, da kein Erfolg das Gegenereignis zu mindestens 1 Erfolg ist. Die Wahrscheinlichkeit für keinen Erfolg es werden n ältere Erwachsene als nfallverursacher gezogen beträgt n = 3 4 n. III Auflösen der ngleichung nach n führt zu der Lösung n 5,59. Das Ergebnis bedeutet, dass mindestens 6 Akten n = 6 ist die erste natürliche Zahl, die die Bedingung n 5, 59 erfüllt gezogen werden müssen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 80% mindestens eine Akte zieht, die einen jungen Erwachsenen als nfallverursacher benennt. Lösung zu Teilaufgabe 3 Man hat in der Aufgabe einen Hypothesentest zu entwerfen. In diesem Fall muss man zuerst die verwendeten Hypothesen festlegen. Da man davon ausgeht, dass sich der Anteil der unter Alkoholeinfluss fahrenden Schülerinnen auf unter 30% verändert hat, wird diese Annahme als Alternativhypothese H 1 : p < 0,3 festgelegt. Für die Nullhypothese H 0 ergibt sich entsprechend: H 0 : p 0,3. Die Aussage, dass die Vermutung auf dem Signifikanzniveau von 5% getestet werden soll, ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass der Test so angelegt werden muss, dass die Wahrscheinlichkeit für den α-fehler den Wert 5% nicht übersteigt. Der α-fehler auch Fehler 1.Art besteht darin, dass man die Nullhypothese ablehnt, obwohl sie in Wirklichkeit korrekt ist. Ob man sich aufgrund des Testergebnisses für oder gegen die Nullhypothese entscheidet, hängt von der sogenannten kritischen Zahl k ab. Geben k oder weniger Schüler an, bereits unter Alkoholeinfluss gefahren zu sein, halten wir die Alternativhypothese für richtig bzw. lehnen die Nullhypothese ab. Sind es mehr als k Schüler, dreht sich die Entscheidung herum. Dieses k muss nun so gewählt werden, dass die Forderung Signifikanzniveau 5% erfüllt wird. Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des α-fehlers wird die Auswahl der 100 Schüler als Bernoullikette aufgefasst. Da im Falle des α-fehlers die Nullhyothese korrekt ist, weiß man, dass man bei jedem Schüler eine Chance von 30% hat, dass er bereits unter Alkoholeinfluss gefahren ist. Die Kenngrößen der zugehörigen Binomialverteilung sind somit: c Abiturloesung.de

9 Seite 5 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Anzahl der Versuche: n = 100 Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs: p = 0, 3 Man begeht den α-fehler, wenn bis zu k Schülern angeben, bereits unter Alkoholeinfluss gefahren zu sein. Die Wahrscheinlichkeit bei oben beschriebener Bernoullikette bis zu k Erfolge zu haben, beträgt: PX k = B100;0,3;0 +B100;0,3; B100;0,3;k = F100;0,3;k Der Wert für k muss nun so gewählt werden, dass F100;0,3;k 0,05 gilt. Der größte Wert für k, der diese Bedingung erfüllt, lässt sich aus der Tabelle zur kumulativen Binomialverteilung ablesen. Es ist 22. Mit den vorangegangenen Überlegungen lässt sich folgende Entscheidungsregel für den durchzuführenden Hypothesentest formulieren: Geben weniger als 23 der 100 Schüler an, bereits unter Alkoholeinfluss gefahren zu sein, glaubt man, dass der Anteil der Schüler, die unter Alkoholeinfluss fahren, auf unter 30% gesunken ist. Es kann bei diesem Testausgang vermutet werden, dass die Aufklärungskampagne erfolgreich war. Abitur Hessen 2012 GK Infinitesimalrechnung Aufgabe A2