Abitur 2009 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1

Transkript

1 Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 009 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1 Auf einem Spielbrett rollt eine Kugel vom Start bis in eines der Fächer F 1 bis F 5. An jeder Verzweigung rollt die Kugel mit der Wahrscheinlichkeit q = 0, 6 nach links und mit der Wahrscheinlichkeit p = 0, 4 nach rechts. Ein Spieler hat gewonnen, wenn die Kugel in das Fach F 1 rollt. Teilaufgabe 1. (7 BE) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten p 1, p, p 3, p 4 und p 5, mit denen die Kugel in das Fach F 1 bzw. F, F 3, F 4 oder F 5 rollt. Es werden 50 Spiele gemacht. Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der Kugeln in jedem Fach. Teilaufgabe. (7 BE) Ein Spieler macht fünf Spiele. Erklären Sie, welche Bedeutung in diesem Zusammenhang die folgende Rechnung hat: ( 5 ) 0, 6 0, 4 3 = 0, 304 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er höchstens zwei Spiele verliert. Abitur Hessen 009 GK Stochastik Aufgabe C1

2 Seite Teilaufgabe 3. (6 BE) Beschreiben Sie, was in den Zeilen (1), () und (3) berechnet wird. Erläutern Sie im Sachzusammenhang die Bedeutung von U = [85; 115], indem Sie auf die nebenstehende Aussage aus einer Formelsammlung eingehen. Teilaufgabe 4. (10 BE) Den Einsatz pro Spiel von 0, 50 e erhält der Spielveranstalter. Dem Spieler wird bei einem Gewinn 1 e ausgezahlt. Es werden 50 Spiele durchgeführt. Berechnen Sie den Gewinn, den der Spielveranstalter bei 50 Spielen im Mittel erwarten kann. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der der Spielveranstalter bei 50 Spielen einen Verlust macht. c Abiturloesung.de

3 Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 009 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 0 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. Ein Händler bekommt direkt aus der Fabrik 50 Packungen mit je 0 Sticks. In seinem Überprüfungsverfahren entnimmt er jeder Packung zwei verschiedene USB-Sticks und behält die Packung nur dann, wenn beide Sticks in Ordnung sind. Die anderen Packungen schickt er an den Hersteller zurück. Teilaufgabe 1.1 (5 BE) Eine Packung enthält genau defekte Sticks. Stellen Sie das Überprüfungsverfahren für eine solche Packung grafisch, z. B. in einem Baumdiagramm, dar. Teilaufgabe 1. (4 BE) Berechnen Sie die drei Wahrscheinlichkeiten dafür, dass der Händler bei seinem Verfahren eine Packung mit zwei bzw. vier bzw. sechs defekten Sticks behält. Teilaufgabe 1.3 (4 BE) Bestimmen Sie, wie viele defekte Sticks in einer 0 -er-packung mindestens enthalten sein müssen, so dass die Wahrscheinlichkeit, diese Packung nach der Überprüfung zu behalten, kleiner als 5 % ist. Teilaufgabe 1.4 (4 BE) Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass jede Packung genau vier defekte Sticks enthält. Erklären Sie die Bedeutung der beiden nachfolgenden Gleichungen im Sachzusammenhang: ( ) 16 (1) p 4 = ( ) 0, 63 0 ( ) 50 () P (X = 30) = 0, , , Weil sich viele Händler über die häufig defekten USB-Sticks beschweren, wird in der Fabrik eine Endkontrolle durchgeführt. Dabei wird ein USB-Stick mit der Wahrscheinlichkeit 10 % als Ausschuss ausgesondert. Bei dieser Kontrolle wird erfahrungsgemäß ein einwandfreier USB- Stick mit der Wahrscheinlichkeit 4 % als Ausschuss deklariert. Insgesamt sind 8, 8 % aller produzierten USB-Sticks defekt. Teilaufgabe.1 (5 BE) Stellen Sie diese Zusammenhänge in einem Baumdiagramm dar. Abitur Hessen 009 GK Stochastik Aufgabe C

