Anfänger-Praktikum I WS 11/12. Michael Seidling Timo Raab. Praktikumsbericht: Gekoppelte Pendel

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1 Anfänger-Praktikum I WS 11/1 Michael Seidling Timo Raab Praktikumsbericht: Gekoppelte Pendel 1

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis I. Einführung 4 II. Grundlagen 4 1. Harmonische Schwingung 4. Gekoppelte Schwingung 5.1. Schwingungsarten Gleichsinnige Schwingung Gegensinnige Schwingung Schwebung Bewegungsgleichung Kopplungsgrad statische Bestimmung dynamische Bestimmung III. Versuch 1 1. Aufbau 1. Durchführung 1 3. Messungen 1 4. Auswertung Bestimmung der Frequenzen Ergebnisse Bestimmung des Kopplungsgrades Ergebnisse Fazit IV. Fragen 0 1. Frage 1 0. Frage 0

3 Inhaltsverzeichnis V. Anhang 1 1. Abbildungs- und Tabellenverzeichnis 1. Quellen 1 3

4 1 HARMONISCHE SCHWINGUNG Teil I. Einführung Das Ziel des Versuchs Gekoppelte Pendel ist, die Phänomene von gekoppelten Pendeln an einem einfachen mechanischen Beispiel zu untersuchen. Dazu benutzt man zwei Stangenpendel, die mit einer Feder verbunden werden. Teil II. Grundlagen Um die Regelmäßigkeiten eines gekoppelten Pendels zu verstehen, muss man sich zuerst mit der harmonischen Schwingung auseinandersetzen und dann die verschiedenen Phänomene der gekoppelten Schwingung begutachten. 1. Harmonische Schwingung Eine harmonische Schwingung ist eine Oszillation um einen Ruhepunkt in einem quadratischen Potential. Sodass die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung ist. Im Fall des Stangenpendels betrachten wir allerdings das Drehmoment M, anstelle der Kraft, und den Winkel ϕ für die Auslenkung. Somit ist das rückstellende Drehmoment: Bei konstanter Masse gilt für das Drehmoment: M R = D ϕ (1) M = J ϕ () wobei J das Trägheitsmoment ist. Somit erhält man die Bewegungsgleichung des Stangenpendels: M = D ϕ = J ϕ (3) D ϕ + ϕ = 0 (4) J Die Lösung der homogenen Differentialgleichung ist: ϕ(t) = A sin(ω 0 t + ϑ) (5) D wobei : ω 0 = J A und ϑ sind Abhängig von den Anfangsbedingungen. Wobei A die Amplitude und ϑ die Phasenverschiebung ist. ω 0 ist die Eigenfrequenz des Pendels. 4

5 GEKOPPELTE SCHWINGUNG. Gekoppelte Schwingung Zwei schwingfähige Systeme können miteinander verbunden werden. Dann entsteht ein gekoppeltes Pendel, bei dem ein Pendelarm auf den anderen Pendelarm eine Kraft auswirkt und andersherum..1. Schwingungsarten Im folgenden betrachten wir ausschließlich die Kopplung von zwei Stangenpendeln, mit gleicher Eigenfrequenz, über eine Feder. Dort gibt es drei verschiedene Fälle, wie dieses gekoppelte System schwingen kann: gleichsinnige Schwingung gegensinnige Schwingung Schwebung.1.1. Gleichsinnige Schwingung Abbildung 1: Zwei, über eine Feder, gekoppelte Pendel schwingen gleichsinnig Um diese Art von Schwingung zu erhalten, müssen die Anfangsbedingungen so gewählt werden, das die Anfangsauslenkung zum Zeitpunkt t = 0 von beiden Pendeln gleich ist: ϕ 1 (0) = ϕ (0) (6) Dann übt die Feder keierlei Drehmoment auf die beiden Pendel aus, wenn man die Masse der Feder vernachlässigt. Die Feder wird weder gestaucht noch gestreckt, sie Schwingt mit dem System mit. Die Frequenz der Schwingung ist gleich der Eigenschwingung der einzelnen Pendel: ω gleich = ω 0 (7) 5

