Methoden der Werkstoffprüfung Kapitel II Statistische Verfahren I. WS 2009/2010 Kapitel 2.0

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1 Methoden der Werkstoffprüfung Kapitel II Statistische Verfahren I WS 009/010 Kapitel.0

2 Schritt 1: Bestimmen der relevanten Kenngrößen Kennwerte Einflussgrößen Typ A/Typ B einzeln im ersten Schritt werden die Ziele der Messung beschrieben es werden jene Messgrößen aufgelistet, für welche die Messunsicherheit abgeschätzt werden soll kombiniert erweitert Ergebnis Kapitel.1

3 Schritt 1: Bestimmen der relevanten Kenngrößen Symbol Kenngröße Wert A Fläche A L x B [mm ] s Spannung s F/A [MPa] F HV Vickershärte HV» 0,1891 d Kapitel.

4 Schritt : Identifizieren der Einflussgrößen Kennwerte Einflussgrößen Typ A/Typ B einzeln Identifizieren aller möglichen squellen, mit Einfluss auf das Prüfverfahren Bewertung der einzelnen Größen Tabellarische Aufführung kombiniert erweitert Ergebnis Kapitel.3

5 Schritt : Identifizieren der Einflussgrößen Längenmessung mit Messschieber Eingangsgröße; Quelle der Symbol Kalibrierunsicherheit u K Temperatur u temp Unkorrektes Ansetzen des Messschiebers Standardunsicherheit der Einzelmessungen u MS u S Kapitel.4

6 Schritt : Identifizieren der Einflussgrößen Mögliche squellen nach Uncert COP 07 Zugversuch 1. Probe: Einhaltung der Abmaße Oberflächengüte Eigenspannungen Form und Größe der Probe Form des Bruches Lage des Bruches. System Originalmesslänge Position des Dehnungsmessers Aufbau Steifigkeit der Prüfmaschine bei der Messung der Kraft bei der Messung des Weges Kapitel.5

7 Schritt : Identifizieren der Einflussgrößen Mögliche squellen nach Uncert COP 07 Zugversuch 3. Umgebung: Raumtemperatur und Feuchtigkeit 4. Prüfablauf: Nullabgleich Spannungszunahmerate Dehnungsgeschwindigkeit Digitalisierung Abtastrate in Bestimmung der Bruchfläche Software Kapitel.6

8 Schritt : Identifizieren der Einflussgrößen Bewerten der Quellen: (1 großer Einfluss, kleiner E. 0 kein E.,? unbekannt) Kapitel.7

9 Schritt 3: Klassifizierung der Quellen nach Typ A oder Typ B Kennwerte Einflussgrößen Typ A/Typ B einzeln kombiniert erweitert Definition Messunsicherheit Typ A: (GUM.3.) Methode zur Berechnung der Messunsicherheit durch statistische Analyse von Reihen von Beobachtungen. Definition Messunsicherheit Typ B: (GUM.3.3) Methode zur Berechnung der Messunsicherheit mit anderen Mitteln als der statistischen Analyse von Reihen von Beobachtungen. Ergebnis Kapitel.8

10 Schritt 3: Typ A Grundsätzliche statistische Berechnungen: Wir nehmen an, dass unsere Werte normalverteilt sind m stellt den wahren Wert unserer Messwerte dar! dieser ist jedoch bei geringen Stichprobenumfängen unbekannt; X ist deshalb der beste Schätzwert für den unbekannten, wahren Wert m lässt sich rechnerisch ermitteln! X Kapitel.9

11 Schritt 3: Typ A Grundsätzliche statistische Berechnungen: 1. Mittelwert X Mittelwert, bester Schätzwert ermittelter Wert X 1 n X1 + X å i X i 1 n n X n X Mittelwert n: Zahl der unabhängigen Messungen X i : einzelne Messwerte Kapitel.10

12 Schritt 3: Typ A Grundsätzliche statistische Berechnungen:. Standardabweichung der mittlere Abstand eines Wertes vom Mittelwert m wird als Standardabweichung s bezeichnet. dieser stellt das Maß für die Streuung der Messwerte um den wahren (aber unbekannten) Wert m dar. gilt bei geringen Stichprobenumfängen (n < 0) s ist der beste Schätzwert für den unbekannten, wahren Wert von s. s lässt sich rechnerisch ermitteln! Kapitel.11

