Federpendel und Oberflächenspannung

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1 Ausarbeitung zum Versuch: Federpendel und Oberflächenspannung Versuch 18 des physikalischen Grundpraktikums Kurs I, Teil I an der Universität Würzburg Wintersemester 004/05 Autor: Moritz Lenz Praktikumspartner: Tobias Damm, Christopher Dawid Betreuer: Benjamin Riegel Versuch durchgeführt am: 09. November 004

2 Moritz Lenz Ausarbeitung zu Versuch 18 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Thema des Versuchs 3 Grundlagen und Methoden Federpendel Statische Methode Dynamische Methode Oberflächenspannung Minimalflächen Versuchsdurchführung Federpendel Statische Methode Dynamische Methode Oberflächenspannung Fehlerbetrachtung und Auswertung Federpendel Statische Methode Dynamische Methode Methodenvergleich Oberflächenspannung Einleitung Im Rahmen des Studiums der Physik absolviert jeder Student der Universität Würzburg im Grundstudium das physikalische Grundpraktikum. In diesem Rahmen werden eine Reihe von Versuchen durchgeführt und dokumentiert. Pro Kurs (also jedes zweite Semester) wird zu einem dieser Versuche eine ausführlichere Ausarbeitung geschrieben. Das vorliegende Dokument ist eine solche Ausarbeitung. Thema des Versuchs Der Versuch gliedert sich in zwei voneinander unabhängige Teilversuche. Das Thema des ersten Versuchsteils ist die Bestimmung der Federkonstanten nach zwei Methoden (statisch und dynamisch). Im zweiten Versuchsteil wurden die Oberflächenspannung verschiedener Flüssigkeiten sowie von Wasser bei unterschiedlichen Temperaturen gemessen.

3 Moritz Lenz 3 Ausarbeitung zu Versuch 18 3 Grundlagen und Methoden 3.1 Federpendel Wird eine idealisierte, entspannte Feder an einem Ende festgehalten und am anderen Ende um den Weg x bewegt, so übt die Feder eine Kraft aus, die proportional zu x ist und in die Gegenrichtung wirkt (Hooksches Gesetz). Die Proportionalitätskonstante D wird Federkonstante oder Federhärte genannt: Sie hat die Einheit [D] = [F] [x] = N m F F = Dx (1) Statische Methode Eine Feder wird an einem Ende aufgehängt, am anderen, frei schwebenden Ende ist eine Halterung befestigt. Wird an auf diese Halterung eine Masse m gebracht, so wird durch die Gewichtskraft der Masse die Feder weiter ausgelenkt bis sich die Feder wieder im Gleichgewicht befindet. Hier gilt: F F = F g mg = D x, wobei x die Höhendifferenz der Ruhelagen bezeichnet. Misst man nun für mehrere m i die Auslenkung x i so läßt sich die Federhärte aus der Steigung der Geraden x(m) bestimmten: D = g m m 1 x x 1 () Für die Erdbeschleunigung g wird der normierte Literaturwert ms eingesetzt Dynamische Methode Wird eine Feder ausgelenkt ohne sie ins Gleichgewicht zu bringen so fängt sie an zu schwingen. Aus der Kraft auf eine Masse am Ende der Feder läßt sich eine Differentialgleichung für diese Schwingung herleiten: F = Dx; F = ma für m = const. (3) mẍ + Dx = 0 (4) Sie beschreibt eine harmonische Schwingung und kann mittels d Alembert-Ansatz leicht gelöst werden: x(t) = Acos(ωt + ϕ) (5) 1 W. Walcher: Praktikum der Physik, Stuttgart 1994

