Umgang mit und Analyse von Messwerten

Transkript

1 In diesem ersten Praktikumsversuch erarbeiten Sie sich das Handwerkszeug, was zum erfolgreichen absolvieren des Physikpraktikums nötig ist. Im Fokus dieses Versuchs stehen die Themen: Signifikante Stellen Mittelwerte Streumaße Konsistenz von Messungen Fehlerfortpflanzung Darstellung von Messwerten Fitanalyse Vorbereitung: Ausnahmsweise bedarf es keiner schriftlichen Vorbereitung. Um jedoch von dem Praktikumsnachmittag zu diesem Versuch zu profitieren, sollten Sie folgende Vorbereitungen treffen: Installieren Sie bitte das Programm QTI-Plot (kostenlos über das Rechenzentrum). Laden Sie sich das Skript zur Analyse und Präsentation von Messwerten herunter. Relevante Links zu obengenannten Vorbereitungen lassen sich unter der Rubrik Arbeitshilfen und Vorlagen finden auf: Für die Bearbeitung der Aufgaben vor Ort ist kein Laptop nötig, aber hilfreich. QTI-Plot ist ein Programm zur Darstellung von Messwerten, welches wir im Praktikum empfehlen. Es ist nicht nur für diesen Versuch relevant, Sie werden nicht um dieses oder ein ähnliches Programm herumkommen. Gleiches gilt für das Skript zur Analyse und Präsentation von Messwerten. Es stellt die Antworten auf Fragen zum Umgang mit Messwerten im Praktikum bereit. 1 von 6

2 1 Darstellung von Messergebnissen Die Angabe einer physikalischen Größe besteht aus Maßzahl, Maßeinheit und der Messunsicherheit. Die Angabe wird stets unter Beachtung signifikanter Stellen gemacht (siehe hierzu 2). Ein Beispiel für eine korrekte Darstellung des Messergebnisses ist: ( 3,04 }{{} ± 0,03 }{{} ) }{{} m Maßzahl Messunsicherheit Maßeinheit 2 Signifikante Stellen Signifikante Stellen sind die angegebenen Ziffern ohne führende Nullen. Durch korrekte Angabe der signifikanten Stellen geben Sie ein Statement über die Genauigkeit ihrer Messung ab. Je mehr signifikante Stellen, desto Genauer ist der Wert (vgl. [1, S.8]). Nachstehend wurden Messergebnisse dokumentiert. Korrigieren Sie diese falls möglich unter Beachtung signifikanter Stellen: (A1) (9,76 ± 0,04839)m/s 2 (A2) (5, ± 0,001)m (A3) (1,23 ± 0,18)s (A4) (1,23 ± 0,34)s (A5) (0, ± 0, )mm (A6) (8,599 ± 0,01)V 3 Gauß sche Fehlerfortpflanzung Mit der Gauß schen Fehlerfortpflanzung lässt sich eine Aussage über die Unsicherheit einer Größe Z machen, die von den Größen X und Y abhängt. Es bezeichnen u(x) und u(y ) die jeweiligen Unsicherheiten der Größen. u(z) = ( ) 2 ( ) 2 Z Z X u(x) + Y u(y ) (1) Spezialfälle Ist die Größe multiplikativ Zusammengesetzt, also Z = c X a Y b, dann gilt: u(z) Z = a 2 ( ) 2 u(x) + b X 2 ( ) 2 u(y ) (2) Y Ist die Größe additiv Zusammengesetzt, also Z = a X + b Y, dann gilt: u(z) = (a u(x)) 2 + (b u(y )) 2 (3) Am Beispiel Dichte eines Zylinders finden Sie die eine Berechnung der Fehlerfortpflanzung in [1, S.15]. (A7) Leiten Sie die Spezialfälle (2) und (3) her. Setzen Sie hierfür jeweils Z in (1) ein. Führen Sie die Fehlerfortpflanzungen für nachstehende Ergebnisse aus: (A8) E kin = 1 2 mv2 m = (101,4 ± 0,3)g v = (1,5 ± 0,5)m/s (A9) s = s s 2 s 1 = (30,00 ± 0,03)cm s 2 = (7,50 ± 0,03)cm (A10) k = 4π2 T 2 m m = (70,0 ± 1,2)g T = (0,880 ± 0,015)s 2 von 6

