PP Physikalisches Pendel

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1 PP Physikalisches Pendel Blockpraktikum Frühjahr 2007 (Gruppe 2) 25. April 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Theoretische Grundlagen Ungedämpftes physikalisches Pendel Dämpfung und Kleinwinkelnäherung Lösung mit Kleinwinkelnäherung Bestimmung von g Versuchsdurchführung 5 4 Messergebnisse und Auswertung Bestimmung der Periodendauer Kleinwinkelnäherung Abhängigkeit der Frequenz von der Masse Abhängigkeit der Frequenz von der Länge Abhängigkeit der Frequenz von der Dämpfung Berechnung von g

2 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN PP 2 1 Einführung In diesem Versuch wird das physikalische Pendel untersucht. Insbesondere wird die Abhängigkeit der Kreisfrequenz der Pendelschwingung von Fadenlänge und Masse des Schwingkörpers überprüft. Zudem wird die Kleinwinkelnäherung experimentell begutachtet. 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Ungedämpftes physikalisches Pendel Unter einem physikalischen Pendel versteht man einen starren Körper, der im Gravitationsfeld der Erde um eine horizontale Achse drehbar ist. Die Drehachse sei die z-achse, vgl. Abb. 1. Da das Potential für Abbildung 1: Physikalisches Pendel (siehe Nolting I, Seite 245). jeden Massenpunkt m i des starren Körpers V i = m i g x i beträgt, erhält man für das Gesamtpotential V = i V i = g i m i x i = MgR x = MgR cos ϕ, wenn R Abstand des Schwerpunkts von der Drehachse, R x die x- Koordinate des Schwerpunkts und M die Gesamtmasse des starren Körpers sind. Mit dem Trägheitsmoment Θ des starren Körpers erhält ergibt die Energieerhaltung E = 1 2 Θ ϕ2 MgR cos ϕ = const. Θ ϕ ϕ + MgR ϕ sin ϕ = 0 Θ ϕ + MgR sin ϕ = 0, (1)

3 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN PP 3 wobei man die mittlere Gleichung durch Ableiten der oberen Gleichung erhält. Gleichung (1) ist eine nichtlineare DGL 2. Ordnung und kann näherungsweise durch Verwendung elliptischer Integrale gelöst werden. Man erhält die DGL auch, indem man die Kräfte betrachtet, die auf den Körper wirken. 2.2 Dämpfung und Kleinwinkelnäherung In der Praxis erfährt ein physikalisches Pendel in der Regel eine Dämpfung, d.h. eine bremsende Kraft, die direkt proportional zur Winkelgeschwindigkeit ist: F D = Γ ϕ, Γ Konstante. Die DGL (1) wird somit zu Θ ϕ + Γ ϕ + MgR sin ϕ = 0 ϕ + Γ MgR ϕ + sin ϕ = 0. (2) Θ Θ Approximiert man sinϕ ϕ (Kleinwinkelnäherung), so erhält man ϕ + 2γ ϕ + ω0 2 ϕ = 0 mit γ = Γ MgR 2Θ, ω 0 = Θ. (3) γ ist dabei die Dämpfungskonstante und ω 0 die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems. 2.3 Lösung mit Kleinwinkelnäherung Man kann die lineare DGL zweiter Ordnung (3) durch den Ansatz ϕ(t) = e kt lösen. Einsetzen des Ansatzes in die DGL liefert k 2 + 2γk + ω0 2 = 0 k 1,2 = γ ± γ 2 ω0 2. Wenn die Wurzel 0 ist (γ 2 = ω0), 2 erhält man den aperiodischen Grenzfall. Für γ > ω 0 ist die Wurzel reell und man erhält den sog. Kriechfall. In beiden Fällen findet keine Schwingung statt, da die Dämpfung zu groß ist. Für γ < ω 0 ist die Wurzel jedoch rein imaginar, so dass man mit ω D = ω0 2 γ2 k 1,2 = γ ± iω D eine Schwingung der Form ϕ(t) = e γt ( a 1 e iω Dt + a 2 e iω Dt ) erhält. Die Einhüllende der Schwingung ist also eine zeitlich abfallende Exponentialfunktion (siehe Abb. 2) und die Frequenz ω D des