4 Moritz Lenz 4 Ausarbeitung zu Versuch 18 Wobei A für die Amplitude, ω = steht. D m für die Kreisfrequenz und ϕ für die Anfangsphase Die hier gewählten Anfangsbedingungen x(t = 0) = A und ẋ(t = 0) = 0 sorgen dafür dass ϕ = 0 wird. Zu beachten ist dass sich die Masse m aus der Masse der Halterung m H, der angehängten Masse m z und der Federmasse m eff = 1 3 m F zusammensetzt. Interessant an dieser Lösung ist, dass die Frequenz und damit auch die Periodendauer nur von D und m abhängt, nicht jedoch von der Auslenkung. Bei bekanntem m kann deshalb über die Messung der Periodendauer die Federhärte bestimmt werden: ( ) π D = mω = m (6) T Das Quadrat der Periodendauer ist eine lineare Funktion in m z mit der Steigung 4π D und dem x-achsenabschnitt ( m H + m F 3 ) 3. Oberflächenspannung Die Moleküle einer Flüßigkeit üben aufeinander Anziehnungskräfte aus, die Kohäsionskräfte genannt werden. In Wasser sind dies Wasserstoffbrückenbindungen, außerdem können Dipol-Dipol- und Van-der-Waalskräft auftreten. Je mehr Moleküle sich in der Nähe eines bestimmten Moleküls befinden, desto niedriger ist also die potentielle Energie dieses Moleküls. Moleküle, die sich an der Grenzfläche eine Flüßigkeit zu einem anderen Medium befinden, haben deshalb eine höhere potentielle Energie. Vergrößert man die Oberfläche einer Flüßigkeit nun um A, so muß Arbeit W zugeführt werden. Da A zu der Anzahl der Moleküle, die aus dem Inneren der Flüßigkeit an die Grenzschicht bewegt werden, proportional ist, ist die Flächenänderung auch zur verrichteten Arbeit W proportional. Die Proportionalitätskonstante σ = W (7) A wird Oberflächenenergiedichte oder Oberflächenspannung genannt. Sie hat die Einheit [σ] = [W] [A] = J = N m m Um die Oberflächenspannung einer Flüßigkeit zu bestimmen wird ein runder Metallring mit scharfer Kante an einer Federwaage befestigt und in die Flüßigkeit eingetaucht. Die 1 3 mf da die Masse der Feder nicht an ihrem Ende sitzt sondern homogen über die Feder verteilt ist. Der Faktor 1 ergibt sich aus der Integration über die gesamte Feder. 3

5 Moritz Lenz 5 Ausarbeitung zu Versuch 18 Abbildung 1: Versuchsaufbau zur Messung der Oberflächenspannung Flüßigkeit wird dann abgesenkt (sie steht auf einer Hebebühne) und die Anzeige der Federwaage beobachtet. Beim Absenken der Flüßigkeit bildet sich eine Lamelle zwischen der Wasseroberfläche und dem Ring. Die Anzeige der Federwaage kurz vorm reißen der Lamelle wird notiert. Daraus läßt sich die Oberflächenspannung berechnen: σ = Fs 4πrs = F 4πr wobei s für die Höhe der Lamelle, r für den Radius des Ringes und F für die Kraft auf die Federwaage steht. A = 4πrs da die Lamelle einen Zylinder mit Radius r und Höhe s bildet, der auf der Innen- und Außenseite jeweils (näherunsweise) die Fläche πrs hat. (8) 3.3 Minimalflächen Dieser Teil des Versuches wurde nur vom Betreuer vorgeführt und kaum theoretisch behandelt. Taucht man Drahtgestelle in eine Seifenlauge so bilden sich in den Zwischenräumen dünne Seifenfilme. Diese Seifenfilme verformen sich so, dass ihre Energie minimal wird. Da E = Aσ gilt und die Oberflächenspannung σ konstant ist wird auch die Fläche minimal. Dies kann zu schwer voraussehbaren Formen führen. Eine theoretische Behandlung setzt Kenntnisse der Variationsrechnung (oder zumindest des lösens partieller, elliptischer Differenzialgleichungen) voraus, sprengt also diesen Rahmen.

6 Moritz Lenz 6 Ausarbeitung zu Versuch 18 4 Versuchsdurchführung 4.1 Federpendel Statische Methode Aufgelegte Masse m/g Auslenkung x/cm 0 37, Die Massenstücke variieren von 50.1g bis 50.6g. Die Masse der Halterung ist m H = 55g Die Werte liegen sehr gut auf einer Gerade. Zur Bestimmung ihrer Steigung werden zwei Punkte abgelesen: m/g x/cm Daraus ergibt sich D = 10.4 N m Dynamische Methode Feder: m F = 48g, Halterung: m H = 55g. Die Zeit wurde (auf Anweisung des Betreuers) für 0 Perioden gemessen. Aufgelegte Masse m/g Zeit für 0 Perioden T/s

7 Moritz Lenz 7 Ausarbeitung zu Versuch 18 Nun wird T über m grafisch aufgetragen und aus der ausgleichenden Geraden die Steigung ermittelt. Die abgelesenen Werte sind ( 0g; 0.00s ) und (300g; 1.s ). Daraus ergibt sich D = 10.4 N m 4. Oberflächenspannung Die Kraft kurz vor dem Reißen der Lamelle wurde pro Flüßigkeit und Temperatur fünf mal gemessen. Wasser, rein: T/ C F Riss Wasser, mit NaCl gesättigt (Zimmertemperatur): F Riss Ethanol, rein (Zimmertemperatur) F Riss Fehlerbetrachtung und Auswertung Zum Zeitpunkt der Versuchsdurchführung waren mir die korrekten Fehlerfortpflanzungsgesetze noch nicht bekannt weshalb die Fehler im Messprotokoll nur über die Minimax- Methode berechnet wurden. Hier erfolgt nun eine hoffentlich korrekte Fehlerrechnung.