4 Seite Teilaufgabe. (4 BE) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein defekter Stick aussortiert wird. [zur Kontrolle: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt rund 7, %.] Teilaufgabe.3 (4 BE) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Stick, der bei der Endkontrolle aussortiert wurde, wirklich defekt ist. c Abiturloesung.de

5 Aufgabe C1 Landesabitur Hessen 009 GK 1. F1 F F3 F4 F5 P= 0, 4 0,6 0, 4 = 0,6 0, 4 = 0,6 3 0, 4 = 4 0,6 = 0,4 0,144 0,0864 0,196 E=50*P= ,6 3, Da 0,6 0,4 = 0,4 0,6 kann es sich um die Wahrscheinlichkeit dafür 3 handeln, dass der Spieler genau 3mal ins Fach F1 trifft. Das zugehörige Bernoulli-Experiment ist dann: F1) = 0,6 F1 mit P ( F1) = 0, 4 bzw. F1 mit 3. Es geht um die Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung. Dabei gilt: (1) μ = n p = 50 0,4 = 100 die Berechnung des Mittelwertes () σ = n p ( 1 ) p = 50 0,4 0,6 7, 75 die Berechnung der Standardabweichung (3) U = [ μ σ ; μ + σ ] = [85;115] ist Bereich um den Mittelwert, in dem 95,4% aller Ergebnisse liegen. Anders ausgedrückt: Die Wahrscheinlichkeit X=k), also dass ein Ergebnis k im Intervall [85;115] liegt, ist etwa 95,4%. 4. Der Gewinn des Veranstalters pro Spiel ist G = 0,5 0,4*1 = 0,1 Bei 50 Spielen macht der Veranstalter im Mittel einen Gewinn von 50 0,1 = 5 50 Die Wahrscheinlichkeit, k Spiele zu verlieren, ist X = k) = 0,4 k Gesucht ist P ( X > 5) = 1 X 5) durch Näherung k 0,6 50 k 5 0 P ( X > 5) = 1 X 5) = 1 Φ = 1 Φ = 1 ( 1,443) = 1 0,955 0, 0745 Der genaue Wert aus der F(n,p,k)-Binomialtabelle beträgt 0,057 Gerd Schluckebier - zur Verfügung gestellt über Abiturloesung.de

6 Aufgabe C Landesabitur Hessen 009 GK () P = 1 99,47% 4 3 (4) P = 1 96,84% 6 5 (6) P = 1 9,11% n ( n 1) n ( n 1) 1.3. P = 1 = 0, 5 = 0, 75 n ( n 1) = 85 n n 85 = 0 n = 0,5 ± 85,5 0,5 ± 16, 889, also n= (1) n ist die Anzahl der Kombinationen von k aus n Elementen ohne Wiederholung k 0 und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: ist dann die Anzahl der möglichen 16 Ergebnisse beim Ziehen der beiden Sticks, dann die Anzahl der Ergebnisse dafür, dass kein Stick defekt ist. Also ist p 4 die Wahrscheinlichkeit dafür, keinen defekten Stick zu ziehen. () Es ist die Wahrscheinlichkeit, bei Doppelziehungen aus 50 Schachteln, die alle 4 defekte Sticks enthalten, genau 30mal keinen defekten Stick zu ziehen, da es sich un ein binomialverteiltes Bernoulli-Experiment mit n=50;p= p 4 und k=30 handelt. Gerd Schluckebier - zur Verfügung gestellt über Abiturloesung.de

7 .1... Für den gesamten Ausschuss gilt die Beziehung: 0,1 = 0,088x + 0,91 0,04 0,0635 = 0,088x x = 7, 18%.3. def aus) def aus) = = aus) 0,718 0,088 0,1 63,5% Gerd Schluckebier - zur Verfügung gestellt über Abiturloesung.de