VOLKSWIRTSCHAFTLICHE VORDIPLOMPRÜFUNG

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1 VOLKSWIRTSCHAFTLICHE VORDIPLOMPRÜFUNG Übungsklausur auf dem Gebiet: STATISTIK II Prüfer: Dr. Roland Füss Name, Vorname: Matrikel-Nr.: Die Klausur enthält drei Typen von Aufgaben: D e r T e i l A besteht aus einer Reihe von Fragen mit mehreren vorgegebenen Antwortvorschlägen, von denen nur jeweils eine Antwort richtig ist. Des Weiteren enthält dieser Teil mehrere Aufgaben mit einem Lückentet, der mit den fehlenden Antworten auszufüllen ist. Schreiben Sie den Kennbuchstaben der Antwort sowie die fehlenden Begriffe, die Sie für richtig halten, deutlich in das Kästchen am rechten Rand bzw. in die zur Verfügung stehenden Leerstellen. Für jede richtige Antwort bzw. Lückentet erhalten Sie einen Punkt. D e r T e i l B enthält die ausführlich zu lösenden Aufgaben. Es müssen alle vier gestellten Aufgaben bearbeitet werden. NUR MIT DER DARSTELLUNG DER EINZELNEN RECHENSCHRITTE KANN DIE VOLLE PUNKTZAHL ERREICHT WERDEN! Damit die Klausur als ausreichend gilt, müssen 40 % der erreichbaren Punktzahlen sowohl in Teil A als auch der in Teil B gestellten Aufgaben erzielt werden, also in Teil A mindestens 12 Punkte, in Teil B mindestens 24 Punkte. Zulässige Hilfsmittel: Einfacher Taschenrechner mit Grundrechenarten, Formelsammlung. Punktzahlen: A B A1 A2 A3 A4 Gesamtnote:

2 Teil A Übungsklausur Statistik II SS 2007 Seite 2 1) Beim t-test einer Regression mit nur einer eogenen Variablen gehen 2 Freiheitsgrade verloren, da A) den Inde i und j hat. B) zwei Stichprobenmittelwerte in der Kovarianz berechnet werden. C) zwei Verteilungen betrachtet werden müssen. D) man im Nenner eine Zufallsvariable hat. E) die Fehlerterme u i quadriert werden. 2) Falls in der Testtheorie die Nullhypothese H 0 : β = 0 nicht abgelehnt werden kann, bedeutet dies, dass A) β sicher gleich null ist. B) βˆ null ist. C) β trotzdem von 0 verschieden sein kann. D) β zu niedrig ist, um einen signifikanten Einfluss auszuüben. E) die Regression einen Fehler aufweist. 3) P( t t t ) 0, 9 bei 5 Freiheitsgraden. Dann ist t o u o = A) 2,015. B) 1,96. C) 2,583. D) genauso groß wie bei der Normalverteilung. E) 1,651. 4) Eine tägliche Rendite von 0,028 entspricht einer jährlichen Rendite von A) 0,44 %. B) 10,22 %. C) 0,336 %. D) 7 %. E) 0,535%. 5) Ein konsistenter Stichprobenmittelwert bedeutet, dass A) im Durchschnitt der Mittelwert der Grundgesamtheit µ getroffen wird. B) sich mit zunehmendem Stichprobenumfang n an µ annähert. C) sich mit zunehmendem n der Normalverteilung annähert. D) der Zentrale Grenzwertsatz angewendet werden kann. E) t-verteilt ist.

