Die richtige Wahl von Verteilungen

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1 Die richtige Wahl von Verteilungen N. Schiering, ZMK GmbH Sachsen-Anhalt

2 Agenda Einleitung Standardmessunsicherheiten Typ A und Typ B Normalverteilung Rechteckverteilung Dreieckverteilung Trapezverteilung U-Verteilung Poisson-Verteilung Zusammenfassung 2

3 Einleitung () Exakte Kontrolle des Messprozesses und Angabe der Messbedingungen in der messtechnischen Praxis nicht möglich Messgröße kann daher nicht nur ein einziger Wert zugeordnet werden Beschreibung der nicht vollständigen Kenntnisse durch Verteilungen von Werten und Einschätzung deren Variation Die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung bestimmt das Gewicht, das einem Wert der Größe X aufgrund der vorhandenen Kenntnisse beigemessen werden kann Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw. Statistik notwendig 3

4 Einleitung (2) Abschätzung der Verteilung aufgrund von speziellen Kenntnissen bzw. grundsätzlichen Überlegungen. Der GUM geht von Wahrscheinlichkeitsverteilungen der verträglichen Werte aus. Kann für die Größe X i auf theoretischer oder empirischer Grundlage eine Wahrscheinlichkeitsverteilung angenommen werden, so sind der Erwartungswert und die Quadratwurzel der Varianz dieser Verteilung als Schätzwert x i bzw. die ihm beigeordnete Standardmessunsicherheit u(x i ) zu verwenden. E X xg( x) dx und x E X ( ) µ ( ) Var 2 ( X ) ( x µ ) g( x) dx und u( x ) VAR( X ) i i 4

5 Standardmessunsicherheit Typ A Typ A: Anwendung von Analysemethoden der Statistik für Messreihen unter Wiederholbedingungen zur Ermittlung des Wertes und der ihm beigeordneten Standardmessunsicherheit. Für die Normalverteilung gilt: bester Schätzwert arithmetischer Mittelwert beizuordnende Unsicherheit empirische Standardabweichung (Wurzel aus Varianz dividiert durch Quadratwurzel aus Anzahl der Messungen): x n n und i x i u n ( x) ( x i x) n n i 2 5

6 Standardmessunsicherheit Typ B Typ B: Ermittlung des Wertes und der ihm beigeordneten Standardmessunsicherheit beruht auf anderen Erkenntnissen und kann aus folgenden Informationen eingeschätzt werden: Daten und Ergebnisse aus vorangegangenen Messungen allgemeine Kenntnisse und Erfahrungen über die Eigenschaften und das Verhalten von Messinstrumenten und Materialien Herstellerangaben Kalibrierscheine oder anderen Zertifikate Referenzdaten / Literaturwerte 6

7 Typ A versus Typ B Verwendung nach Methode B nur möglich, wenn ausreichende Erfahrungen und allgemeine Kenntnisse vorhanden sind. Diese Fertigkeit wird in der messtechnischen Praxis erlernt. Eine gut fundierte Ermittlung der Standardmessunsicherheit nach Methode B ist genau so verlässlich wie eine Ermittlung nach Methode A. Insbesondere, wenn die Ermittlung nach Methode A nur auf einer verhältnismäßig geringen Anzahl von statistisch unabhängigen Beobachtungen beruht. Typ A: Angabe der Standardunsicherheit bereits als Standardabweichung des Mittelwertes. Typ B: Berechnung der Standardunsicherheit aller Eingangsgrößen aus deren angenommenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7

8 Normalverteilung Verteilungsform ist eine glockenförmige Normalverteilung (Gauß sche Glockenkurve) Verwendung: bester Schätzwert und beigeordnete Unsicherheit, z. B. aus früheren eigenen oder anderen Messungen oder aus Tabellen bekannt. Diese werden unverändert übernommen und man nimmt für die möglichen Werte eine Normalverteilung an. x n n u( x) i U k x i, wobei k der Erweiterungsfaktor ist 8

9 Normalverteilung Grafische Darstellung Quelle: QUAM:2000.P 9

10 Normalverteilung Beispiele Unsicherheitsangabe in einem Kalibrierschein Unsicherheitsangabe in einem Prüfschein Unsicherheitsangabe in einem Eichschein 0

11 Rechteckverteilung In vielen Fällen lässt sich für den Wert einer Größe nur die Oberund Untergrenze a + und a - angeben, wobei alle Werte innerhalb der Grenzen als gleich wahrscheinlich angesehen werden können. Beschreibung dieses Sachverhaltes durch eine rechteckförmige Wahrscheinlichkeitsverteilung und es gilt: x 2 u( x) ( a + a ) ( a a ) a, wobei a Halbweite der Verteilung + 3

