IM4. Modul Mechanik. Gekoppelte Pendel

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1 IM4 Modul Mechanik Gekoppelte Pendel Zwei Pendel, zwischen denen Energie ausgetauscht werden kann, werden als gekoppelte Pendel bezeichnet. Auf jedes Pendel wirkt ein durch die Schwerkraft verursachtes Richtmoment, welches versucht, das Pendel in die Ruhelage zurückzuführen. Zudem macht sich die vorhandene Kopplung in Form eines zusätzlichen Richtmoments bemerkbar, das so wirkt, dass die Feder möglichst entspannt wird. In diesem Versuch werden sowohl gleich- und gegenphasige Schwingungen als auch Schwebungen untersucht. Dazu werden die Kreisfrequenzen τ ω, τ Ω, τ und T s experimentell bestimmt und anschließend untereinander und mit theoretischen Werten verglichen.

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3 Î Ö Ù ÁÅ ¹ ÓÔÔ ÐØ È Ò Ð Zwei Pendel, zwischen denen Energie ausgetauscht werden kann, werden als gekoppelte Pendel bezeichnet. Auf jedes Pendel wirkt ein durch die Schwerkraft verursachtes Richtmoment, welches versucht, das Pendel in die Ruhelage zurückzuführen. Zudem macht sich die vorhandene Kopplung in Form eines zusätzlichen Richtmoments bemerkbar, das so wirkt, dass die Feder möglichst entspannt wird. In diesem Versuch werden sowohl gleich- und gegenphasige Schwingungen als auch Schwebungen untersucht. Dazu werden die Kreisfrequenzen τ ω, τ Ω, τ und T s experimentell bestimmt und anschließend untereinander und mit theoretischen Werten verglichen. c AP, Departement Physik, Universität Basel, September 06

4 . Fragen zur Vorbereitung Was ist eine harmonische Schwingung? Wie lautet ihre Bewegungsgleichung? Wie lauten ihre Lösungen? Wodurch unterscheidet sich eine harmonische von einer gedämpften Schwingung? Wo treten harmonische und wo gedämpfte Schwingungen auf? Was ist Schwebung?. Theorie.. Das physikalische und das mathematische Pendel Als physikalisches Pendel bezeichnet man einen starren Körper, der unter Wirkung der Schwerkraft Drehschwingungen um eine feste Achse ausführen kann. Sei J das Trägheitsmoment in Bezug auf die Drehachse und M das rücktreibende Drehmoment. Dann lautet die Bewegungsgleichung: J φ = M = mgl sin(φ) (.) Bezeichnet man D = mgl als das Direktionsmoment und betrachtet nur kleine Auslenkungswinkel φ, dann gilt: J φ = mgl sin(φ) mgl φ = Dφ (.) Somit lautet die Schwingungsgleichung des physikalischen Pendels: φ+ D J φ = 0 (.3) Als Lösung von (.3) findet sich die ungedämpfte harmonische Schwingung φ(t) = A sin(ω 0 t+δ) (.4) mit der Frequenz ω 0 = D J = π T 0, der Phase δ und der darausfolgenden Schwingungsdauer des Pendels: J T 0 = π (.5) D Die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels erhält man als idealisierten Fall des physikalischen Pendels, indem man die gesamte Masse m des physikalischen Pendels in seinem Schwerpunkt S konzentriert betrachtet. Dabei habe der Schwerpunkt von der Drehachse den Abstand l. Damit ergibt sich (.5) zu: ml T 0 = π mgl = π l (.6) g 3

5 .. Bewegungsgleichungen des gekoppelten Pendels Zur Herleitung der Bewegungsgleichungen des gekoppelten Pendels betrachten wir zwei identische Pendel, die in der gleichen Ebene schwingen können und die durch eine weiche Feder gekoppelt sind. Im vorliegenden Versuch übernimmt eine an einem Faden frei bewegliche Kopplungsmasse die Aufgabe der Feder (siehe Abbildung.). Abbildung.: Versuchsaufbau Jedes Pendel besitzt die Masse m im Abstand L von der Drehachse. Infolge der Schwerkraft beträgt das rücktreibende Moment M g bei kleinen Auslenkungen φ für beide Pendel wie in (.),(.): M g = mglφ = D g φ (.7) Des Weiteren greift an beiden Pendeln ein Kopplungsmoment M f an. Dieses Kopplungsmoment hängt von der Federkonstante k, dem Angriffspunkt der Kopplungsfeder l und der Differenz der beiden Auslenkungen φ und φ ab, gemäß: M f = kl (φ φ ) = D f (φ φ ) (.8) Da die Feder bereits eine gewisse Spannung besitzt, wenn sich die Pendel in ihrer Ruhelage befinden, entsteht ein weiteres Moment M 0. Durch die Federspannung zeigen die Pendel in ihrer Ruhelage einen Ausschlag α, bzw. α bezüglich ihrer Vertikallage. Berechnet man nun die Auslenkungen φ und φ von dieser Ruhelage, so fällt das Moment der Vorspannung M 0 aus der Rechnung heraus, da das Moment des einen Pendels mglα durch das Moment des anderen Pendels mglα aufgehoben wird. 4