4 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN PP Winkel phi Zeit t Abbildung 2: Lösung des gedämpften Pendels ohne Antrieb. gedämpften Systems ist kleiner als die Frequenz ω 0 des ungedämpften Systems. Mit anderen Parametern lässt sich die Lösung auch durch ϕ(t) = ϕ 0 e γt cos(ω D t + δ) (4) beschreiben. Die Kreisfrequenz ω D lässt sich durch Messung der Periodendauer T = 2π/ω D ermitteln. Den Dämpfungsfaktor kann man durch das Verhältnis q zweier aufeinanderfolgender Maxima ϕ(t 1 ) und ϕ(t 1 +T) ermitteln, denn aus cos t 1 = cos(t 1 + T) = 1 folgt q = ϕ(t 1) ϕ(t 1 + T) = e γt1 e γ(t 1+T) = eγt γ = ln q T, wobei man ln q logarithmisches Dekrement nennt. Die Eigenfrequenz ω 0 des ungedämpften Systems kann man nun leicht berechnen ω 0 = ωd 2 + γ2. (5) 2.4 Bestimmung von g Aus (3) erhält man für die messbare Kreisfrequenz ω D MgR ω D = ω0 2 γ2 = Θ Γ2 4Θ2. (6)

5 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG PP 5 Wenn mann Θ und Γ nicht kennt, aber die Erdbeschleunigung g berechnen möchte, muss man die Näherung eines mathematischen Pendels verwenden bei dem eine Masse m = M an einem masselosen Faden der Länge l = R hängt, so dass Θ = ml 2. Mit dieser Näherung erhält man für ω 0 mgl g ω0 = ml 2 = l. (7) Bestimmt man ω 0 mit Gleichung (5), so kann man g durch berechnen. 3 Versuchsdurchführung g = l ω 2 0 = l ( ω 2 D + γ 2) (8) Das Pendel besteht aus einem Stab variabler Länge, an dem eine Masse angebracht werden kann. Der Stab ist mit einer Aluminiumscheibe verbunden, deren Position von einem Computer gemessen und zur späteren Auswertung gespeichert wird. In der Nähe der Scheibe können Magneten zur Dämpfung des System befestigt werden. Die Position der Scheibe wird in Abhängigkeit von der Zeit vom Computer aufgezeichnet. Zunächst werden unterschiedliche Anfangsauslenkungen bei konstanter Stablänge und konstanter Masse ausprobiert, um die Kleinwinkelnäherung zu testen. Danach werden unterschiedliche Massen und unterschiedliche Stablängen eingestellt, um die Abhängigkeit der Kreisfrequenz ω D von diesen Größen zu bestimmen. Zuletzt wird die Dämpfung γ variiert. 4 Messergebnisse und Auswertung 4.1 Bestimmung der Periodendauer Die Bestimmung der Periodendauer T aus den vom Computer aufgezeichneten Auslenkung-Zeit-Tabellen kann durch verschiedene Methoden erfolgen, z.b. durch manuelle Bestimmung der Periodendauer von Hand direkt im Output (Zeitabstand von Nullstellen bzw. Maxima oder Minima bestimmen) oder durch eine Fourier-Analyse der gemessenen ϕ(t)-funktion, die einen Peak bei der Frequenz der Funktion ergibt. Da die Messung von Hand nur einen sehr kleinen Teil der Daten berücksichtigt, entschieden wir uns für die Bestimmung der Frequenz durch die Fourier-Analyse.

