Analytische Statistik II

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1 Analytische Statistik II Institut für Geographie 1

2 Schätz- und Teststatistik 2

3 Grundproblem Generell sind wir nur selten in der Geographie in der Lage, Daten über die Grundgesamtheit zur Verfügung zu haben. Solche Ausnahmen sind z.b. Auswertung der amtlichen Gemeindestatistik der Gemeinden in Baden- Württemberg Auswertung der statistischen Kennziffern wirtschaftlichen Wachstums der Länder der Welt nach den Daten des Demographic Yearbook Daher: in der Regel Arbeit mit Stichproben, z.b. Befragung von 1050 Münsteranern zum demographischen Wandel 2008 Befragung von 1060 Touristen im Sauerland 1996 Eigentlich möchte man jedoch oft nicht nur über diese Stichprobe, d.h. über die befragten Personen Aussagen machen, sondern über alle, also über die Grundgesamtheit. Die statistische Methodik hat den Anspruch, nicht nur für die befragten Fälle zu sprechen, sondern in stärkerem Maße allgemeingültige Ergebnisse zu erzielen. 3

4 Es sind konkret vor allem zwei Problemstellungen, die dabei immer wieder vorkommen und bei denen die Statistik eine entscheidende Hilfestellung leisten kann: 1. Man will ausgehend von dem uns bekannten statistischen Kennwerten in der Stichprobe den nicht bekannten Parameter der Grundgesamtheit schätzen z.b. wollen wir von den Angaben von etwa 1000 Ausflüglern auf die Einstellung aller Touristen im Sauerland zurückschließen, z.b. auf deren Herkunftsgebiete, Urlaubsmotive etc.. D.h. wir möchten mit Hilfe der Zufallsstichprobe unbekannte Parameter der Grundgesamtheit schätzen. Ein solches Verfahren bezeichnet man als statistischen Induktionsschluß, den Teilbereich der Statistik, derie sich damit beschäftigt, dementsprechend als induktive Statistik (Schätzstatistik). 2. Man möchte testen, ob Unterschiede bei den gleichen Kennwerten verschiedener Stichproben wegen ihrer Geringfügigkeit als zufällig gelten müssen oder ob sie so groß sind, dass sie nicht zufällig sein können, d.h. dass sie im statistischen Sinne als signifikante Unterschiede angesehen werden müssen. Entsprechende Tests z.b. auf signifikante Unterschiede fallen in den Bereich der Teststatistik 4

5 Schätzstatistik 5

6 Fallbeispiel: Dauercamper am Biggesee N = 100 Durchschnittliche Anfahrtsentfernung = 60 km Standardabweichung = 10 km 6

7 Stichprobenfehler Im Falle einer Zufallsstichprobe gilt, das das arithmetische Mittel der Stichprobe ungefähr den wahren Wert in der Grundgesamtheit repräsentiert. Allerdings gibt es immer einen zufälligen Unterschied zwischen Grundgesamtheit und Stichprobe, selbst wenn letztere repräsentativ ist, d.h. einem Zufallsauswahlverfahren gefolgt ist. Claus und Ebner sagen dazu: Jedes Stichprobenergebnis ist bis zu einem gewissen Grade vom Zufall abhängig und dadurch mit einem Fehler behaftet. Es informiert über den entsprechenden Parameter der zuständigen Grundgesamtheit nur mehr oder weniger genau. Jede Zufallsstichprobe ist also mit einem sog. Stichprobenfehler ei behaftet. Darunter versteht man die Differenz zwischen dem statistischen Kennwert der Stichprobe und dem entsprechenden Parameter der Grundgesamtheit. 7

8 Wovon hängt die Größe des Stichprobenfehlers ab? a) von der Größe der Stichprobe b) von der Streuung des Merkmals in der Grundgesamtheit 8

9 Wovon hängt die Größe des Stichprobenfehlers ab? konkret: a) je größer die Stichprobe, desto kleiner wird der Stichprobenfehler (je kleiner die Stichprobe, desto größer der Stichprobenfehler)(indirekt proportionales Verhältnis) b) je größer die Streuung, desto größer der Stichprobenfehler (je kleiner die Streuung, desto kleiner der Stichprobenfehler)(direkt proportionales Verhältnis) Folge: Wenn man eine Stichprobe hat und kennt deren Mittelwert, kann man daraus nicht genau auf den exakten Mittelwert der Grundgesamtheit zurückschließen 9

10 Schätzung von Parametern mit Hilfe von Stichprobenbefunden Es gibt zwei Verfahren, mit Hilfe der statistischen Kennwerte von Stichproben auf die unbekannten Parameter der Grundgesamtheit zu schließen, ein empirisches und ein theoretisches. a) empirische Bestimmung, umständlich aber zunächst sehr einleuchtend b) rechnerische Bestimmung, relativ einfach auszurechnen, aber mathematisch für Laien etwas schwierig nachvollziehbar 10

11 a) empirische Bestimmung Man kann wiederholt (Zufalls-)Stichproben gleichen Umfangs aus der Grundgesamtheit ziehen und dabei jedesmal dieselben Merkmale messen (erfragen). Die Mittelwerte der verschiedenen Stichproben unterscheiden sich voneinander. Jede Stichprobe ist mit einem ihr eigen großen Stichprobenfehler behaftet. Diese Mittelwerte kann man auch graphisch darstellen. Sie bilden dann die sog. Stichprobenverteilung des arithmetischen Mittels dar. Diese Verteilung (d.h. die Verteilung der Mittelwerte der einzelnen Stichproben) besitzt ihrerseits wieder einen eigenen Mittelwert (xquerquer: der Mittelwert der einzelnen Mittelwerte), der den genauesten Schätzwert für den (unbekannten) Parameter der Grundgesamtheit darstellt. Dabei gilt: je dichter die Kennwerte der einzelnen Stichproben beieinander liegen, desto geringer ist ihre Streuung, desto zuverlässiger lässt sich mit ihrer Hilfe der unbekannte Parameter der Grundgesamtheit schätzen. Umgekehrt: Dabei gilt: Je größer die Streuung der Mittelwerte, desto größer die Standardabweichung, desto weniger exakt ist ein Rückschluß auf den entsprechenden Parameter in der Grundgesamtheit möglich. 11

