Messung von Rendite und Risiko. Finanzwirtschaft I 5. Semester

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1 Messung von Rendite und Risiko Finanzwirtschaft I 5. Semester 1

2 Messung von Renditen Ergebnis der Anwendung der Internen Zinsfuß- Methode ist die Rentabilität des Projekts. Beispiel: A ZÜ ZÜ Int. Zinsfuß 5,00% 2

3 Problem Zukünftige Zahlungsüberschüsse sind unsicher. Annahme: Aus Erfahrung wüssten wir, dass dieses Investitionsprojekt sich auch schon mit anderen Renditen verzinst hat. 3

4 Beispiel: Investition 1 In der Vergangenheit ergaben sich für dieses Projekt folgende Werte: 4%, 4%, 4%, 5%, 5%, 5%, 5%, 6%, 6% und 6%. Die Wahrscheinlichkeit, 5% Rendite zu erhalten, beträgt als nur 40%, die Wahrscheinlichkeit 4% oder 6% zu bekommen schon 30%. 4

5 Erwartungswert Erwartete Rendite 1 Der Erwartungswert ist definiert als: E(X) = 1 n n i= 1 X i = n i= 1 X i p wobei X i für die (unterschiedlichen) Renditen, n für den Stichprobenumfang und p (probability) für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens steht. (Mittelwert) Somit erhalten wir den Erwartungswert des Investitionsprojekts 1 als E(X) = 5%. E(X) = 1/10 (4%+4%+4%+5%+5%+5%+5%+6%+6%+6%) oder E(X) = 4% 30% + 5% 40% + 6% 30% 5

6 Beispiel: Investition 2 In der Vergangenheit ergaben sich für dieses Projekt folgende Werte: 2%, 3%, 4%, 4%, 5%, 5%, 6%, 6%, 7% und 8%. Die Wahrscheinlichkeit 5% Rendite zu erhalten, beträgt als nur 20%, die Wahrscheinlichkeit 2% und 3% oder 7% und 8% zu bekommen 20%. 6

7 Erwartungswert Erwartete Rendite 2 Auch für dieses Projekt erhalten wir den Erwartungswert n n E(X) = des Investitionsprojekts 1 als E(X) = 5% E(X) wird auch mit μ symbolisiert, wobei μ allerdings für den Wert in der Grundgesamtheit steht. 1 n i= 1 X i = i= 1 X i p 7

8 Vergleich der Projekte Beide Projekte weisen den gleichen Erwartungswert auf. Wir können bei beiden Projekten eine Verzinsung von μ = 5% erwarten. Wenn wir nur den Erwartungswert als Entscheidungskriterium zugrunde legen, könnten wir uns nicht entscheiden. Berücksichtigung des Risikos. 8

9 Messung von Risiko Am Beispiel der beiden Projekte: Invest.Proj. 1 Invest.Proj. 2 4% 2% 4% 3% 4% 4% 5% 4% 5% 5% 5% 5% 5% 6% 6% 6% 6% 7% 6% 8% Erwartungswert 5,0% 5,0% µ1 µ2 Die Wahrscheinlichkeit für den schlechtesten Fall - eine Rendite von 2% - beträgt für Projekt 1 0% für Projekt 2 immerhin 10%. Gleiches gilt für 3%. 9

10 Graphische Darstellung 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% Invest.Proj. 1 Invest.Proj. 2 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% Deutlich erkennbar ist, dass die Wahrscheinlichkeit 5% zu erhalten, bei Projekt 1 (=40%) höher ist als die bei Projekt 2 (=20%). Die Wahrscheinlichkeit zwischen 4 und 6% zu erhalten, ist bei Projekt 1 wesentlich höher (100%) als bei Projekt 2. Somit ist auch das Risiko geringer. Man kann auch sagen, dass die Ergebnisse des Projekts 1 weniger streuen. 10

11 Streuung - Varianz Die Streuung lässt sich am Einfachsten durch die (empirische) Varianz messen. n s = ( Xi E(X) ) n 1 i= 1 Häufig wird als Maß der Streuung aber nicht die Varianz, sondern die Standardabweichung herangezogen, welche die Wurzel aus der Varianz ist: s = s 2 = 1 n 1 n ( Xi E(X) ) i= 1 Mit σ wird die Standardabweichung der Grundgesamtheit bezeichnet. 2 11