13 Schritt 3: Typ A Grundsätzliche statistische Berechnungen: Die Präzision einer Messung kann durch die Standardabweichung beschrieben werden kleines sþ schmale Kurve Þ hohe Genauigkeit großes sþ breite Kurve Þ geringe Genauigkeit Die Standardabweichung s bestimmt Höhe (Maximum) und Breite der Normalverteilungsdichtefunktion Kapitel.1

14 Schritt 3: Typ A Grundsätzliche statistische Berechnungen: s berechnet sich bei Messungen mit einem Umfang von n < 0 (ggf. 30): n 1 s ( xi) å ( xi - x) n - 1 i 1 X : Mittelwert n: Zahl der unabhängigen Messungen X i : einzelne Messwerte Kapitel.13

15 Schritt 3: Typ A 3. Normalverteilung 68 % aller ermittelten Werte liegen zwischen s und +s! (blaue Fläche) Kapitel.14

16 Schritt 3: Typ A 3. Normalverteilung 95 % aller ermittelten Werte liegen zwischen s und +s! (blaue und grüne Fläche) Kapitel.15

17 Schritt 3: Typ A 3. Normalverteilung 99,73 % aller ermittelten Werte liegen zwischen 3s und +3s! (blaue, grüne und gelbe Fläche) Kapitel.16

18 Schritt 3: Typ A 3. Normalverteilung Kapitel.17

19 Schritt 3: Typ A Grundsätzliche statistische Berechnungen: 4. Standardabweichung des Mittelwertes es gilt (für den Mittelwert): n s( xi) 1 s ( x) å ( xi - x) n n( n - 1) i 1 X: Mittelwert n: Zahl der unabhängigen Messungen X i : einzelne Messwerte Die Standardabweichung des Mittelwertes kann nun direkt als der Einzelmessungen verwendet werden. u s x Es gilt: ( ) Kapitel.18

20 Schritt 3: Typ A Grundsätzliche statistische Berechnungen: 5. t-verteilung wird bei wenigen Messdaten relevant durch den Student-Faktor t wird das sintervall erweitert ab n > 0 (ggf. 30) darf die Studentverteilung in guter Näherung (t annähernd 1) durch die Standardnormalverteilung ersetzt werden. t * s(xi ) u n t * s(x) Kapitel.19

21 Schritt 3: Typ A Grundsätzliche statistische Berechnungen t * s(xi ) 5. t-verteilungen u n Anzahl der Messwerte t - Faktor 1,84 3 1,3 4 1,0 5 1, ,06 0 1, ,01 1,00 Kapitel.0

22 Schritt 3: Typ A Grundsätzliche statistische Berechnungen 5. Freiheitsgrade der Messung Sind ein alternativer Ansatz zur Absicherung der Messungen Eine n-fache Messung hat n-1 Freiheitsgrade Je höher die Anzahl der Freiheitsgrade, desto sicherer das Ergebnis Die Absicherung erfolgt zum Schluss der Berechnungen Kapitel.1

23 Schritt 3: Typ A Zusammenfassendes Beispiel: (Seite bis 3 der Übungsau Die Dicke (D) eines Aluminiumblocks wird mittels Messschieber fünffach gemessen, der Mittelwert X und die Standardabweichung s sind wie folgt berechnet worden: Messung Wert X i [mm] 1 40,05 Mittelwert 39, ,10 X Einzel-D 1 n å i n 1 Xi X 1 + X n X n 4 40, ,90 Kapitel.

24 Schritt 3: Typ A Zusammenfassendes Beispiel: Standardabweichung s: s n 1 å(x n -1 - x Einzel -D i ) i 1 Kapitel.3

25 Schritt 3: Typ A Zusammenfassendes Beispiel: Standardunsicherheit Da n mit 5 Messungen < 0 ist, muss der Studentfaktor t berücksichtigt werden. Bei 5 Messungen ist t Die Anzahl der Freiheitsgrade beträgt: u Einzel-D t * s n Für k ergibt sich dann folgendes Ergebnis: Die Breite des Aluminiumblocks beträgt: XEinzel - D ± k * ueinzel -D Kapitel.4

