1 Messfehler. 1.1 Systematischer Fehler. 1.2 Statistische Fehler

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1 1 Messfehler Jede Messung ist ungenau, hat einen Fehler. Wenn Sie zum Beispiel die Schwingungsdauer eines Pendels messen, werden Sie - trotz gleicher experimenteller Anordnungen - unterschiedliche Messwerte erhalten. Ursachen für einen Messfehler können Unvollkommenheiten des verwendeten Messgerätes, Ableseungenauigkeiten, unkontrollierbare äußere Einflüsse, prinzipielle Mängel im Messverfahren sein oder liegen in der Natur des physikalischen Prozesses. Mit einer Messung kann man somit nie den wahren Wert der gemessenen Größe ermitteln, sondern nur eine mehr oder weniger gute Schätzung mit einem Bereich an möglichen Schwankungen. Um die Güte eines Messwertes beurteilen zu können, muss die Schwankung - Fehler genannt - immer angegeben werden. Sie sollten sich deshalb folgender Tatsache immer bewusst sein: Ein Messwert ohne Angabe eines Messfehlers ist wertlos. 1.1 Systematischer Fehler Man unterscheidet grundsätzlich zwischen systematischen und statistischen Fehlern. Systematische Fehler zeichnen sich dadurch aus, dass die Differenz zwischen dem Messwert und dem wahren Wert immer dasselbe Vorzeichen hat die Messwerte sind entweder immer größer oder immer kleiner als der wahre Wert. Ursache hierfür kann z.b. ein falsch geeichtes Messinstrument sein. Allgemein gibt es kein Rezept zur Erkennung systematischer Fehler: Hier hilft nur viel experimentelle Erfahrung. Im Folgenden konzentrieren wir uns auf die statistischen Fehler. 1.2 Statistische Fehler Statistische Fehler auch zufällige Fehler genannt haben ihre Ursache in zufällig auftretenden, nicht kontrollierbaren Schwankungen. Dies können unstabile Messbedingungen sein oder liegen in der Natur des physikalischen Prozesses. Messen Sie z.b. eine physikalische Größe n Mal hintereinander, werden Sie nicht immer denselben Wert erhalten, sondern unterschiedliche Werte y i. Um den Messwert zu erhalten, der dem wahren Wert am nächsten kommt, bildet man den arithmetischen Mittelwert ȳ:

2 1.2 Statistische Fehler 1 MESSFEHLER ȳ = 1 y i = 1 n n (y 1 + y 2 + y y n ). (1) Man addiert alle Messwerte y i und dividiert sie durch die Zahl n der Messungen. (Neben der Darstellung des Mittelwertes über ȳ ist auch < y > üblich.) Ein Maß dafür, wie genau eine Messung ist, liefert die Streuung der Messwerte. Die Streuung der Messwerte ist die Abweichung der Einzelmessungen vom Mittelwert und wird Standardabweichung σ (der Einzelmessungen) genannt: σ = ± 1 n (ȳ y i ) 2 (2) Beachten Sie: Es werden nicht die Abweichungen vom Mittelwert summiert, sondern die Quadrate. Dies muss man tun, da zufällige Schwankungen (meist) gleichmäßig um den Mittelwert verteilt sind. Das bedeutet: Es gibt genau soviele positive wie negative Abweichungen. Die Summe über die Abweichungen würde null ergeben: keine sinnvolle Information über die Streuung der Messwerte. Deshalb nutzt man die Quadrate. Wie muss man die Streuung σ Standardabweichung genannt interpretieren? Die Standardabweichung ist ein Maß für den Fehler der Messung. Betrachten wir hierzu ein Beispiel. Sie haben zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit 100 Messungen durchgeführt und eine mittlere Schallgeschwindigkeit von c = 330, 4 m/s erhalten. Die Streuung ( Standardabweichung) der Werte ergibt σ = ±0, 9 m/s. Sie müssen dann als Messresultat angeben: c = (330, 4 ± 0, 9)m/s (3) Es ist zu beachten, dass die Standardabweichung nur die Streuung um den Mittelwert beschreibt. Die Streuung des Mittelwertes selbst ist im Allgemeinen wesentlich geringer als die Streuung der Einzelmessungen. Würde man die gleiche Messreihe mehrfach wiederholen, so wäre die Streuung der Mittelwerte erheblich kleiner als die jeweilige Streuung der Einzelmessungen. Für die Standardabweichung des Mittelwertes σ m auch mittlerer Fehler des Mittelwertes genannt gilt: σ m = σ n (4) D. Samm Fehlerrechnung 2