3 4 Anforderungen an die Darstellung von Messwerten Befolgen Sie die Fünf Grundregeln für die Darstellung in [1, S.5]. Regressionen machen Sie am besten mit einer Datenanalysesoftware wie QTI-Plot. Einführungsvideos zur empfohlenen Software QTI-Plot können unter doku.php?id=qti_faq:qti_faq angesehen werden. 5 Messunsicherheiten in der Praxis: Das Federpendel Im folgenden bekommen Sie von uns Messungen zur Verfügung gestellt, die in unserem Praktikum aufgenommen wurden. Auf der Grundlage dieser Messungen sollen Sie eine erste Auswertung schreiben. Federdehnung Eine Federdehnung folgt dem Hooke schen Gesetz, wenn die Rückstellkraft F R proportional zur Auslenkung y ist: F R = ky. (4) Am Beispiel von zwei Federn überprüfen Sie nun, ob dieses Gesetz erfüllt ist. In der Tabelle Federdehnung haben wir die Messung dokumentiert. Wägestücke unterschiedlicher Masse m wurden angehängt und die Auslenkung y gemessen. Wir betrachten also den Fall des Kräftegleichgewichts der Rückstellkraft F R aus (4) und der Gewichtskraft F G = m g, mit g = 9,81m/s 2 (Erdbeschleunigung). F G = F R m g = k y (5) Abbildung 1: Versuchsaufbau: Überprüfung des Hooke schen Gesetz Ihre Aufgabe ist es die Messung sorgfältig auszuwerten. (A11) Tragen Sie die Auslenkung y gegen M = m + m A auf, dabei ist m A die Masse der Halterung (y Hochachse,M Rechtsachse). (A12) Führen Sie eine Regression (Fit) der aufgetragenen Messwerte durch. (A13) Ist das lineare Kraftgesetz (4) erfüllt? Argumentieren Sie quantitativ. (A14) Berechnen Sie mit Hilfe von (5) und (A12) die Federkonstante k für beide Federn. (A15) Schätzen Sie die Unsicherheit u(k) ab. Nehmen Sie hierfür die relative Unsicherheit u(m) m 3% und die absolute Unsicherheit u(y) 0,3mm an. Gehen Sie analog zum Abschnitt 3 vor und machen Sie sich das Leben mit den dort beschriebenen Spezialfällen leicht. 3 von 6

4 Federschwingung Wir beschäftigen uns immer noch mit den Federn aus vorherigen Abschnitt. In diesem Versuch sollen die Federkonstanten mittels einer anderen Methodik bestimmt werden. Abschließend soll ein Methodenvergleich erfolgen. Wird die Masse m, anfangs in Ruhe, aus dieser Ruhelage verschoben (Abb.2 Mitte) und dann losgelassen, fällt sie über den Ruhepunkt hinaus, dehnt dabei die Feder weiter, bis sie wieder zurückgezogen wird, sich über die Ruhelage zum oberen Wendepunkt bewegt und wieder herunter fällt usw.: Die Masse an der Feder schwingt auf und ab. Die Frequenz f dieser Schwingung wird von der Gesamtasse M und der Federkonstanten k bestimmt: Je kleiner M, und je härter die Feder (=je größer also k) desto größer ist f. In sehr guter Näherung gilt: Abbildung 2: Ruhelage und Umkehrpunkte beim Federpendel Mit T = 1 f f = 1 k 2π M. ergibt sich die Periodendauer M T = 2π k. (6) Bei der Schwingung müssen Sie die Gesamtmasse M = m + m A m F des Feder-Masse-Systems betrachten. m F ist hierbei die Federmasse. In der Tabelle Federschwingung haben wir die Messung dokumentiert. Wägestücke unterschiedlicher Masse m wurden angehängt und die Dauer von 20 Perioden T 20 wurde mit einer Stoppuhr gemessen. (A16) Geben Sie eine anschauliche Begründung dafür, dass nicht die ganze Federmasse m F zur Gesamtmasse M addiert wird, sondern nur 1 3 m F. (A17) Berechnen Sie aus T 20 die jeweiligen Periodendauern T. Warum wurde hier T 20 gemessen und nicht T direkt. (A18) Zeigen Sie mit Gleichung (6) T 2 = 4π2 k M + 4π2 k ( m A + 1 ) 3 m F. (7) (A19) Als Funktionsgleichung interpretiert, beschreibt Gleichung (7) eine Gerade (y = mx + b). Identifizieren Sie die Steigung m und den y-achsenabschnitt b. (A20) Um die Gültigkeit von Gleichung (6) zu prüfen und k zu bestimmen, tragen Sie T 2 gegen M auf und führen Sie abermals eine lineare Regression (Fit) durch. (A21) Bestimmen Sie mit Hilfe von (7) und ihrem Ergebnis aus (A20). k und m F für beide Federn. (A22) Geben Sie die Unsicherheit u(k) an. Nehmen Sie hierfür u(t 20 ) = 0,3s und u(m) m 3% an. (A23) Vergleichen Sie die beiden Methoden. Welche ist genauer? Sind beide Methoden konsistent? 4 von 6