6 GEKOPPELTE SCHWINGUNG Abbildung : Zwei, über eine Feder, gekoppelte Pendel schwingen gegensinnig.1.. Gegensinnige Schwingung Diese Schwingung erhält man, wenn man die Anfangsauslenkungen, zum Zeitpunkt t = 0 der Pendel genau gegensätzlich wählt: ϕ 1 (0) = ϕ (0) (8) Man erhält eine Schwingung, bei der die beiden Pendel genau in Gegenphase schwingen. Die Feder wirkt auf beide Pendel zu jeder Zeit ein gleichgroßes zusätzliches Drehmoment aus. Die Richtung dieses Drehmoments ist, zu jeder Zeit, auf jedes Pendel genau entgegengesetzt, dadurch kommt es zu einer Erhöhung der Frequenz: ω gegen > ω 0 (9).1.3. Schwebung Zu einer Schwebung kommt es immer dann, wenn die Anfangsauslenkungen nicht gleich gewält werden. Zum Beispiel, wenn nur ein Pendel ausgelenkt wird: ϕ 1 (0) 0 ϕ (0) = 0 (10) Es kommt zu einer periodischen Anregung des anderen Pendels. Das bedeutet, über die Feder wird Energie auf das andere Pendel übertragen. Das geschieht solange, bis die gesamte Energie übertragen ist, das bedeutet, dass das am Anfang ausgelenkte Pendel keine Schwingung mehr Durchführt, dafür das andere Pendel ausgelenkt ist. Die Anfangssituation ist wieder hergestellt, nur mit der Anfangsauslenkung auf der anderen Seite. Zwei Kreisfrequenzen können nun bei der Schwebung bestimmt werden: Die mittlere Schwingungsdauer der Pendel, bei nicht konstanten Amplitude: ω gleich ω mittel ω gegen (11) Die Schwebungskreisfrequenz ω schwebung, die die Frequenz der Amplitudenänderung beschreibt 6

7 GEKOPPELTE SCHWINGUNG Abbildung 3: Schwebung bei zwei, über eine Feder, gekoppelten Pendeln.. Bewegungsgleichung Die Bewegungsgleichung wird ebenso vereinfacht betrachtet, wie die Schwingungsarten, das heißt, wir gehen davon aus, dass Reibung keine Rolle spielt und die Winkelrichtgröße D sowie das Trägheitsmoment J ist für beide Pendel gleich ist. Zudem wird die Masse der hookeschen Feder vernachlässigt und die Feder greift auf der selben Höhe an die Pendel an. Wir betrachten die Drehmomente der Pendel: Abbildung 4: Beschriftung eines gekoppelten Pendels, mit ϕ 0 als Gleichgewichtszustand M 1 = D ϕ 1 + D (rϕ rϕ 1 ) r + M 0 (1) = D ϕ 1 + Dr (ϕ ϕ 1 ) + M 0 (13) analog : M = D ϕ Dr (ϕ ϕ 1 ) M 0 (14) (15) 7

8 GEKOPPELTE SCHWINGUNG mit: M 1 = Drehmoment auf Pendel1, M = Drehmoment auf Pendel, D = Federkonstante Die Bewegung wird immer nur relativ zur Ruhelage betrachtet somit gilt: Betrachtet man die Symmetrie unseres Aufbaus folgt: Φ 1 = ϕ 1 ϕ 01 (16) Φ = ϕ ϕ 0 (17) (18) ϕ 0 := ϕ 01 = ϕ 0 (19) Damit gilt für die Bewegungsbleichung der beiden Pendel in der Ruhelage: Eingesetzt erhält man: analog : 0 = D ϕ 01 + Dr (ϕ 0 ϕ 01 ) + M 0 (0) 0 = D ϕ 0 Dr (ϕ 0 ϕ 01 ) M 0 (1) ( (0) (1) M 0 = Dr + D ) ϕ 0 () M 1 = D ϕ 1 + D (rϕ rϕ 1 ) r + M 0 (3) = D ( (Φ1 + ϕ 0 ) + Dr (φ Φ 1 ϕ 0 ) + Dr + D ) ϕ 0 (4) = DΦ 1 + Dr (Φ φ 1 ) (5) M = DΦ + Dr (Φ φ 1 ) (6) und nach Gleichung() gilt für das Drehmoment: M 1 = J ϕ 1 (t) = J Φ 1 (t)m = J ϕ (t) = J Φ (t) (7) Man erhält zwei Differentialgleichungen: M 1 = J ϕ 1 (t) = J Φ 1 (t) = DΦ 1 + Dr (Φ φ 1 ) (8) Φ 1 (t) = D J Φ 1 + Dr J (Φ (t) Φ 1 (t)) (9) analog : Φ (t) = D J Φ + Dr J (Φ (t) Φ 1 (t)) (30) 8