12 Rechteckverteilung Grafische Darstellung Quelle: QUAM:2000.P 2

13 Rechteckverteilung Beispiele () Die Rechteckverteilung wird beispielsweise angenommen: wenn in Kalibrier-, Prüf- und Eichscheinen oder Herstellerdokumentationen Fehlergrenzen (MPE) angegeben sind wenn Temperaturgrenzen gegeben sind zur Beschreibung der Auflösung einer Skala oder digitalen Anzeige oder um eine mögliche zeitliche Drift zu berücksichtigen 3

14 Rechteckverteilung Beispiele (2) Herstellerangaben in Bedienanleitungen: Spezifikation Auflösung Drift Quelle: 4

15 Dreieckverteilung Liegen die Werte mit größerer Wahrscheinlichkeit in der Mitte des Bereiches, dann ist die Annahme einer dreieckförmigen Verteilung sinnvoll: x 2 u( x) ( a + a ) ( a a ) + a 6 wobei a Halbweite der Verteilung Mathematisch ergibt sich die Dreieckverteilung aus der Summe oder Differenz zweier Rechteckverteilungen mit gleicher Halbweite. 5

16 Dreieckverteilung Grafische Darstellung Quelle: QUAM:2000.P T 6

17 Dreieckverteilung Beispiel Schwankung des Luftdruckes bei der Kalibrierung von Kolbenhubpipettten mit Luftpolster Interpolationsabweichung bei der statischen Kalibrierung von anzeigenden Drehmomentschlüsseln Quelle: DAkkS-DKD-R 3-7 7

18 Trapezverteilung Die trapezförmige Verteilung ist ein weiterer Sonderfall, die sich aus der Summe oder der Differenz zweier Rechteckverteilungen mit unterschiedlicher Halbweite ergibt. Sie kommt in der Praxis selten vor. x 2 u( x) ( a + a ) + a 2 + β 6 Quelle: QZ-onlinde.de wobei a Halbweite der Verteilung und 0 b 8

19 U-Verteilung Wenn bei harmonischen Schwingungen nichts über die Phase bekannt ist, dann ist für die Phase eine Rechteckverteilung anzunehmen. Mathematisch folgt daraus für die Amplitude eine U-förmige Verteilung. x 2 ( a + a ) + u( x) a 2 Quelle: Meßunsicherheit, Wolfgang Kessel, wobei a hier gleich der Amplitude A 0 ist, z.b. A(x) A 0 sin ωx 9

20 U-Verteilung Beispiele Bei Messungen im Bereich der elektromagnetischen Verträglichkeit (EMV) Bei Messungen im Bereich der Hochfrequenztechnik Bei der Kalibrierung von Beschleunigungsaufnehmern Einfluss der Hebelarmlänge bei der statischen Kalibrierung von Kalibriereinrichtungen für Drehmomentschraubwerkzeuge Quelle: DAkkS-DKD-R

21 Poissonverteilung Als letztes Beispiel sei die Poissonverteilung genannt. Für diese gilt: u ( x) N wobei N.. Anzahl der Ereignisse. Es ist sinnvoll die relative Unsicherheit zu betrachten. Sie ist gegeben durch / N. Die Poissonverteilung ist nicht symmetrisch, aber für große Werte von N geht sie in eine Normalverteilung über. 2

22 Poissonverteilung Beispiele Eine Poissonverteilung wird z.b. angenommen für die Anzahl von Zerfällen radioaktiver Substanzen in einem Zeitintervall von Ereignissen in einem Teilchendetektor 22

23 Zusammenfassung () Erfahrungen und allgemeine Kenntnisse aus der messtechnischen Praxis müssen vorhanden sein, um anhand der verfügbaren Informationen der Eingangsgröße die richtige Verteilungsfunktion auswählen zu können. Manchmal wird mehr als eine Angabe berücksichtigt. Dann ist es nicht eindeutig, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung man wählen soll. Im GUM Supplement, Tabelle werden weitere Beispiele gegeben, wie aus vorhandenen Informationen einer Typ B Eingangsgröße auf deren Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) geschlossen werden kann. 23

24 Zusammenfassung (2) z.b. Spezifikationsangaben, Auflösung z.b. Messgerät mit Kalibrierschein Quelle: JCGM 02:20 24

25 Zusammenfassung - Übersicht - Verteilungsform Normal Rechteck Dreieck Trapez U-förmig Poisson Standardmessunsicherheit u(x) σ oder U u ( x) k u ( x) a 3 u ( x) a 6 2 u( x) a + β 6 u ( x) a 2 u ( x) N 25

26 Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Zentrum für Messen und Kalibrieren GmbH Sachsen-Anhalt 26