12 Ergebnisse für unser Beispiel Wie nach der graphischen Darstellung nicht anders zu erwarten, unterscheiden sich die Ergebnisse bezüglich der Streuung der Werte bzw. des Risikos: Die Streuung des Projekts 1 beträgt: 0,82%, die des Projekts 2 schon 1,83%. Somit ist die erwartete Rendite des zweiten Projekts risikobehafteter als die des ersten Projekts. 12

13 Ergebnis: Der Erwartungswert signalisiert das erwartete Ergebnis. Die Standardabweichung gibt das Risiko an. Je höher die Standardabweichung ist, desto höher das Risiko, die Plangröße, den Erwartungswert, später zu realisieren. Risiko wird in diesem Fall als Abweichung von der Plangröße verstanden. Ökonomisch wird unter Risiko meist nur die Gefahr gesehen, ein Ergebnis unterhalb des Erwartungswerts zu realisieren. als Maß halbe Streuung oder Downside-Risikomaße 13

14 Verteilung von Wahrscheinlichkeiten Meist lassen sich die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mit Hilfe von Verteilungsfunktionen bzw. Dichtfunktionen erfassen bzw. beschreiben. Einer der wichtigsten ist die Normalverteilung. 14

15 Bedeutung der Normalverteilungsfunktion Die Gaussche Glockenkurve 15

16 Normalverteilung Die Normalverteilung bietet sich für unsere weitere Analyse besonders an, da sie nur von den beiden Größen Mittelwert μ und Standardabweichung σ abhängt. 2 Die Dichtefunktion der ( x μ) σ f ( x) = e Normalverteilung: 2 π σ 16

17 Graphische Darstellung Relative Häufigkeit fi Mittelwert 5% 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% Sigma = 0,5% Die Normalverteilung ist eine symmetrische Verteilung. Annahme: µ = 5% und σ = 0,5% Da die Streuung gering ist, liegen die Werte eng um den Mittelwert verteilt. Mit hoher Wahrscheinlichkeit wird eine Rendite größer 3% und mit kleiner Wahrscheinlichkeit wird eine Rendite kleiner 3% (value at risk Betrachtung) erzielt. 17

18 Standardabweichung als Risikomaß Sigma ist auch deshalb als Maß, des Risikos bedeutsam, da z.b. im 1σ-Bereich um den Mittelwert 68,26% der möglichen Realisationen liegen, im 2σ-Bereich 95,44% und im 3σ-Bereich 99.74%. Für µ =5% und σ = 0,5%: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,74% wird die erwartete Rendite unter diesen Annahmen zwischen 5%-3 0,5% und 5%+3 0,5% also zwischen 3,5 und 6,5% liegen. 18

19 Unterschiedliches Risiko Relative Häufigkeit fi Erwartungswert 5% 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% Sigma = 0,5% Sigma = 1% Sigma = 2% Gehen wir von der Normalverteilung mit μ = 5% und einem zunehmenden Risikos aus: 1. Die Streuung betrage 0,5%. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,74% werden wir zwischen 3,5% (μ 3σ) und 6,5% (μ + 3σ) erhalten. 2. Nun nehmen wir an, dass die Streuung von 0,5% auf 1% steigt: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,74% werden wir zwischen 2% (μ 3σ) und 8% (μ + 3σ) erhalten. 3. Sollte die Streuung weiter zunehmen z.b. auf 2%, erhalten wir mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,74% ein Intervall von -1% bis 11%. Ergebnis: Obwohl sich der Erwartungswert (5%) nicht ändert, ist es nun bei der gleichen Wahrscheinlichkeit von 99,74% möglich, in den Verlustbereich zu geraten. 19

20 Ergebnis Renditemessung mittels Erwartungswert bzw. Mittelwert (der Stichprobe bzw. Grundgesamtheit) Risikomessung über Standardabweichung (Streuung der Stichprobe bzw. Grundgesamtheit) Praktikabelste Verteilung: Normalverteilung (mit Mittelwert und Standardabweichung) 20