9 GEKOPPELTE SCHWINGUNG Um die Übersicht zu gewähren sei: D ω gleich := J Dr k := J (31) (3) (33) Damit sind die Differentialglecihungen: Φ 1 + ω gleichφ 1 = k (Φ φ 1 ) (34) Φ + ω gleichφ = k (Φ φ 1 ) (35) (34) + (35) = d dt (Φ φ 1 ) + ω gleich(φ φ 1 ) = 0 (36) (34) (35) = d dt (Φ φ 1 ) + ω gleich(φ φ 1 ) = k (Φ φ 1 ) (37) lösen durch Substitution: damit : wobei : X := Φ 1 + Φ (38) Y := Φ 1 Φ (39) Ẍ + ω gleich X = 0 (40) Ÿ + ω gegen Y = 0 (41) ω gegen = Löst man diese Differentialgleichung: ωgleich + D + Dr k = J (4) X(t) = A 1 sin(ω gleich t) + A cos(ω gleich t) (43) Y (t) = A 3 sin(ω gegen t) + A 4 cos(ω gegen t) (44) wobei Die Koeffizienten A 1, A, A 3, A 4 durch die Anfangsbedingungen gegeben sind (Anfangswinkel und Anfangsgeschwindigkeit der Pendel). Nach der Resubstitution erhält man die Lösungen: (45) 9

10 GEKOPPELTE SCHWINGUNG Φ 1 (t) = X + Y = [A 1 sin(ω gleich t) + A cos(ω gleich t)] + [A 3 sin(ω gegen t) + A 4 cos(ω gegen t)] Φ (t) = X Y und : = [A 1 sin(ω gleich t) + A cos(ω gleich t)] [A 3 sin(ω gegen t) + A 4 cos(ω gegen t)] ϕ 1 (t) = Φ 1 (t) + ϕ 0 = [A 1 sin(ω gleich t) + A cos(ω gleich t)] + [A 3 sin(ω gegen t) + A 4 cos(ω gegen t)] ϕ (t) = Φ (t) + ϕ 0 = [A 1 sin(ω gleich t) + A cos(ω gleich t)] [A 3 sin(ω gegen t) + A 4 cos(ω gegen t)] (46) (47) (48) (49) (50) + ϕ 0 (51) (5) + ϕ 0 Betrachtet man nun den Spezialfall, dass zum Zeitpunkt t = 0 nur Pendel 1 um ϕ ausgelenkt ist und das es keine Anfangsgeschwindigkeiten ϕ 1 = ϕ = 0 gibt, dann sind die Anfangsbedingungen: A 1 = 0, A = ϕ, A 3 = 0, A 4 = ϕ. Nemen wir nun noch eine schwache Kopplung an: ϕ 0 = 0, dann gilt: ϕ 1 = ϕ cos(ω gleicht) + ϕ cos(ω gegen t) = ϕ cos( ω gegen + ω gleich ϕ = ϕ cos(ω gleicht) ϕ cos(ω gegen t) = ϕ sin( ω gegen + ω gleich (53) (54) t) cos( ω gegen ω gleich t) (55) (56) t) sin( ω gegen ω gleich t) (57) (58) Da es sich um eine schwache Kopplung handelt gilt ω gleich ωgegen damit beschreibt die Differenz die Amplitude und ist proportional zur Schwebungsfrequenz ω schwebung. Der Mittelwert ist die mittlere Frequenz. ω schwebung = ω gegen ω gleich ω mittel = ω gegen + ω gleich (59) (60) 10