8 Moritz Lenz 8 Ausarbeitung zu Versuch Federpendel Statische Methode D = g m m 1 x x 1 (9) g wird als Fehlerfrei angenommen, ebenso m 1 und m. Das ist zwar nicht korrekt, wird aber als Vereinfachung akzeptiert. x 1 und x wurden auf 1mm abgelesen. Es gilt also σ x1 = σ x. ( ) D ( ) D σ D = σx x 1 + σx 1 x (10) D = g m m 1 x 1 (x x 1 ) = D (11) x σ D = g(m m 1 ) σx1 (x x 1 ) = 0.06N (1) m D = ( ± 0.06) N m, σ D = 0.60% (13) D Eine Fehlerabschätzug der Geradensteigung über größte bzw. kleinste Steigung ist wenig sinnvoll, da die Punkte so nach an der ausgleichenden Geraden liegen, dass es meine zeichnerischen Fähigkeiten überfordern würde. Daher habe ich hier den Weg über die Ablesefehler der Geradensteigung gewählt. Weil die m-werte für das Steigunsdreick für runde m gewählt wurde kann die Abszisse kann nahezu Fehlerfrei abgelesen werden Dynamische Methode D = 4π m T T 1 ( D σ D = (T1 ) ) σ T 1 σ T 1 = σt und D ( ) D + (T ) σ T mit (T1 ) = D (T ) σt σ D = 4π 1 m (T T 1 )

9 Moritz Lenz 9 Ausarbeitung zu Versuch 18 Für die Fehler der Steigung m T gilt das gleiche wie in Abschnitt für die Steigung m x. Die Ablesefehler betragen σ T 1 = 0.01s. Daraus ergibt sich D = (10.36 ± 0.38) N m. Der relative Fehler von D beträgt 3.6% Methodenvergleich Bei der dynamischen Methode ist die Messung der Zeit T für n Perioden ist sowohl beim Start der Messung als auch am Ende Fehlerbehaftet. Der Fehler dieser Einzelmessungen wird als σ t1 = σ t = 0.s, die Masse als fehlerfrei angenommen. T = t 1 t σ T = n σ t 1 ( π D = mω = m T σ D = σ T = D T n Für T = 1s ergibt sich σ D D = 0.57 n. Um mit einer einzelnen Messung nach der dynamischen Methode auf eine Genauigkeit von 1% zu kommen wie dies mit einer statischen Messung möglich ist müssen also mindestens n = 57 Perioden gemessen werden. Das macht die dynamische Messung recht zeitaufwändig. ) σ T T 5. Oberflächenspannung Da für jede Messkonstellation eine Meßreihe mit fünf Einzelmessungen durchgeführt wurde bietet sich die Fehlerbestimmung des Standardfehlers über die Varianz an. Medium T/ C Bestwert σ/ N m Standardfehler σ σ/ N m Rel. Fehler/% Wasser Wasser Wasser Wasser Wasser, NaCl Ethanol Die gemessenen Werte für die Oberflächenspannung reinen Wassers lassen im gewählten Temperaturbereich (3 bis 4 ) keine Aussage auf eine Temperaturabhängigkeit der

10 Moritz Lenz 10 Ausarbeitung zu Versuch 18 Oberflächenspannung schliessen, jedenfalls ist kein einfacher monotoner Zusammenhang ersichtlich. Prinzipiell ist aber anzunehmen dass bei deutlich höheren Temperaturen die Oberflächenspannung abnimmt, da die mittleren Abstände der Moleküle und damit auch die anziehenden Kräfte abnehmen. Die deutlich niedriger Oberflächenspannung des Ethanols ist auf die Intramolekularen Wechselwirkungen zurückzuführen: Wassermoleküle können deutlich mehr H-Brücken- Bindungen untereinander ausbilden als Ethanolmoleküle (was im übrigen auch zu unterschiedlichen Siedepunkten führt). Das mit Salz gesättigte Wasser zeigt im Vergleich zum reinen Wasser nur eine geringfügig höhere Oberflächenspannung da die Ionen die Intramolekularen Wechselwirkungen des Wassers kaum beeinflussen.