3 Teil A Übungsklausur Statistik II SS 2007 Seite 3 6) Eine negative Schiefe der Renditeverteilung A) wird von Investoren geschätzt, da sie mehr Sicherheiten verlangen können. B) wird von Investoren geschätzt, da hohe positive Renditen häufiger vorkommen. C) ist irrelevant, da nur die Höhe der Renditen ausschlaggebend ist. D) ist bei Investoren unerwünscht, da so die Volatilität steigt. E) ist bei Investoren unerwünscht, da hohe negative Renditen häufiger vorkommen. 7) Das tägliche Einkommen in einem Entwicklungsland ist Pareto-verteilt mit Krümmungsparameter k = 2,5 und einem minimalen Einkommen von 1 USD pro Tag. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person über weniger als 2 USD tägliches Einkommen verfügt, beträgt dann: A) 0,823. B) 0,011. C) 0,950. D) 0,215. E) 0,085. 8) Die Wahrscheinlichkeiten, den A Teil und den B Teil zu bestehen sind stochastisch abhängig. Die Wahrscheinlichkeit den A Teil zu bestehen, unter der Bedingung, dass man den B Teil bestanden hat, beträgt dann A) ( A B) P( A B) B) P( A B) P.. C) beides mal 0,5. P( A B) D). P B ( ) ( A B) P E). P( B) 9) Die Binomialverteilung kann bei einem großen Stichprobenumfang n und bei kleiner Eintrittswahrscheinlichkeit p durch folgende Verteilung angenähert werden: 2 A) χ -Verteilung. B) Hypergeometrische Verteilung. C) Poissonverteilung. D) Geometrische Verteilung. E) Normalverteilung.

4 Teil A Übungsklausur Statistik II SS 2007 Seite 4 10) Die Wahrscheinlichkeit einer Niete bei einer Tombola mit 500 Losen beträgt 0,9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der 3. Gewinn erst nach 20 Losen eintritt? A) 0,1710. B) 0,0112. C) 0,0285. D) 2,1285. E) 0, ) Welcher Zusammenhang zwischen σ und dem Stichprobenumfang n ist korrekt? A) Es gibt keinen Zusammenhang. B) Je größer n, desto größer ist auch σ. C) σ und n addieren sich immer zu 1. D) σ und n addieren sich immer zu 0. E) Je größer n, desto kleiner ist σ. 12) Die folgende Tabelle zeigt die Aufteilung 3 verschiedener Wertpapierklassen auf ein Portfolio (Ereignis A ). Des Weiteren ist der Anteil der Wertpapiere gegeben, die sich i negativ am Markt entwickelt haben (Ereignis Wertpapier Ereignis Anteil am Portfolio B Ai ). Aktien A 1 0,60 1 Ereignis Anteil der Wertpapiere, die sich negativ entwickelt haben B A 0,20 Bonds A 2 0,25 B A2 0,10 Immobilien A 3 0,15 B A3 0,05 Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein zufällig ausgewähltes Wertpapier negativ am Markt entwickelt hat, beträgt: P. B) 0,0253. C) 0,7150. D) 0,1525. E) 0,1825. A) ( B) P( A)

5 Teil A Übungsklausur Statistik II SS 2007 Seite 5 13) Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung: y ,03 0 0,2 1 0,07 0,22 0,08 5 0,21 0,14 0,05 A) f ( 2 ) = 0,14. B) f ( 2 ) = 0. C) f ( 2 ) = 0,08. D) f ( 2 ) = 0,24. E) f ( 2 ) = 0,38. 14) Der Korrelationskoeffizient zwischen und y sei (, y) = 1 A) Es gibt keinen Zusammenhang zwischen und y. B) wenn um 1 % steigt, sinkt y um 1 %. C) immer wenn steigt, steigt auch y. D) immer wenn steigt, sinkt y. E) Der Korrelationskoeffizient ist nur zwischen 0 und 1 definiert. ρ. Das bedeutet: 15) Die Nullhypothese H 0 : β = 0 kann auf dem 1% Signifikanzniveau abgelehnt werden. Welche der folgenden Aussagen ist dann richtig? A) β ist mit Sicherheit von 0 verschieden. B) Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% ist β nicht von 0 verschieden. C) βˆ ist mit 99% Wahrscheinlichkeit von 0 verschieden. D) Es kommt auf die Verteilung der Grundgesamtheit an. E) βˆ ist mit 99% Wahrscheinlichkeit nicht von 0 verschieden. 16) Ein Würfel mit 8 Seiten hat einen Erwartungswert von µ = 4, 5 und eine Standardabweichung von σ = 2, 29. Nach 250 Würfen wird ein Mittelwert von = 4, 436 festgestellt. Die Abweichung ist also sehr gering. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit höchstens, eine Abweichung µ 1 zu erhalten? A) 6,9040. B) 0,1448. C) 0,0221. D) 0,0209. E) 0,4362.