11 GEKOPPELTE SCHWINGUNG Es ergibt sich also:.3. Kopplungsgrad ϕ 1 = ϕ cos( ω mittel t) cos(ω schwebung t) (61) ϕ = ϕ sin( ω mittel t) sin(ω schwebung t) (6) (63) Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie stark zwei Pendel voneinander abhängen. Um dies zu beschreiben, wird der Kopplungsgrad eingeführt. Es gibt verschiedene Methoden um ihn zu bestimmen statische Bestimmung Ein Pendel wird um den Winkel ϕ 1 ausgelenkt, dadurch wird auch das andere Pendel um ϕ ausgelenkt, das Verhältnis ist der Kopplungsgrad K. Das Gesamtdrehmoment auf Pendel 1 ist somit 0:.3.. dynamische Bestimmung 0 = Dϕ 1 + Dr (ϕ ϕ 1 ) (64) Dr ϕ = ( D + Dr )ϕ 1 (65) Dr ( D + Dr ) = ϕ 1 ϕ = K (66) Ersetzt man bei der statischen Bestimmung mit Hilfe von Gleichung (4) und (31) so erhält man: K (4),(31) = ω gegen ω gleich ω gegen + ω gleich (67) 11

12 3 MESSUNGEN Teil III. Versuch Ziel des Versuchs ist, die Bestimmung von der Frequenz der gegensinnigen und der gleichsinnigen Schwingung, sowie die statische und die dynamische Bestimmung des Kopplungsgrades. 1. Aufbau Abbildung 5: Aufbau der gekoppekten Pendel Dazu benutzen wir einen einfachen Aufbau, mit zwei Stangenpendeln, die u ber eine Feder gekoppelt sind. Zur Zeitmessung wird zur Optimierung eine Lichtschranke benutzt.. Durchfu hrung Fu r die beiden Pendel wird zuna chst die selbe Eigenfrequenz eingestellt, danach wird fu r drei verschiedenen Kopplungsgrade, wird jeweils dreimal die Frequenz der gleichsinnigen und der gegensinnigen Schwingung gemessen.dabei ist darauf zu achten, dass die Winkel der Auslenkung bei einer Schwingung immer gleich sind. Wir haben immer 15 cm Auslenkung genommen. Anschließend wird die Schwebungsdauer und die mittlere Periodendauer bestimmt. 3. Messungen 1

13 3 MESSUNGEN Pendel 1 Pendel Länge in [cm] 90,5 89,5 Bei * 1,3 r in [cm] Bei # 0,0 6,3 Tabelle 1: Daten der Pendel T 0 in [s] Pendel 1 Pendel Messung 1 1, , Messung 1, , Messung 3 1, , Mittelwert 1,6584 1,6598 Standartabweichung 0,0013 0,0015 Tabelle : Eigenschwingungsdauer der Pendel Die Messwerte wurden arithmetisch gemittelt x und dann der dann der Statistische Fehler bestimmt: σ x = 1 k k 1 (x i x) (68) wobei k die Anzahl der Messungen ist. i=1 13

14 3 MESSUNGEN Auslenkung Pendel 1 Fall Resultierende Auslenkung in [cm] Pendel in [cm] * 0,8 0 3, * 1,3 5 3,9 *,1 30 # 4,8 Tabelle 3: Statische Kopplung Fall Messung T gleich in [s] 1 1, * 1, , Mittelwert 1,6410 Standartabweichung 0, , # 1, , Mittelwert 1,6501 Standartabweichung 0, , , Mittelwert 1,63880 Standartabweichung 0,00005 Tabelle 4: Periodendauer der gleichsinnigen Schwingung 14