5 6 Häufigkeitsverteilungen in der Praxis: Aktivitätsmessung bei 137 Cs In diesem Abschnitt soll der Umgang mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen erarbeitet werden. Diese spielen bei der physikalischen Messung eine ausgezeichnete Rolle. Mit Wahrscheinlichkeiten werden Größen beschrieben, denen ein Zufallsprozess zugrunde liegt. Dies sind im Praktikum vor allem Messunsicherheiten, thermodynamische Prozesse und die Untersuchung ionisierender Strahlung. Um letztere wird es in diesem Abschnitt gehen. In der Tabelle Häufigkeitsverteilung wurde das Ergebnis einer Aktivitätsmessung am 137 Cs dargestellt. Während der Messzeit von 10 s wurden die Impulse Abbildung 3: Impulshäufigkeiten bei einer 10 s Aktivitätsmessung am 137 Cs eines Geiger-Müller-Zählers registriert. Die Impulsanzahl wurde notiert. Die Messung wurde mehrfach wiederholt. Die Tabelle stellt also die absoluten Häufigkeiten der Impulszahlen bei N-Facher Versuchsdurchführung dar. Zum Beispiel: Bei 12 Messungen wurde eine Impulsanzahl von 3 innerhalb einer Messzeit von 10 s registriert. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die mathematische Antwort auf die Frage, wie Wahrscheinlich ist es, dass eine Zufallsvariable X den Wert x annimmt. Wir schreiben P(X = x). Für konkrete Beispiele vergleichen Sie bitte [1, S. 24ff.]. Aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes können Sie zurecht bei den meisten Betrachtungen im Praktikum von einer Normalverteilung ausgehen und P µ,σ (X = x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 (8) annehmen. Dabei ist µ der Mittelwert (theoretisch eigentlich der Erwartungswert) und σ die Standardabweichung. Im Falle der Radioaktivität geht es um die Eintreffwahrscheinlichkeit von γ-photonen. Hier sollte die Poissonverteilung gelten: P µ (X = x) = µx x! e µ (9) Die Poissonverteilung hängt lediglich von µ, dem theoretischen Erwartungswert der Verteilung, ab. Für die Standardabweichung σ der Zufallsvariable X gilt:σ = µ. Im folgenden ist es Ihre Aufgabe zu zeigen, dass die aufgenommenen Impulsanzahlen besser durch eine Poissonverteilung als durch eine Normalverteilung beschrieben werden. Gehen Sie wie folgt vor: (A24) Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten. Diese nähern sich bei häufiger Durchführung P(X = x) an (Gesetz der großen Zahlen). (A25) Berechnen Sie das arithmetische Mittel x der Messreihe als Schätzer für den Erwartungswert µ: X = N X i. i=1 5 von 6

6 (A26) Berechnen Sie die empirische Standardabweichung σ(x) der Messreihe als Schätzer für die Standardabweichung σ: σ(x) = 1 N (X i X ) N 1 2. (A27) Stellen Sie relative Häufigkeiten und die theoretischen Verteilungen der Poissonverteilung (9) und der Normalverteilung (8) in einem Diagramm dar. Eine praktische Rechenhilfe zur Standardabweichung finden Sie in [1, S.11]. Diese ist schneller und weniger fehleranfällig. i=1 Literatur [1] Scholz, R.(2014): Analyse und Präsentation von Messdaten Leibniz Universität Hannover, de/fileadmin/praktische-physik/ap/ Material/Crash_Messunsicherheit.pdf 6 von 6