3 1.3 Fehlerfortpflanzung 1 MESSFEHLER Wie muss man die Fehler interpretiern? Ein häufiger Irrtum ist, dass man die Fehlerangabe y =.. ±.. als Maximalabweichung interpretiert, im Sinne von Toleranzen. Dies ist aber nicht so! Der Messfehler ist nur eine Wahrscheinlichkeitsangabe darüber, dass der wahre Wert im Intervall von y =.. ± σ liegt. So gilt folgender Zusammenahng zwischen der Standardabweichung σ und Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Werte im Intervall y =.. ±.. liegt Standardabweichung Wahrscheinlichkeit 1σ 68,3 % 2σ 95,4 % 3σ 99,7 % 1.3 Fehlerfortpflanzung Gauß sche Fehlerfortpflanzung Häufig kann eine gesuchte physikalische Größe nicht diekt gemessen, sondern muss aus der Messung anderer Größen berechnet werden. y = f(x 1, x 2, x 3,..., x n ). (5) Der Fehler der physikalischen Größe y hängt dann von den Unsicherheiten der Größen x i ab. Sind die Fehler der Einzelmessungen unabhängig voneinander, nutzt man das Gauß sche Fehlerforpflanzungsgesetz zur Bestimmung des Gesamtfehlers. Der Gesamtfehler y ist nach dem Gauß schen Fehlerfortplanzungsgesetz gegeben durch y = ( f x 1 ) 2 x ( f x n ) 2 x 2 n. (6) Betrachten wir hierzu ein Beispiel. Ein Wert y setzt sich aus zwei Messwerten a und b mit den Fehlern a und b zusammen: Für den Fehler y gilt dann: y = y = a + b ( y a )2 a 2 + ( y b )2 b 2, D. Samm Fehlerrechnung 3

4 1.4 Geradenanpassung 1 MESSFEHLER y = a 2 + b 2. Falls die Funktion y = a b lautet, erhält man für den Fehler von y ebenfalls (bitte selbst nachvollziehen) y = a 2 + b Arithmetische Fehlerfortpflanzung Bei manchen Messungen kann man eine statistische Unabhängigkeit der Messabweichungen nicht voraussetzen. In diesen Fällen wird statt des Gauß schen Fehlerfortpflanzungsgesetzes das arithmetische Fehlerfortpflanzungsgesetz angewendet. Für die Funktion y = f(x 1, x 2, x 3,...) gilt y = ± y x 1 x 1 + y x 2 x 2 + y x 3 x Diese Maximalfehlerabschätzung beruht auf der Annahme, dass alle Einzelfehler mit ihrem vollen Betrag zu einer Abweichung des Ergebnisses in die gleiche Richtung führen. Man erhält mit dieser - etwas unrealistischen Annahme - den maximalen Fehler des Ergebnisses. 1.4 Geradenanpassung Nehmen wir an, Sie wollen eine Größe a bestimmen, die mit zwei Messgrößen y und x wie folgt zusammenhängt y = ax + b. Diese Funktion stellt eine Gerade dar. Die Steigung der Geraden ist a, der Achsenabschnitt ist b. ( Ein physikalisches Beispiel könnte die Auslenkung (y) einer horizontal aufgehängten Feder als Funktion der angehängten Masse (x) sein.) Die Größe a ist keiner direkten Messung zugänglich, aber x und y. Zur Bestimmung von a (und auch b) misst man y als Funktion von x, ermittelt die Ausgleichsgerade und daraus a und b. Wie erhält man aber die Steigung a bzw. den Achsenabschnitt b, und wie lauten ihre Fehler? D. Samm Fehlerrechnung 4