6 Teil A Übungsklausur Statistik II SS 2007 Seite 6 17) Eine Zufallsvariable sei eponentialverteilt mit Erwartungswert E ( ) = 3 Verteilungsfunktion hat an der Stelle =3 den Wert ( 3 ) 0, 6321 beträgt dann: A) 1 3. B) 1 9. C) 9. D) 3. E) 4,5. 18) Die Varianz für folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion beträgt: i f ( ) 0,5 0,3 0,2 i A) 5,16. B) 7,82. C) 66. D) 144. E) 0,61.. Die F =. Die Varianz von 19) Für zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen sei gegeben: σ = 3, 25, σ = 6 y, E = 0, und E ( y) = 0, 89. Der Korrelationskoeffizient lautet demnach: ( ) 2 A) +1. B) -1. C) 0,33. D) 0. E) -0,45. 20) 5 Minuten vor Klausurende werden an jedem Platz Büroklammern zum Zusammenheften der Blätter ausgeteilt. Erfahrungsgemäß haben bereits 1 Minute später 30 von 250 Studenten ihre Büroklammer verschlampt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß zwei zufällig ausgewählte Studenten ihre Büroklammer nach einer Minute noch haben? A) 0,774 B) 0,014 C) 0,982 D) 0,225 E) -0,002

7 Teil A Übungsklausur Statistik II SS 2007 Seite 7 21) Die Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit der Eponentialverteilung bedeutet, dass wenn > m, die Wahrscheinlichkeit mehr als man bereits mehr als m Sekunden wartet ( ) weitere n Sekunden zu warten, also P ( m + n > m) >, dann beträgt. 22) Entnimmt man einer Gruppe von N = 1000 Unternehmen zufällig n = 20 Unternehmen und beobachtet, ob im letzten Quartal ein Gewinn erzielt wurde, kann die Binomialverteilung verwendet werden. Falls die Gruppe jedoch nur N = 150 Unternehmen hätte, müsste man die verwenden. 23) Ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt, so ist der Stichprobenmittelwert verteilt. Für n 30 kann jedoch auch die Verteilung verwendet werden. 24) Bei bekannter Standardabweichung der Grundgesamtheit liegt der Stichprobenmittelwert mit 95 % Wahrscheinlichkeit in folgendem Intervall: P ( ) = 0, 95. Dabei rücken die Intervallgrenzen näher zueinander je mehr Beobachtungen n zur Verfügung stehen, da dadurch kleiner wird. 25) Bei der Berechnung der Stichprobenstandardabweichung geht ein Freiheitsgrad durch die Berechnung von aus derselben Stichprobe verloren. 26) Damit eine Funktion ( ) f eine Dichtefunktion darstellt, müssen die Bedingungen erfüllt sein, dass 1. die Dichtefunktion an keiner Stelle von Werte annimmt und 2. die Fläche unter der Dichtefunktion beträgt. 27) Bei einem zweiseitigen 99% Intervall einer t-verteilten Zufallsvariablen sucht man denjenigen t-wert, bei dem F ( t) = ist. 28) Bei einem t-test mit 95% Vertrauenswahrscheinlichkeit wird mit % Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese abgelehnt, obwohl sie falsch ist. (sog. Fehler Art.) 29) Bei einer Dichtefunktion ist das 0,9-Quantil diejenige Zahl, bei der der Wahrscheinlichkeitsdichte liegt. 30) Im Gegensatz zur Standardnormalverteilung, weist die t-verteilung eine etwas höhere auf, was gegeben die geringe Anzahl an Beobachtungen das Maß an in einer Schätzung widerspiegelt.