15 3 MESSUNGEN Fall Messung T gegen in [s] 1 1, * 1, , Mittelwert 1,579 Standartabweichung 0, , # 1, , Mittelwert 1,509 Standartabweichung 0, , , Mittelwert 1,46 Standartabweichung 0,009 Tabelle 5: Periodendauer der gegensinnigen Schwingung Fall Messung T mittel in [s] 1 1, * 1, , Mittelwert 1,6 Standartabweichung 0,03 1 1, # 1, , Mittelwert 1,6379 Standartabweichung 0, , , Mittelwert 1,635 Standartabweichung 0,0015 Tabelle 6: mittlere Periodendauer der Schwebung 15

16 3 MESSUNGEN Fall Messung T schwebung in [s] 1 8,8 83,1 * 3 8,8 4 83,0 5 83,0 6 83,0 Mittelwert 8,95 Standartabweichung 0, ,9 33,8 # 3 34,1 4 34,5 5 34, 6 34,5 Mittelwert 34, Standartabweichung 0, 1 0,6 3 0,3 4 0,3 5 0,5 6 0,7 Mittelwert 0,50 Standartabweichung 0,13 Tabelle 7: Schwebungsdauer 16

17 4 AUSWERTUNG 4. Auswertung Mit unseren Messwerten berechnen wir die Frequenzen und den Kopplungsgrad unserer Versuchsaufbauten Bestimmung der Frequenzen Für die Kreisfrequenz ω gilt der Zusammenhang mit der Periodendauer T: ω = π T Zudem wird die mittlere Periodendauer der Schwebung und die Schwebungsdauer nach den Gleichungen (59) und (60) bestimmt und verglichen. (69) Fehlerrechnung Für den Fehler der Kreisfrequenz gilt: δω = ω T δt 1 ω ω (70) = π T T δt ω (71) π = 1 δt ω (7) T bei der Bestimmung der mittleren Frequenz bei der Schwebung und der Schwebungsdauer benutzen wir: δω mittel/schwebung = δω gleich + δω gegen (73) Ergebnisse Vergleichen wir die Werte der Messungen mit denen der Messungen stellen wir fest, je stärker die Kopplung desto weiter liegt das Egebnis außerhalb der Genauigkeit: 17

18 4 AUSWERTUNG Name Variable Fall Wert Fehler Pendel 1 3,786 0,003 Eigenfrequenz ω 0 Pendel 3,789 0,003 Frequenz der * 3,89 0,003 gleichsinnigen ω gleich # 3,8309 0,0009 3,8340 0,0001 Frequenz der * 3,978 0,017 gegensinnigen ω gegen # 4,181 0,004 4,41 0,03 mittlere * 3,88 0,07 Frequenz der ω mittel # 3,836 0,0007 3,84 0,004 * 0,0757 0,0004 Schwebungsfrequenz ω schwebung # 0,1839 0,3065 0,0019 Errechnete mittlere * 3,903 0,010 Frequenz der ωmittel # 4,006 0,003 4,10 0,014 Errechnete * 0,075 0,010 Schwebungsfrequenz ωschwebung # 0,175 0,86 0,014 Tabelle 8: Werte der errechneten Frequenzen Fall ω ω δω + δω mittlere * 0,03 0,08 Frequenz der # 0,1698 0,0037 0,78 0,018 * 0,0007 0,0104 Schwebungsfrequenz # 0,008 0,005 0,0159 Tabelle 9: Vergleich der Messwerte mit den errechneten Frequenzen 18

