Chi-Quadrat-Verteilung

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1 Chi-Quadrat-Verteilung Wikipedia 1 von 7 6/18/2009 6:13 PM Chi-Quadrat-Verteilung aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Dichten der Chi-Quadrat-Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden n Im Allgemeinen ist mit Chi-Quadrat-Verteilung die zentrale Chi-Quadrat-Verteilung gemeint. Ihr einziger Parameter n kann, muss aber nicht, eine natürliche Zahl sein und heißt ihre Zahl der Freiheitsgrade. Die Chi-Quadrat-Verteilung berechnet die Wahrscheinlichkeit des Auftretens bestimmter Werte der Summe unabhängiger quadrierter standardnormalverteilter Zufallsvariablen, wie sie beispielsweise in der Ermittlung der Varianz einer Stichprobe auftreten können. Sie findet außerdem Anwendung beim Chi-Quadrat-Test.

2 Chi-Quadrat-Verteilung Wikipedia 5 von 7 6/18/2009 6:13 PM. Beziehung zu anderen Verteilungen Beziehung zur Gammaverteilung Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Spezialfall der Gammaverteilung. Ist, so gilt Beziehung zur Normalverteilung Die Summe von n unabhängigen quadrierten standardnormalverteilten Zufallsvariablen genügt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden. Für ist näherungsweise standardnormalverteilt. Für n > 100 ist die Zufallsvariable X näherungsweise normalverteilt, mit Erwartungswert n und Standardabweichung. Beziehung zur Exponentialverteilung Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden ist eine Exponentialverteilung mit dem Parameter λ = 1 / 2. Quantile einer Normalverteilung und einer Chi-Quadrat-Verteilung Beziehung zur Erlang-Verteilung Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 2n Freiheitsgraden ist identisch mit einer Erlang-Verteilung mit n Freiheitsgraden und λ = 1 / 2. Beziehung zur F-Verteilung Wenn und unabhängige -verteilte Zufallsvariablen mit den Freiheitsgraden m und n sind, dann ist der Quotient

3 Chi-Quadrat-Verteilung Wikipedia 6 von 7 6/18/2009 6:13 PM Die Summe von n unabhängigen quadrierten standardnormalverteilten Zufallsvariablen genügt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden. Für ist näherungsweise standardnormalverteilt. Für n > 100 ist die Zufallsvariable X näherungsweise normalverteilt, mit Erwartungswert n und Standardabweichung. Beziehung zur Exponentialverteilung Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden ist eine Exponentialverteilung mit dem Parameter λ = 1 / 2. Quantile einer Normalverteilung und einer Chi-Quadrat-Verteilung Beziehung zur Erlang-Verteilung Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 2n Freiheitsgraden ist identisch mit einer Erlang-Verteilung mit n Freiheitsgraden und λ = 1 / 2. Beziehung zur F-Verteilung Wenn und unabhängige -verteilte Zufallsvariablen mit den Freiheitsgraden m und n sind, dann ist der Quotient eine Zufallsvariable, die der F-Verteilung mit den Freiheitsgraden (m,n) genügt. Beziehung zur stetigen Gleichverteilung Für gerade n = 2m kann man die -Verteilung als m-fache Faltung bilden mit Hilfe der gleichmäßig stetige Dichte U(0,1):,

4 F-Verteilung Wikipedia 1 von 5 6/18/2009 5:57 PM F-Verteilung aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Die F-Verteilung oder Fisher-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Fisher-Snedecor-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariable und ergibt sich als Quotient zweier Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariablen. Sie besitzt zwei unabhängige Freiheitsgrade als Parameter und bildet so selbst eine zwei-parameter-verteilungsfamilie. Als statistischer Test (F-Test) wird die F-Verteilung verwendet, um festzustellen, ob die Grundgesamtheiten zweier Stichproben in ihrer Varianz wesentlich unterscheiden (Varianzanalyse). Eine stetige Zufallsvariable genügt der F-Verteilung F(m,n), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte Inhaltsverzeichnis Definition besitzt. Dabei ist mit Γ(x) die Gammafunktion an der Stelle x bezeichnet. Eigenschaften Erwartungswert Der Erwartungswert ist nur für n > 2 definiert und lautet dann. Varianz Dichtefunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden m und n Die Varianz ist nur für n > 4 definiert und lautet dann

5 Studentsche t-verteilung Wikipedia 1 von 8 6/18/2009 6:05 PM Studentsche t-verteilung aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie (Weitergeleitet von Students t-verteilung) Die Studentsche t-verteilung (auch Student-t-Verteilung) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1908 von William Sealey Gosset entwickelt wurde. Er hatte festgestellt, dass der standardisierte Mittelwert normalverteilter Daten nicht mehr normalverteilt, sondern t-verteilt ist, wenn die Varianz des Merkmals unbekannt ist und mit der Stichprobenvarianz Dichten von t-verteilten Zufallsgrößen geschätzt werden muss. Die t-verteilung zeigt für kleine Werte des Parameters n eine größere Breite und Flankenbetonung als die Normalverteilung (siehe Grafik rechts). Hypothesentests, bei denen die t-verteilung Verwendung findet, bezeichnet man als t-tests. Die Eine Herleitung stetige Zufallsvariable wurde erstmals X genügt 1908 veröffentlicht, der Studentschen während t-verteilung Gosset mit in einer n Freiheitsgraden, Guinness-Brauerei wenn arbeitete. sie die Wahrscheinlichkeitsdichte Da sein Arbeitgeber die Veröffentlichung nicht gestattete, veröffentlichte Gosset sie unter dem Pseudonym Student. Der t-faktor und die zugehörige Theorie wurden erst durch die Arbeiten von R. A. Fisher belegt, der die Verteilung Student s distribution (Students Verteilung) nannte. Inhaltsverzeichnis besitzt. Dabei ist Definition

6 Freiheitsgraden die t-verteilungsfunktion durch die Normalverteilung approximiert werden kann. Verwendung in der mathematischen Statistik Verschiedene Schätzfunktionen sind t-verteilt. Beispielsweise gilt für die Schätzung des Erwartungswertes einer normalverteilten Grundgesamtheit: Wenn die unabhängigen Zufallsvariablen identisch normalverteilt sind mit den Parametern μ und σ, dann unterliegt die stetige Zufallsgröße einer Studentschen t-verteilung mit (n 1) Freiheitsgraden. Das 95%-Konfidenzintervall für den Mittelwert μ wäre dann wobei t durch F(t n 1) = bestimmt ist. Dieses Intervall ist etwas größer als dasjenige, welches sich mit bekanntem σ aus der Verteilungsfunktion der Normalverteilung bei gleichem Konfidenzniveau ergeben hätte