12 Diese Beobachtungsergebnisse lassen sich auch graphisch darstellen: Zieht man unendlich viele Teilstichproben gleicher Größe und zeichnet deren Mittelwerte in einem Häufigkeitsdiagramm auf, so entsprechen Häufigkeit und Verteilung der Mittelwerte bei unendlich vielen solcher Stichproben am Ende einer mathematischen Normalverteilung Diese Normalverteilung besteht für statistische Kennwerte auch dann, wenn die Werte des gemessenen Merkmals in der Stichprobe selbst nicht normal verteilt sind Auf dem Gipfelpunkt dieser Normalverteilung befindet sich dann der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit a) empirische Bestimmung 12

13 b) Mathematische Bestimmung durch Schätzung Will man nicht (unendlich) viele Stichproben ziehen, um den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit zu ermitteln, sondern ihn aus einer Stichprobe ableiten, gelten folgende Denkschritte: Im Falle einer Zufallsstichprobe gilt, das das arithmetische Mittel der Stichprobe ungefähr den wahren Wert in der Grundgesamtheit repräsentiert. Allerdings ist aufgrund der Überlegungen zum Stichprobenfehler klar, dass er diesen nie genau trifft Aufgrund der Bedingungen unter der Normalverteilung kann aber mit 68prozentiger Wahrscheinlichkeit erwartet werden, dass die arithmetischen Mittelwerte weiterer Stichproben aus derselben Grundgesamtheit (und damit auch der wahre Wert der Grundgesamtheit) in einem Intervall liegen, das zwischen dem Mittelpunkt der entsprechenden Normalverteilung und ihren beiden Wendepunkten liegt Wie kommt man an die mathematische Bestimmung dieses Wendepunktes? -> Bestimmung des Standardfehlers 13

14 Mathematische Gesetze für die Normalverteilung Bei der Normalverteilung gilt (wie nicht näher abgeleitet werden soll): Der Gipfelpunkt ist der arithmetische Mittelwert der Verteilung Die Wendepunkte errechnen sich durch Subtraktion und Addition der Standardabweichung des Mittelwertes (Standardfehler) vom Mittelwert. Zwischen diesen beiden Wendepunkten liegen 68% der erwartbaren Werte. 14

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16 Dabei gibt es eine Reihe interessanter Schwellenwerte, die alle in Beziehung zur Standardabweichung stehen. Es gilt im einzelnen: µ +/- 1 σ µ +/- 1,64 σ µ +/- 1,96 σ µ +/- 2 σ µ +/- 2,58 σ µ +/- 3 σ µ +/- 3,29 σ = 68% der Werte = 90% der Werte = 95% der Werte. = 95,45% der Werte = 99% der Werte = 99,73% der Werte = 99,9% der Werte Für die Berechnung von Schätzintervallen wird (bei Vorhandensein einer repräsentativen Zufallsstichprobe) das arithmetische Mittel sowie der Standardfehler zur Berechnung eingesetzt 16

17 Schätzen von Prozentwerten bei nicht metrisch skalierten Variablen (bzw. von Vertrauensintervallen für Prozentwerte) Die bisherigen Überlegungen bezogen sich auf quantitativ meßbare, also metrische Merkmale. Sie lassen sich natürlich vom Prinzip her auch auf nominal oder ordinal skalierte Merkmale anwenden. In diesem Falle müssen anstelle arithmetischer Mittelwerte Vertrauensintervalle für Schätzwerte ermittelt werden. Entsprechend kann man die für die Schätzung notwendigen Berechnungen nicht nach derselben Formel wie für metrisch skalierte Daten durchführen, sondern muss ein leicht abgewandeltes Verfahren anwenden, um den notwendigen Standardfehler (hier: den Standardfehler des Prozentwertes) Mit dessen Hilfe können dann im zweiten Schritt die Vertrauensintervalle bei einer bestimmten, vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit angegeben werden können. Dieses Verfahren läuft analog zur Schätzung von Mittelwerten. 17

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19 σ ( p) p 100 p n s = p S p = Standardfehler des Prozentwertes p = prozentuale Häufigkeit des Merkmals in der Grundgesamtheit, (40% Antworthäufigkeit wird entsprechend zum Wert p 40) p = Komplementärwahrscheinlichkeit aller anderen Alternative(n) bei den genannten Antworten (bzw. Merkmalsausprägungen beim gemessenen Merkmal etc.) p + (100-p) ergeben demnach die Summe 100 Die Formel ist nicht anwendbar, wenn die Stichprobe sehr klein ist, und wenn p sehr nah bei 50% liegt (d.h. wenn die in der Befragung genannten Unterschiede zwischen p und seiner Alternative nicht-p ebenfalls sehr klein sind). Dies ist einsichtig, weil dann sowohl die Stichprobe wie Unterschiede in der Merkmalsausprägung so minimal sind, daß die Unterschiede mit größter Wahrscheinlichkeit zufällig sind. In diesem Falle kann die Formel keine aussagefähige Trennschärfe mehr erzielen. 19