26 Schritt 3: Typ A Zusammenfassendes Beispiel: Die Dicke (D) eines Aluminiumblocks wird mittels Messschieber fünffach gemessen, der Mittelwert X und die Standardabweichung s sind wie folgt berechnet worden: Messung Wert X i [mm] Mittelwert 1 40,05 39,95 X Einzel-D 1 n å i n 1 Xi X 1 + X n X n 3 40, , ,90 40, , , , , Kapitel.5

27 Schritt 3: Typ A s Zusammenfassendes Beispiel: Standardabweichung s: Einzel-D ( 40,05-40) + ( 39,95-40) + ( 40,10-40) + ( 40,00-40) + ( 39,90-40) 0,05 4 n 1 å(x n -1 i 1 - x) 0,006» 0,079 i 5-1 Kapitel.6

28 Schritt 3: Typ A Zusammenfassendes Beispiel: Standardunsicherheit Da n mit 5 Messungen < 0 ist, muss der Studentfaktor t berücksichtigt werden. Bei 5 Messungen ist t 1,14 Die Anzahl der Freiheitsgrade beträgt: 4 u t * s 1,14 *0,079 n 5 Einzel -D» 0,04 Für k ergibt sich dann folgendes Ergebnis: Die Breite des Aluminiumblocks beträgt: XEinzel -D ± k * ueinzel -D 40 ± 0, 08mm Kapitel.7

29 Schritt 3: Typ B 1. Rechteckverteilung (Gleichverteilung): Das Auftreten der Werte im Intervall a u /a o ist gleich wahrscheinlich (WT 1), die Wahrscheinlichkeit dass Werte außerhalb des Intervalls liegen ist gleich 0: a u MW a o Kapitel.8

30 Schritt 3: Typ B 1. Rechteckverteilung (Gleichverteilung): Die Messunsicherheit errechnet sich damit wie folgt (68% Niveau entspricht 1s): x u u ( xi) mit ( xi) ( ao + au) a o ( ao - au) ( ao - au) - a a 3 u 1 a 3 Kapitel.9

31 Schritt 3: Typ B Beispiel: Ein analoger Messschieber habe eine Kalibrierunsicherheit von ± 0,05 mm. Das heißt dass bei einer gemessenen Größe von z. B.: 40 mm der tatsächliche Wert zwischen a u 39,95 mm und a o 40,05 mm liegt. Die entsprechende berechnet sich dann: a 0, 05 mm u a K, 3 0, 05 mm 3» 0 03 mm Kapitel.30

32 Schritt 3: Typ B. Dreiecksverteilung: Die Wahrscheinlichkeit, dass Werte um den Mittelwert erscheinen ist größer als die, für Werte an den Rändern. Die Handhabung ist verglichen mit der Normalverteilung leichter. a u MW a o Kapitel.31

33 Schritt 3: Typ B. Dreiecksverteilung: Die Messunsicherheit errechnet sich damit wie folgt (68% Niveau entspricht 1s): x u u ( xi) mit ( xi) ( ao + au) a o ( ao - au) ( ao - au) - a a 6 u 4 a 6 Kapitel.3

34 Schritt 3: Typ B Beispiel: Der maximale Fehler durch unkorrektes Ansetzen des Messschiebers sei ± 0,0 mm. Bei umsichtigem Messen wird er aber eher geringer sein. Korrektes Ansetzen ist damit wahrscheinlicher. Die entsprechende berechnet sich dann für den analogen Messschieber: a u 0, 0 mm a MS, 6 0, 0 mm 6» mm Kapitel.33

35 Schritt 4: Abschätzung der Standardunsicherheit für jede Quelle (sbudget) Kennwerte Einflussgrößen Typ A/Typ B einzeln kombiniert erweitert Wie breit ist der Block? Wir wollen unsere Messbeispiele noch einmal aufgreifen und alle bisher berechneten en zusammentragen: Ergebnis Kapitel.34

36 Schritt 4: Abschätzung der Standardunsicherheit für jede Quelle (sbudget) Analoger Messschieber: Quelle der Symbol Wert ± [mm] Wahrscheinlichkeits -verteilung Divisor Standardunsicherheit [mm] Kalibrierunsicherheit u K 0,05 Typ B / Rechteck 3 0,03 Temperatur u temp 0 0 Unkorrektes Ansetzen des Messschiebers u MS 0,0 Typ B / Dreieck 6 0,008 Standardunsicherheit der Einzelmessungen u Einzel-D 0,04 Typ A / Normal 1 0,04 Kapitel.35