6 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG PP 6 0,98 0,97 f in Hz 0,96 0,95 ( ) 0,94 0,93 0, Winkel in Abbildung 3: Abhängigkeit der Frequenz f = ω D /(2π) von der Anfangsauslenkung ϕ Kleinwinkelnäherung Im idealisierten Fall des mathematischen Pendels (d.h. Scheibe und Stab haben kein Trägheitsmoment) und ohne Beachtung der Dämpfung sollte für die Frequenz für l = 0, 213m und m = 21, 5g gelten: f = ω D 2π = 1 mgl 2π ml 2 = 1 g 2π l = 1,08. In Abb. 3 sind ist die Abhängigkeit der Frequenz f von der Anfangsauslenkung ϕ 0 gezeigt. Man erkennt immerhin, dass sich für kleine ϕ 0 der gemessene Wert dem theoretischen Wert annähert. Allerdings beträgt der Fehler des experimentellen Werts selbst bei ϕ 0 = 7,5 noch knapp 10%. Dies erklären wir uns dadurch, dass die Dämpfung viel zu groß war, als dass man sie bei dem theoretischen Wert vernachlässigen könnte (z.b. war bei ϕ = 7,5 nach bereits 15s die Schwingung zu Ende, bei ϕ 0 = 100 dauerte die Schwingung ca. 100s). Da eine Dämpfung die Frequenz verkleinert, ist der theoretische Wert eigentlich kleiner als 1,08. Betrachtet man die Funktion g(α) = α sin α sin α,

7 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG PP 7 so erkennt man, dass die Kleinwinkelnäherung je nach gewünschtem Genauigkeitsniveau bei etwa 31 (5%), 21 (2,5%) bzw. 13 (1%) liegen (siehe Abb. 4) g(alpha) alpha Abbildung 4: Zur Kleinwinkelnäherung: g(α) = (α sin α)/ sin α. 4.3 Abhängigkeit der Frequenz von der Masse Die Abhängigkeit der Frequenz f von der Masse m ist in Abb. 5 gezeigt. HIer sieht man das es sich um einem physikalischen Pendel handelt, da für kleiner Massen die Frequenz kleiner wird. Auch sieht man das die Frequenz bei goßen Massen weniger schnell steigt. Das erklärt sich ganz einfach dadurch, dass man sich bei großem Massen des mathematischen Pendel -bei dem f nicht von m abhänigig istnähert, da nun das Trägheitsmoment im Verhältnis zur Pendelnden Masse unbedeutend wird. (sehr schön für l=21,3cm sichtbar). 4.4 Abhängigkeit der Frequenz von der Länge Die Abhängigkeit der Frequenz f von der Länge l ist in Abb. 6 gezeigt. Man erkennt die Abhängigkeit der Frequenz von der Länge des Pendels.(theoretisch 1/l 2 )

8 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG PP 8 1,15 l=12,3mm l=21,3mm 1,10 l=24,3mm 1,05 1,00 f in Hz 0,95 0,90 0,85 0,80 0, m in g Abbildung 5: Abhängigkeit der Frequenz f = ω D /(2π) von der Masse m. 1,15 m=7,5g m=43,7g 1,10 1,05 f in Hz 1,00 0,95 0, l in mm Abbildung 6: Abhängigkeit der Frequenz f = ω D /(2π) von der Länge l.

9 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG PP 9 6,0 5,8 Kreisfrequenz in Hz 5,6 5,4 5,2 5,0 4,8 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Dämpfung gamma in Hz Abbildung 7: Abhängigkeit der Kreisfrequenz ω D von der Dämpfung γ. 4.5 Abhängigkeit der Frequenz von der Dämpfung Die Abhängigkeit der Frequenz f von der Dämpfung γ ist in Abb. 7 gezeigt. γ wurde jeweils durch das logarithmische Dekrement (siehe oben) bestimmt. Man erkennt nur undeutlich die Abhängigkeit der Frequenz von der Dämpfung, vermutlich weil die Dämpfung in 2 der 3 Messungen zu schwach ausgefallen ist. 4.6 Berechnung von g Die Erdbeschleunigung lässt sich nach Gleichung (8) berechnen. Wir erhalten aus den Messwerten für unterschiedliche Dämpfungen bei konstanter Länge l = 23cm und konstanter Masse m = 21, 5g ω D (Hz) γ (Hz) g (m/s 2 ) 5,8289 0, ,8203 5,8289 0, ,8269 5,8289 0, ,8688 4,9091 0, ,7139

10 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG PP 10 Der Mittelwert ist demnach etwa g = 7,31m/s 2. Die Näherung durch ein mathematisches scheint also einen deutlichen Fehler zur Folge zu haben. Eine größere Masse m und eine größere Länge l würden das Ergebnis vermutlich verbessern, da dann die Näherung durch das mathematische Pendel besser wird.