Mehrdimensionale Verteilungen und Korrelation

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Bärbel Dunkle
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Experimentelle Kernphysik SS '17 KIT Die

1 Vorlesung: Computergestützte Datenauswertung Mehrdimensionale Verteilungen und Korrelation Günter Quast Fakultät für Physik Institut für Experimentelle Kernphysik SS '17 KIT Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Mehrdimensionale Verteilungen Der Ausgang einer Messung kann durch mehrere Zufallsgrößen charakterisiert sein. In diesem Fall ist auch die Wahrscheinlichkeitsdichte mehrdimensional. Visualisierung als Streudiagramm (engl Scatter Plot ) Normierung kumulativ A B

3 Projektion auf x-achse Mehrdimensionale Verteilungen Ausintegrieren einer der Zufallsvariablen p y (y) A B y Randverteilungen engl.: marginal distribution Projektion auf y-achse (x) x p kumulativ Sind die zwei Zufallsvariablen und unabhängig, dann gilt für die Wahrscheinlichkeitsdichte: x

4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten A A' Integration in einem Intervall : Das Bsp. rechts zeigt, dass sich für A und A' verschiedene Wahrscheinlichkeitsdichten ergeben können.

5 2d-Histogramme in matplotlib python python / / numpy numpy / / matplotlib: matplotlib: numpy.histogram(), numpy.histogram(), numpy.histogram2d() numpy.histogram2d() matplotlib.pyplot.bar(), matplotlib.pyplot.bar(), matplotlib.pyplot.pcolormesh() matplotlib.pyplot.pcolormesh() siehe siehe auch: auch: matplotlib.pyplot.hist() matplotlib.pyplot.hist() matplotlib.pyplot.hist2d() matplotlib.pyplot.hist2d() Beispielscript Beispielscript Histogram.py Histogram.py

6 Weitere Darstellungsformen: Profil-Darstellung Abhängigkeiten der Variablen werden deutlicher, wenn man Mittelwert und Standardabweichung der y-verteilung für jedes x-bin darstellt: Profil-Darstellung Beispielscript Beispielscript Histogram.py, Histogram.py, profile2d() profile2d()

7 weitere Darstellungsformen: Kastendarstellung Verbreitet in der deskriptiven Statistik - Darstellung der Quantile von Verteilungen in Abhängigkeit eines weiteren Parameters. Beispiel: Erinnerung Kastendarstellung IQR: Inter- Quartile Range Implementierung python/matplotlib pyplot.boxplot() Quelle: Wikipedia

8 Kovarianz - der Zusammenhang zwischen Variablen Kovarianz zweier Zufallsvariablen ist Erwartungswert von (Abweichung vom Erwartungswert in Variable x) * (Abweichung vom Erwartungswert in Variable y) Analog auch bei mehr als zwei Variablen: cov(x i, x j ) sind die Elemente der Kovarianzmatrix V Diagonalwerte sind die Varianzen! Anm.: für mehrere Variable kann man die Kovarianzmatrix auch sehr kompakt in Matrix-Schreibweise darstellen: das ist formal identisch zur Definition der Varianz: statt Produkt zweier Zahlen das dyadische Produkt von Vektoren

9 Kovarianz und Korrelation Normiere Kovarianzmatrix, so dass die Diagonalelemente alle 1 sind: Streudiagramme von zwei korrelierten Zufallsvariablen Korrelationskoeffizienten sind anschaulicher als Kovarianzen!

10 Korrelation und Unabhängigkeit von Variablen Achtung: Wenn x, y unabhängig, d.h. und 1. ) Die umgekehrte Aussage gilt nicht: Beispiel: 2.) eine Korrelation 0 bedeutet nicht unbedingt, dass es auch einen kausalen Zusammenhang gibt., dann gilt man sagt: x und y sind unkorreliert Bsp.: Was halten Sie von folgender Aussage: Biertrinken erzeugt Sonnenbrand Bierkonsum und das Auftreten von Sonnenbrand sind zwar korreliert, aber glauben Sie an einen kausalen Zusammenhang? Wie oft wird das in der (Boulevard-)Presse verwechselt? x, y - unkorreliert unabhängig - korreliert kausal verknüpft - Korrelation kann zufällig sein, * x y möglich * y x möglich * z (x, y) möglich