8 Teil B Übungsklausur Statistik II SS 2007 Seite 8 Aufgabe 1 (13 Punkte): Das folgende Schaubild zeigt die zweidimensionale Dichtefunktion der Zufallsvariablen und 3 1 y: f (, y) = e + y 0 < < 1; 0 < y < 1. 4 a. Berechnen Sie die Randverteilung von und y sowie den Erwartungswert von y. (5 P.) b. Berechnen Sie den Erwartungswert von. (6 P.) c. Erklären Sie kurz, welche zusätzlichen Informationen man durch die Betrachtung einer zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktion im Vergleich zu zwei eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen erhält. (2 P.) Aufgabe 2 (12 Punkte): Ein deutscher Werkzeughersteller möchte ins Ausland epandierenden. Da sein Epansionsziel ein Land betrifft, in dem die Copyright-Rechte nicht streng eingehalten werden, nimmt er eine Stichprobe von 20 zufällig ausgewählten Regionen. Er überprüft, ob auf den Märkten in diesen Regionen Plagiate seiner Maschinen zu kaufen sind oder nicht. Dabei stellt sich heraus, dass auf 14 Märkten Plagiate verkauft wurden. a. Berechnen sie das 98 % Konfidenzintervall für den Anteil der Märkte im gesamten Land, auf denen Plagiate verkauft werden. (6 P.) b. Um die Schätzung zu verbessern, unterteilt der Werkzeughersteller die Regionen in einzelne Städte und erhält so eine Stichprobe vom Umfang 80. In dieser Stichprobe werden auf 52 Märkten Plagiate verkauft. Berechnen sie das 95 % Konfidenzintervall für den Anteilswert in der Grundgesamtheit. (6 P.) Aufgabe 3 (16 Punkte): Bei einer Großbank betrug die Kredit-Ausfallwahrscheinlichkeit im Privatkundengeschäft in den vergangenen Jahren 4 %. Aus der hohen Anzahl von Krediten werden zufällig 12 ausgewählt und auf Rückzahlung oder Ausfall hin überprüft. a. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 2 schlechte Kredite entdeckt werden. (3 P.)

9 Teil B Übungsklausur Statistik II SS 2007 Seite 9 b. In der Abteilung für problematische Kunden sind in den letzten Jahren nur 20 Kredite vergeben worden, wobei hier die Ausfallwahrscheinlichkeit 30 % betrug. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei 5 zufällig herausgegriffenen Krediten, weniger als 2 schlechte Kredite zu finden. (3 P.) c. Im vergangenen Jahr sind im großen Geschäftskundenbereich im Durchschnitt 2 Kredite pro Monat ausgefallen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit in einem Monat 0, 1, 2 bzw. 3 Kreditausfälle verzeichnen zu müssen? (3 P.) d. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Binomialverteilung unter Zuhilfenahme der Momenterzeugenden Funktion. (7 P.) Aufgabe 4 (19 Punkte): Gegeben sei folgender Ecel Ausdruck. Die Variable y ist die stetige Wachstumsrate des BIP in Deutschland zwischen 1990Q1 und 2006Q4 und die Variable ist die Anzahl der Arbeitslosen (logarithmiert). Es soll der Einfluss der Arbeitslosigkeit auf das BIP Wachstum überprüft werden. a. Berechnen Sie die Parameter β 0 und β 1 und zeichnen Sie die Regressionsgerade in das Punktdiagramm ein. (6 P.) b. Stimmen die Vorzeichen mit ihren theoretischen Überlegungen überein? (2 P.) c. Berechnen und interpretieren Sie das Bestimmtheitsmaß R 2. (2 P.) d. Testen Sie, ob der Parameter β 1 signifikant von 0 verschieden ist (Signifikanzniveau α = 0,05) (7 P.) e. In der Regression könnte man leicht kritisieren, dass eigentlich der Einfluss des BIP-Wachstums auf die Arbeitslosigkeit untersucht werden müsste. Berechnen Sie deshalb die Regressionsgerade vom BIP-Wachstum auf die Arbeitslosigkeit. (2 P.)