37 Schritt 5: Berechnung der kombinierten Standardunsicherheit Kennwerte Einflussgrößen Typ A/Typ B einzeln Summierung der Quadrate bei Addition und Subtraktion: Verschiedene unabhängige sfaktoren sollen zu einer Gesamtunsicherheit addiert werden. Die en der Einzelmessungen werden mit u 1, u,... u n bezeichnet: y x 1 + x... + x n kombiniert erweitert u kombiniert n ( y) u u + u u å i 1 i 1 n Ergebnis Kapitel.36

38 Schritt 5: Berechnung der kombinierten Standardunsicherheit Kennwerte Einflussgrößen Für das Beispiel berechnet sich dann die kombinierte Messunsicherheit u kombiniert (D) wie folgt: Typ A/Typ B einzeln u kombiniert ( D) n å u u + u + u + u - i 1 i K temp MS Einzel D kombiniert 0, , ,04 0,006» 0,05 mm erweitert Ergebnis Kapitel.37

39 Schritt 6: Berechnung der erweiterten Kennwerte Einflussgrößen Typ A/Typ B einzeln kombiniert erweitert wird mit U bezeichnet, man erhält U durch Multiplikation der kombinierten Standardunsicherheit u kombiniert (y) mit einem Erweiterungsfaktor k: U k * u kombiniert (y) k ist vom Vertrauensbereich abhängig: es gilt bei Normalverteilung: k1 68% Vertrauensbereich (1s) k 95% Vertrauensbereich (s) k,58 99% Vertrauensbereich k3 99,7% Vertrauensbereich (3s) Ergebnis Kapitel.38

40 Schritt 7: Ergebnis protokollieren Kennwerte Einflussgrößen Typ A/Typ B einzeln Das Ergebnis so anzugeben, dass der Leser die Informationen nutzen kann. Folgende Dinge sind anzugeben: das Messergebnis zusammen mit der : Die Dicke des Blocks beträgt 40 mm ± 0,1 mm (Messung mit analogem Messschieber) kombiniert erweitert Ergebnis Kapitel.39

41 Schritt 7: Ergebnis protokollieren Weiterhin wichtig ist die Angabe des Erweiterungsfaktor und des Vertrauensbereichs: z.b.: Die angegebene erweiterte des Mittelwertes basiert auf der Multiplikation der kombinierten Standardunsicherheit mit einem Erweiterungsfaktor k / k,13 für ein Vertrauensniveau von annähernd 95%. Als letztes sollte protokolliert werden wie die bestimmt wurde: z.b.: Die Berechnung der Messunsicherheit wurden gemäß den Vorgaben des GUM ausgeführt. Kapitel.40

42 sbudget Dickenmessung Quelle der Symbol Wert ± [mm] Wahrscheinlichkeits -verteilung Divisor Standardunsicherheit [mm] 0,05 Typ B / Rechteck Kalibrierunsicherheit u K 3 0,03 Temperatur u temp 0 0 Unkorrektes Ansetzen des Messschiebers u MS 0,0 Typ B / Dreieck 0,008 6 Standardunsicherheit der Einzelmessungen u Einzel-D 0,04 Typ A / Normal 1 0,04 kombinierte Standardunsicherheit U komb-d (angenommen) Normalverteilt 0,05 erweiterte Standardunsicherheit U D (angenommen) Normal, k 0,10 Kapitel.41

43 Messdaten Dickenmessung (D) Probenummer: Messung Wert X i [mm] X Einzel-D 1 n å Xi i 1 n D 1 3 s n 1 å(x n -1 - x Einzel -D i ) i u Einzel-D t * s n mit n und g % Kalibrierunsicherheit: analoger Messschieber: 0,05 mm digitaler Messschieber: 0,005 mm Kapitel.4

44 sbudget Dickenmessung Quelle der Symbol Wert +/- [mm] Wahrscheinlichkeits -verteilung Divisor Standardunsicherheit [mm] Kalibrierunsicherheit u K Temperatur u temp Unkorrektes Ansetzen des Messschiebers u MS Standardunsicherheit der Einzelmessungen u Einzel-D kombinierte Standardunsicherheit U komb-d (angenommen) Normalverteilt erweiterte Standardunsicherheit U D (angenommen) Normal, k Kapitel.43