19 4 AUSWERTUNG 4.. Bestimmung des Kopplungsgrades Die Kopplungsgrade werden statisch mit Gleichung (66) und den Werten aus Tabelle (3) und dynamisch mit Hilfe von Gleichung (67) und den Werten aus Tabelle (8) bestimmt. Für die Werte von ϕ benötigt man die Länge der Pendel aus Tabelle (1): ϕ = Auslenkung l (74) Fehlerrechnung Der Fehler der Statisch bestimmten Kopplungsgrade ergibt sich aus der Standartabweichung nach Gleichung (68). Für den Fehler der dynamischen Bestimmung des Kopplungsgrades gilt: δk = K ω gleich δω gleich + K ω gegen δω gegen (75) 4ωgleich = ω gegen ωgleich + ω gegen δω 4ω gleich ω gegen gegen + ωgleich + ω gegen δω gleich (76) Ergebnisse Fall ϕ 1 in [RAD] ϕ in [RAD] K δk statisch * 0,47 0,0089 0,0398 * 0,835 0,0145 0,051 * 0,344 0,035 0,068 Durchschnitt * - - 0,053 0,014 dynamisch * - - 0,038 0,16 statisch # 0,47 0,035 0,1045 # 0,835 0,079 0,0986 # 0,344 0,0335 0,0974 Durchschnitt # - - 0,100 0,004 dynamisch # - - 0,087 0,04 0,47 0,0358 0,835 0,0436 0,344 0,0537 0, ,156 0, ,138 0, Tabelle 10: Kopplungsgrade der Versuchsreihen 19

20 FRAGE 4.3. Fazit Leider sind die Messungen der Frequenz, bei und # außerhalb der Toleranz. Dies könnte Daran liegen, dass die Messungen von gleichsinniger und gegensinniger Schwingung nicht exakt gleich- bzw. gegensinnig waren und die Messung von der mittleren Periodendauer der Schwebung nicht gut ist, da bei einem höheren Kopplungsgrad es Häufiger zu einem Stillstand kommt, und so die Messungen variieren, da man nicht weiß, wie viele Nulldurchgänge gezählt werden. Aber bei der geringsten Kopplung sind die Werte passend. Die Werte der Kopplungsgrade passen eigentlich relativ gut zueinander, jedoch sind sie nicht repräsentativ, da der Fehler enorm groß ist. Vermutlich wären alle Messergebnisse besser, wenn die Eigenfrequenzen der Pendel besser aufeinander abgestimmt wären. Teil IV. Fragen 1. Frage 1 Welche Bedeutung haben gekoppelte Schwingungen in der Molekülphysik? In Molekülen sind zwei oder mehrere Atome miteinander verbunden. Da Atome sich bei einer Temperatur die größer als 0 Kelvin ist, bewegen, das bedeutet Schwingen und mit anderen Atomen verbunden sind ist dies auch eine gekoppelte Schwingung. Dabei handelt es sich um ein weit komplizierteres System als bei dem Versuch.. Frage Wie kann man das Phänomen der Schwebung für die Messung sehr hoher Frequenzen nutzen? Bei Schwingungen mit hohen Frequenzen lassen sich die Frequenzen nur sehr schwer messen, da die Periodendauer extrem Kurz ist. Wenn man aber eine Schwebung erzeugt, mit Hilfe einer anderen Schwingung, deren Frequenz bekannt ist und die Amplitude identisch ist, kann man die Schwebungsdauer, bzw. die Schwebungsfrequenz leicht bestimmen, da sie wie im Versuch gesehen deutlich größer ist als die einzelnen Frequenzen. Aus der Schwebungsfrequenz und der Frequenz der zusätzlichen Schwingung lässt sich dann die hohe Frequenz besser bestimmen. 0

21 QUELLEN Teil V. Anhang 1. Abbildungs- und Tabellenverzeichnis Abbildungsverzeichnis 1. Zwei, über eine Feder, gekoppelte Pendel schwingen gleichsinnig Zwei, über eine Feder, gekoppelte Pendel schwingen gegensinnig Schwebung bei zwei, über eine Feder, gekoppelten Pendeln Beschriftung eines gekoppelten Pendels, mit ϕ 0 als Gleichgewichtszustand 7 5. Aufbau der gekoppekten Pendel Quellen Skriptum - Vorlesung zum Integrierten Kurs, Prof. Dr. Wokfgang Belzig & Prof. Dr. Thomas Dekorsy, November 006 Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 1, 5. Auflage, Springer Verlag, 008 Vorlesungsmitschrift vom WS 011/1, Prof. Dr. Ulrich Nowak & Prof. Dr. Thomas Dekorsy Fehlerrechnung des Anfänger Praktikums Gekoppelte Pendel - All courses instructions, Anfänger Praktikum 1