Übungsaufgabe Parameter und Verteilungsschätzung

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Inge Hofer
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1 Übungsaufgabe Parameter und Verteilungsschätzung Prof. Dr. rer. nat. Lüders Datum: Autor: Marius Schulte Matr.-Nr.: FH Südwestfalen

Aufgabenstellung Analysiert werden sollen die Verteilungen von Windgeschwindigkeiten an 3 Standorten (eine auswählen, Quelle: DWD). Diese sind in Excel-Dateien gespeichert.

2 Aufgabenstellung Analysiert werden sollen die Verteilungen von Windgeschwindigkeiten an 3 Standorten (eine auswählen, Quelle: DWD). Diese sind in Excel-Dateien gespeichert. Häufig wird für Windgeschwindigkeiten eine Weibull-Verteilung angenommen. Dies ist zu testen! Auswertung a) Lesen Sie die Excel-Datei ein und erstellen Sie ein Histogramm. Benötigter Matlab Code: Abbildung 1: Histogramm der Windgeschwindigkeiten am Kahlen Asten Seite 2 von 8

b) Berechnen Sie Mittelwert, Median, Standardabweichung, Variationskoeffizient. Benötigter Matlab Code: Typ Matlab-Wert Mittelwert 13.7957 m/s Median 13.1000 m/s Standardabweichung 4.

C = 0,3424 k = 3,33 Abbildung 2: Kurve zur Ermittlung von und k Es wird der Variationskoeffizient C aus vorheriger Berechnung bzw. Tabelle benutzt, um den Formparameter k zu ermitteln.

3 b) Berechnen Sie Mittelwert, Median, Standardabweichung, Variationskoeffizient. Benötigter Matlab Code: Typ Matlab-Wert Mittelwert m/s Median m/s Standardabweichung m/s Variationskoeffizient m/s Tabelle 1: Ermittelte Werte durch Matlab Berechnung c) Schätzen Sie daraus die Parameter der zugehörigen Weibull-Verteilung (Folie 28)! C = 0,3424 k = 3,33 Abbildung 2: Kurve zur Ermittlung von und k Es wird der Variationskoeffizient C aus vorheriger Berechnung bzw. Tabelle benutzt, um den Formparameter k zu ermitteln. Dazu wird zunächst die blaue Kurve benötigt. Der Variationskoeffizient beträgt 0,3424. Wie im Diagramm eingezeichnet, sucht man mit dieser Y-Koordinate den Schnittpunkt mit der blauen Kurve. Die zugehörige X-Koordinate ergibt entsprechend den Formparameter k. Der resultierende Formparameter k beträgt in diesem Fall ca. 3,33. Seite 3 von 8

4 Der Y-Schnittpunkt der roten Kurve beträgt bei der X-Koordikate k = 3,33 etwa 0,9. Dieser Wert wird für die Berechnung verwendet: Grundformel: umgestellt nach : d) Fertigen Sie einen Plot mit der theoretischen und gemessenen Wahrscheinlichkeitsverteilung an! Passen Sie gut zusammen? Benötigter Matlab Code: Die theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung wird über die Formel auf Folie 28 erzeugt. Dabei entspricht x den aufsteigend sortierten Werten der Messungen, wie auch im Matlab-Code ersichtlich. Der ermittelten Werte für den Formparameter k und den Wert werden in folgende Formel aus eingesetzt: Dieser Schritt ist notwendig, da Matlab keine Kurven ohne Datensätze anzeigen kann. Seite 4 von 8

5 Abbildung 3: CDF der gemessenen und theoretischen Windgeschwindigkeiten Wie in dieser Abbildung ersichtlich ist, passen die Kurven der theoretischen und gemessenen Windgeschwindigkeit gut zueinander, was die These einer Weibull-Verteilung bei Windgeschwindigkeitsmessungen stützt. Seite 5 von 8

e) Analysieren Sie die Messdaten mit dem Matlab DistributionFitter-Tool! f) Welche Parameter erhalten Sie jetzt für die Hypothese Weilbull-Verteilung?

6 e) Analysieren Sie die Messdaten mit dem Matlab DistributionFitter-Tool! f) Welche Parameter erhalten Sie jetzt für die Hypothese Weilbull-Verteilung? Der DistributionFitter lässt sich über den Befehl: distributionfitter in Matlab aufrufen. Alternativ lässt er sich unter dem Menüpunkt APPS auch per Klick aufrufen. Zunächst wird ein neues Data Set angelegt. Dazu werden die Messwerte ausgewählt, welche in meinem Fall in der Variable Geschwi gespeichert sind. Anschließend kann im DistributionFitter ein neuer Fit erzeugt werden. Dazu klickt man auf New Fit... Abbildung 4: PDF - Weibull-Verteilung, DistributionFitter Da als Verteilung Weibull als These aufgestellt wurde, habe ich diese Verteilung als erstes ausprobiert. In der PDF sieht man, dass der Verlauf nicht so gut zu den Messwerten passt. Als nächstes eine Gegenüberstellung der von Matlab berechneten und der vom DistributionFitter ermittelten Parameter: Typ errechneter Wert Distribution Fitter Abweichung Mittelwert 13, ,7863-0,0094 Varianz 22, , , , , ,0968 Standardabweichung 4,7230 3, ,66704 Seite 6 von 8

7 Die Abweichung der Parameter vom berechneten Matlab und DistributionFitter liegen dicht beieinander. Schaltet man den Display-Typ auf die kumulierte Ansicht (CDF) um, sieht die Verteilung Weibull passender aus: Abbildung 5: CDF - Weibull-Verteilung, DistributionFitter g) Versuchen Sie es mit einer alternativen Hypothese (andere Verteilung)! Als zweite Verteilung habe ich die Normalverteilung ausgewählt: Abbildung 6: PDF Normalverteilung, DistributionFitter Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion vom DistributionFitter für eine Normalverteilung ähnelt optisch der von der Weibullverteilung. Einige ermittelte Parameter lassen sich trotz der anderen Verteilungsart vergleichen: Seite 7 von 8

8 Typ errechneter Wert Distribution Fitter Abweichung Mittelwert/ Mean 13, ,7957 Varianz 22, , , Standardabweichung 4,7230 4,72305 Wie zu sehen ist, haben die ermittelten Werte vom DistributionFitter Tool weniger bis keine Abweichungen zu den errechneten Werten. Abbildung 7: Gegenüberstellung CDF- Weibull- und Normalverteilung, DistributionFitter In der CDF sieht man kaum einen Unterschied zwischen den beiden Verteilungen. Schaut man genau hin, sieht man, dass die Weibullverteilung etwas besser passt als die Normalverteilung, gerade im oberen Kurvenbereich. Fazit Von den beiden getesteten Verteilungen passt aus meiner Sicht keine richtig gut über die Verteilungen der Windgeschwindigkeit. Die These der Weibullverteilung sollte genauer mit mehreren anderen Messreihen überprüft werden, um mehr Sicherheit zu erlangen. Für eine gute und schnelle Näherung kann man sehr gut auf den DistributionFitter zurückgreifen. Seite 8 von 8

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