Motivation. Jede Messung ist mit einem sogenannten Fehler behaftet, d.h. einer Messungenauigkeit

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1 Fehlerrechnung Inhalt: 1. Motivation 2. Was sind Messfehler, statistische und systematische 3. Verteilung statistischer Fehler 4. Fehlerfortpflanzung 5. Graphische Auswertung und lineare Regression 6. Erklärungen / weitere Beispiele

2 Motivation Jede Messung ist mit einem sogenannten Fehler behaftet, d.h. einer Messungenauigkeit Zwei Messungen derselben Größe werden nie auf beliebig viele Nachkommstellen übereinstimmen Die Reproduzierbarkeit von Messergebnissen ist nur überprüfbar, wenn der Fehlerbalken / die Toleranz bekannt ist

3 Beispiel der Spin eines Elektrons bewirkt ein magnetisches Moment klassische Erklärung: das Elektron dreht sich um sich selbst (= Spin), dies erzeugt einen Kreisstrom und damit ein magnetisches Moment das Kreisen des Elektrons bewirkt zusammen mit seiner Masse einen Drehimpuls Drehimpuls und magnetisches Moment stehen in fester Relation zueinander, die nur durch Naturkonstanten gegeben ist:

4 Einstein de-haas beide Größen sind zwar im festen Verhältnis, aber es ergibt sich noch ein dimensionsloser Vorfaktor g klassische Erklärung: g = 1 Einstein de-haas: gemessen g = 1.03 und g =1.45, publiziert g = 1.03 später gemessen: g 2 Dirac: relativistische quantenmechanische Beschreibung des Elektrons; einfachste Näherung: g = 2 (genau 2) Quanten-Elektrodynamik: g = (53) (NIST)

5 Fehler Abweichung einer Messung vom wahren Wert zu unterscheiden: systematische und statistische Fehler statistischer Fehler systematischer Fehler Messwerte Messgröße x wahrer Wert Messgröße x

6 Systematische Fehler Ursachen: instrumentelle Einflüsse z.b. ungenaue Justierung, falsche Kalibrierung, thermische Ausdehnung von Metallteilen, Parallaxenfehler persönliche Fehler z.b. Reaktionszeit beim Stoppen von Zeiten, schräges Ablesen von Skalen Versuchsinhärent z.b. unsymmetrische Wirkungen von Temperatur, Verschmutzung von Oberflächen Problem: auch nach beliebiger Wiederholung der Messung und Mittelung der Werte bleibt eine Abweichung!

7 Statistische Fehler Statistische Fehler: Zufallsfehler, Variation der Messwerte unvorhersagbar in Größe und Richtung Erwartungswert ist Null, d.h. bei Wiederholung der Messung und Mittelung der Werte strebt der Messwert asympotisch auf den wahren Wert. statistische Fehler können verringert werden, jedoch nie völlig eliminiert Bsp: Rauschen

8 Statistische Fehler Umgang mit statistischen Fehlern: wiederholte Bestimmung des Wertes bei konstanten Bedingungen arithmetischer Mittelwert identischer Messungen Fehlerrechnung: Abschätzung der Messunsicherheit

9 Verteilung statistischer Fehler statistische Fehler sind in der Regel gaußverteilt! kommen viele einzelne statistische Ungenauigkeiten zusammen, so ist der resultierende Fehler immer gaußverteilt (zentraler Grenzwertsatz)

10 Gauß- oder Normalverteilung

11 Gauß- oder Normalverteilung

12 Gauß- oder Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsvert. P(x) Messgröße x wahrer Wert (x 0 )

13 Gauß- oder Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsvert. P(x) Messgröße x wahrer Wert (x 0 ) Die Standardabweichung σ beschreibt die Breite der Normalverteilung.

14 Gauß- oder Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsvert. P(x) Messgröße x wahrer Wert (x 0 ) Die Standardabweichung σ beschreibt die Breite der Normalverteilung. Im Intervall x 0 -σ bis x 0 +σ sind 68% aller Messwerte

15 Gauß- oder Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsvert. P(x) Messgröße x wahrer Wert (x 0 ) Die Standardabweichung σ beschreibt die Breite der Normalverteilung. Im Intervall x 0-2σ bis x 0 +2σ sind 95% aller Messwerte

16 Gauß- oder Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsvert. P(x) Messgröße x wahrer Wert (x 0 ) Die Standardabweichung σ beschreibt die Breite der Normalverteilung. Im Intervall x 0-3σ bis x 0 +3σ sind 99.7% aller Messwerte

17 Praktisches Man benötigt wiederholte Messungen eines Messwertes, um den statistischen Fehler anzugeben Der Erwartungswert einer Messung ist der, gegen den der Mittelwert bei unendlicher Wiederholung konvergieren würde. Den Mittelwert einer endlichen Messreihe von Messwerten bezeichnet man auch als den Erwartungswert. x = 1 N N i= 1 x i Die Standardabweichung ergibt sich aus σ = 1 N N i= 1 x i x 2 Wir geben zunächst den mittleren absoluten Fehler an: x = 1 N N i= 1 x i x

18 Praktisches Als Ergebnis einer Messung schreibt man: x = x ± x 1 z.b.: x = ( 7.3± 0.7)m (der Fehler soll im Endergebnis nur einstellig angegeben werden!) relativer mittlerer Fehler: γ = x x Bsp: Einstein de Haas: gemessen g = 1.03 und g =1.45 korrekte Messwertangabe: g = 1.24 ± 0.3