11 Korrelationen in der Simulation Erinnerung: m = w + z Messwert = wahrer Wert + Zufallskomponente Wir betrachten nun mehrere (n) Messwerte m i : jede Messung hat - eine individuelle, zufällige Unsicherheit z i ( E[z i ]= 0 ) - sowie eine gemeinsame Unsicherheit z g ( E[z g ]= 0 ) m i = w + z i + z g ein gemeinsamer wahrer Wert und n+1 Zufallszahlen (eine allen Messungen gemeinsame sowie n individuelle) Beispiel zwei Messungen: z 1, z 2 und z g sind unabhängig Das Kovarianzmatrixelement ist das Quadrat der gemeinsamen Unsicherheit der Messungen!

12 Kovarianzmatrix von korrelierten Messungen Mehrere (n) Messwerte m i, jede Messung hat - eine individuelle, zufällige Unsicherheit z i - sowie eine gemeinsame Unsicherheit z g m i = w + z i + z g ein gemeinsamer wahrer Wert und n+1 Zufallszahlen (eine allen Messungen gemeinsame sowie n individuelle) Für n Messwerte m i erhält man die Kovarianz- Matrix, indem man die Varianz der gemeinsamen Unscherheit z g, (σ g )², in die Nebendiagonale setzt. Die Diagonalelemente sind die Varianzen der Gesamtunsicherheiten, (σ i )² + (σ g )². Die vollständige Kovarianzmatrix sieht so aus:

13 praktisches Beispiel: Konstruktion einer Kovarianzmatrix 6 Studenten in 3 Gruppen messen mit jeweils eigenem Messgerät vom gleichen Typ, von allen angewandte Theorie-Korrektur mit Unsicherheit, 6 Einzelergebnisse. Fehlerbeiträge: - Systematischer Fehler eines Messgeräts: Δ s (korreliert innerhalb einer Gruppe, d.h. Studierende 1-2, 3-4 und 5-6, unabhängig zwischen den Gruppen) - Theoriefehler: Δ t (korreliert für allen Messungen) - Unabhängiger Messfehler jedes einzelnen: Δ f1,, Δ f6 Jede Messung hat die Gesamtunsicherheit Konstruktionsprinzip: Quadrate der Gesamtunsicherheiten stehen in der Diagonalen gemeinsame Unsicherheiten werden zu den betreffenden Nebendiagonalelementen quadratisch addiert Anm:: unabhängige Unsicherheiten tauchen nur in der Diagonalen auf

14 Nachtrag: Fehlerfortpflanzung mit Kovarianzen Für nicht verschwindende Kovarianzen V ij = cov(x i, x j ) lautet das linearisierte Fehlerfortpflanzungsgesetz Spezialfälle:

15 Beispiel: Fehlerfortpflanzung mit Korrelation Beispiel: aber mit Korrelationskoeffizient ρ=1! Technische Anwendung: Differentielle Signalübertragung Der Trick: - gemeinsame Übertragung von Signal und invertiertem Signal - zufällige Störungen betreffen beide gleichermaßen - Differenzbildung beim Empfänger eliminiert Störungen Quelle d. Grafik: Wikipedia Also: Bitte nicht die Kovarianzen vergessen!

16 Multidimensionale Gaußverteilung 2d Gauß μ i =0, σ i =1, ρ=0.5 allg. Kovarianzmatrix mit Korrelationskoeffizienten ρ ij 2-dimensional Script: plot3dgauss.py

17 Kovarianz-Ellipse Kontur konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte ( Höhenlinie ) bei 2d-Gaußverteilung ist eine Ellipsengleichung x 2 σ 2 Kovarianz-Ellipse Winkel zwischen x-achse und Hauptachse der Ellipse hängt von ρ 12 ab: α=0 für ρ 12 =0 σ 2 Fläche innerhalb der 1-σ Ellipse entspricht ~39% Wahrscheinlichkeit σ 1 σ 1 x 1 gebräuchliche Darstellung bei Problemen mit vielen Variablen: Kovarianz-Ellipsen von Variablen-Paaren

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