5 1.5 Angabe von Messergebnissen 1 MESSFEHLER Die Ausgleichsgerade kann rechnerisch bestimmt werden. Hierzu nutzt man die Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Sie basiert darauf, dass man die mittlere quadratische Abweichung der Messwerte von der Ausgleichsgeraden minimiert. Da die Herleitung relativ aufwändig ist, werden hier nur die Ergebnisse angegeben. Für die Steigung a der Geraden gilt: a = Für den Achsenabschnitt b der Steigung gilt: wobei x und ȳ die Mittelwerte darstellen, Für den Fehler der Steigung σ a gilt: (x i x)(y i ȳ). (7) b = ȳ a x, (8) 1 σ a = σ y. (9) Für den Fehler des Achsenabschnitts σ b gilt mit x 2 i σ b = σ y n n, (10) (ax i + b y i ) 2 σ y = n 2. (11) 1.5 Angabe von Messergebnissen Die aus der Fehlerrechnung erhaltene Messunsicherheit wird üblicherweise auf eine geltende Ziffer gerundet. Haben z.b. mehrere Messungen für die Länge einer Strecke l = 1, 9876 m und die Messunsicherheit l = 0, 0035 m ergeben, so wird das Messergebniss auf folgende Weise angegeben: l = (1, 988 ± 0, 004)m D. Samm Fehlerrechnung 5

6 2 ZUSAMMENFASSUNG 2 Zusammenfassung Im Rahmen des Physikpraktikums sollen Sie neben den physikalischen Inhalten auch den richtigen Umgang mit Messdaten lernen. Eine Messung ist immer mit Fehlern behaftet. Es gilt nun diese Fehler zu ermitteln, um eine möglichst gute Schätzung der wahren physikalischen Größe zu erhalten und mögliche Abweichungen (z.b. bei Wiederholung einer Messserie) quantitativ zu beschreiben. Im Folgenden sind die notwendigen Gleichung zusammenfassend dargestellt. 1. Berechnung des Mittelwerts Ein Messwert y i wurde n-mal wiederholt, dann gilt für den Mittelwert ȳ ȳ = 1 y i = 1 n n (y 1 + y 2 + y y n ). (12) 2. Berechnung des Fehlers des Mittelwerts Für den Fehler des Mittelwerts ȳ gilt bei n Einzelmessungen ȳ = 1 n 1 (y i ȳ) n 1 2, (13) wobei σ = 1 n 1 (y i ȳ) 2 der mittlere Fehler der Einzelmessung ist und Standardabweichung genannt wird. 3. Gauß sche Fehlerfortpflanzung Wenn eine gesuchte Größe y(x 1,..., x n ) nicht direkt messbar ist, sondern aus den Größen x 1,.., x n mit den Fehlern x 1,..., x n errechnet werden muss, gibt das Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß den Gesamtfehler y an. Es gilt: y = ( f x 1 ) 2 x ( f x n ) 2 x 2 n. (14) Das Gauß sche Fehlerfortpflanzungsgestz kann man nur anweden, wenn die Fehler der Einzelmessungen statistisch unabhängig voneinander sind. D. Samm Fehlerrechnung 6

7 2 ZUSAMMENFASSUNG 4. Arithmetische Fehlerfortpflanzung Kann man eine statistische Unabhängigkeit der Messabweichungen der Einzelmessungen nicht voraussetzen, wird statt des Gauß schen Fehlerfortpflanzungsgesetzes das arithmetische Fehlerfortpflanzungsgesetz angewendet. Für die Funktion y = f(x 1, x 2, x 3,...) gilt 5. Geradenanpassung Die Geradengleichung lautet: y = ± y x 1 x 1 + y x 2 x 2 + y x 3 x Für die Steigung a der Geraden gilt: y(x) = ax + b. a = (x i x)(y i ȳ). (15) Für den Achsenabschnitt b der Steigung gilt: b = ȳ a x, (16) wobei x und ȳ die Mittelwerte darstellen gemäß ȳ = 1 n bzw. y i = 1 n (y 1 + y 2 + y y n ), x = 1 x i = 1 n n (x 1 + x 2 + x x n ) Für den Fehler der Steigung σ a gilt: 1 σ a = σ y. (17) Für den Fehler des Achsenabschnitts σ b gilt D. Samm Fehlerrechnung 7

8 2 ZUSAMMENFASSUNG mit x 2 i σ b = σ y n n, (18) (ax i + b y i ) 2 σ y = n 2. (19) D. Samm Fehlerrechnung 8