19 Praktisches Ist die Messung eine diskrete Anzahl N von Ereignissen (z.b. radioaktive Zerfälle), so ist die Standardabweichung der Messung σ = N

20 Fehlerfortpflanzung Frage: Wie groß ist der Fehler z einer Größe z, die aus der Summe zweier Größen hervorgeht: z = x + y, wenn die Fehler x und y von x und y bekannt sind? Die Abweichungen in einer einzelnen Messung können sich sogar zum Teil ausgleichen! Die Quadrate der absoluten Fehler x 2 und y 2 addieren sich: z 2 = x 2 + y 2 bzw. z = 2 2 x + y

21 Fehlerfortpflanzung Funktion einer Variablen Frage: Wie groß ist der Fehler f einer Funktion f(x), wenn der Fehler x von x bekannt ist? Beispiel 1: Volumen V(r) einer Kugel mit Radius r V = 4 r 3 3 π m Allgemein gilt für Funktionen der Form f ( x) = α x : γ = f f = 1 α x m m α x m 1 x = m x x

22 Fehlerfortpflanzung Also: bei Funktionen einer Variablen wird mit relativen Fehlern gerechnet! Es gilt daher für die Kugel: V 4 V = r 3 π = 3 3 V r r Oder ganz allgemein: Steht die Variable r in der n-ten Potenz, so ist der relative Fehler der Potenz das n-fache des relativen Fehlers von r.

23 Fehlerfortpflanzung Beispiel 2: Welchen Weg legt ein Körper im freien Fall nach der Zeit t zurück? (g sei als Ortsfaktor fest vorgegeben) x 1 2 = gt ; γ t 2 = 9% γ x = x x = t 2 = 2 9% = 18% t

24 Fehlerfortpflanzung Aus den bisherigen Beziehungen kann man folgende Regeln ableiten: 1. Der absolute Fehler einer Summe oder Differenz von Größen ist die Wurzel aus der Quadratsumme der absoluten einzelnen Fehler z = 2 2 x + y 2. Der relative Fehler eines Produkts oder Quotienten von Größen ist die Summe der relativen einzelnen Fehler unter Berücksichtigung der jeweiligen Potenzen f ( x) = α x m γ = x m x

25 Graphische Darstellung 1. Lineare Gesetze x = x 0 + vt Bsp: Bewegung konstanter Geschwindigkeit t x Geradengleichung: v: Steigung x 0 : Achsenabschnitt

26 Graphische Fehlerermittlung 1. Lineare Gesetze x = x 0 + vt Messwerte mit Fehlerbalken mögliche Fehler bei a) Zeitmessung - Reaktionszeit - Ablesefehler - b) Wegmessung - Instrumentenfehler - Ablesefehler - äußere Einflüsse (Temperatur) - Abschätzung ergibt Fehler zu: t = 0.3 s x = 10 cm Geradengleichung: v: Steigung x 0 : Achsenabschnitt

27 Graphische Fehlerermittlung x x + vt = 0 1. Lineare Gesetze Prinzipiell gilt: Ausgleichsgerade herzhaft nach Augenmaß Extremalgeraden nach Augenmaß durch alle Fehlerbalken (größte und kleinste Steigung) 3 Steigungen asymmetrische Fehler möglich Ergebnis: v = ( )m/s

28 Graphische Fehlerermittlung x x + vt = 0 1. Lineare Gesetze Sonderfall: Wenn die Ausgleichsgerade eine Ursprungsgerade ist, gehen auch die Extremalgeraden durch den Ursprung t x

29 Graphische Fehlerermittlung 2. Nichtlineare Gesetze Bsp: Freier Fall y = a 2 t 2 Problem: Parabel kann schlecht abgeschätzt und ausgewertet werden

30 Graphische Fehlerermittlung 2. Nichtlineare Gesetze Bsp: Freier Fall y = a 2 t 2 Lösung: Zurückführung auf einen linearen Zusammenhang y = a 2 t 2 2 T: = t y = a 2 T

31 Graphische Fehlerermittlung 3. Logarithmische Gesetze y = y 0 bx e Bsp: Amplitude einer gedämpften Schwingung

32 Graphische Fehlerermittlung 3. Logarithmische Gesetze y = y 0 bx e Bsp: Amplitude einer gedämpften Schwingung Lösung: logarithmieren führt zu linearer Darstellung y bt ln y0 e ln y = ln = 0 ( y ) + bt

33 Graphische Fehlerermittlung 4. Potenzgesetze y = a n x Bsp: Wirkungsquerschnitt der Rayleigh-Streuung Lösung: logarithmieren führt zu linearer Darstellung y = a x n log log y = log a + n log x

34 Graphische Darstellung So sollen Ihre Diagramme NICHT ausschauen!

35 eine Reihe von Messungen kann auch rein mathematisch durch eine Ausgleichsgerade ausgewertet werde. Wie? Funktionsansatz einer Geraden Abweichungen aller Messwerte von dieser Geraden berechnen Abweichungen aufsummieren Minimum der Summe finden (Ableiten, Null setzen) funktioniert auch für andere Funktionen lineare Regression x = x 0 + vt