6 Somit findet man für die Momentengleichungen der Pendel und : M = M g, + M f, = D g φ + D f (φ φ ) M = M g, + M f, = D g φ D f (φ φ ) Einsetzen von (.9) in die Bewegungsgleichung des physikalischen Pendels (.) führt somit auf die simultanen Differentialgleichungen des gekoppelten Pendels: J d φ dt = D g φ + D f (φ φ ) (.0) J d φ dt = D g φ D f (φ φ ) Durch Addition (Subtraktion) dieser Gleichungen (.0) erhält man die Differentialgleichungen der Winkelsumme(φ + φ ) (Winkeldifferenz(φ φ )): J d (φ + φ ) dt = D g (φ + φ ) J d (φ φ ) dt = ( (.) ) D g + D f (φ φ ) Beide Gleichungen (.) stellen, wie (.3), ungedämpfte harmonische Schwingungen dar. Als Lösungen findet man analog zu (.4): (φ + φ ) = A cos(ωt+δ) (φ φ ) = B cos(ωt+ ) (.9) (.) wobei A und B die Amplituden der Summe, respektive der Differenz der Winkelausschläge der beiden Pendel und ω, Ω die Kreis- oder Eigenfrequenzen sind: D g ω = J (.3) D g + D f Ω = J Zur Beschreibung der Bewegungen der einzelnen Pendel, trennt man die Variablen φ und φ durch Subtraktion, respektive Addition der Gleichungen (.): φ = A cos(ωt+δ) B cos(ωt+ ) φ = A cos(ωt+δ)+ B cos(ωt+ ) (.4) Genaueres Betrachten der Bewegungsgleichungen (.4) zeigt, dass die allgemeinste Bewegung jedes Pendels durch eine Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen, eine sogenannte Schwebung, beschrieben wird. Dabei entspricht die Anzahl der Eigenschwingungen der Anzahl Freiheitsgrade des Systems (ein Pendel hat einen Freiheitsgrad und somit eine Eigenschwingung, zwei Pendel haben zwei Freiheitsgrade und somit zwei Eigenschwingungen). Auf Grund der speziellen Art der Kopplung ist die Eigenfrequenz ω gerade die Eigenfrequenz des ungekoppelten Pendels (siehe Abschnitt..). 5

7 ..3 Anfangsbedingungen Damit die im vorherigen Abschnitt.. hergeleiteten Bewegungsgleichungen (.4) eindeutig bestimmt sind, müssen die vier unbekannten Variablen A, B, δ, bestimmt werden. Dazu benötigt man vier zusätzliche voneinander unabhängige Bewegungsgleichungen oder Anfangsbedingungen. Dazu kann man die folgenden drei Fälle unterscheiden:. Fall: Beide Pendel werden zur gleichen Zeit t = 0 in der Lage φ = φ = φ losgelassen, so dass sie in Phase schwingen. Für t = 0 ergeben sich somit die folgenden Anfangsbedingungen: Einsetzen von (.5) in (.4) liefert: φ = φ φ = φ dφ dt dφ dt = 0 = 0 (.5) A cos(δ) B cos( ) = A cos(δ)+ B cos( ) = φ Aω sin(δ)+bω sin( ) = Aω sin(δ) BΩ sin( ) = 0 wobei ω = 0 und Ω = 0. Damit findet man für die gesuchten Größen: A = φ B = 0 δ = 0 = unbestimmt Somit wird die Schwingung des Systems durch die folgende Gleichung beschrieben: (.6) (.7) φ = φ = φ cos(ωt) (.8) Diese Schwingung enthält nur eine Eigenfrequenz ω und wird als symmetrisch bezeichnet. Dabei ist nicht die Symmetrie der Bewegung, sondern die Symmetrie der Gleichungen gemeint. Es lässt sich gut beobachten, dass in diesem Fall die Kopplung der beiden Pendel gar nicht zur Geltung kommt und die Feder fortwährend im selben Spannungszustand bleibt. Die Schwingungsdauer ist gegeben durch: τ ω = π ω = π J (.9) D g. Fall: Die beiden Pendel werden zur Zeit t = 0 in der Lage φ = φ, bzw. φ = φ losgelassen, so dass sie gegenphasig in entgegengesetztem Sinn schwingen. Damit lassen sich die Anfangsbedingungen folgendermassen aufstellen: Einsetzen von (.0) in (.4) liefert: φ = φ φ = +φ dφ dt dφ dt = 0 = 0 (.0) A cos(δ)+b cos( ) = A cos(δ)+ B cos( ) = φ Aω sin(δ)+bω sin( ) = Aω sin(δ) BΩ sin( ) = 0 (.) 6

8 wobei ω = 0 und Ω = 0. Damit findet man für die gesuchten Grössen: A = 0 B = φ δ = unbestimmt = 0 Somit wird die Schwingung des Systems durch die folgende Gleichung beschrieben: (.) φ = φ = φ cos(ωt) (.3) Auch in diesem Fall enthält die Schwingung nur eine Eigenfrequenz Ω. Diese Form der Schwingung wird asymmetrisch bezeichnet. Die Schwingungsdauer ist gegeben durch: τ Ω = π Ω = π J (.4) D g + D f 3. Fall: Zur Zeit t = 0 wird das Pendel aus der Lage φ = 0 und das Pendel aus der Lage φ = φ losgelassen. Die Anfangsbedingungen sind dann gegeben durch: Einsetzen von (.5) in (.4) liefert: φ = 0 φ = φ dφ dt dφ dt = 0 = 0 (.5) φ (0) = A cos(δ) B cos( ) = 0 Aω sin(δ)+ BΩ sin( ) = 0 φ (0) = A cos(δ)+b cos( ) = φ Aω sin(δ) BΩ sin( ) = 0 wobei auch hier ω = 0 und Ω = 0 gilt. Damit findet man für die gesuchten Grössen: (.6) A = φ B = φ δ = 0 = 0 Damit erhält man die folgenden Schwingungsgleichungen: (.7) φ = φ (cos(ωt) cos(ωt)) φ = φ (cos(ωt)+cos(ωt)) (.8) Einfachheitshalber werden diese Gleichungen (.8) mit den folgenden Additionstheoremen umgeschrieben: ( ) ( ) β+α β α cos(α)+cos(β) = cos cos ( ) ( ) (.9) β+α β α cos(α) cos(β) = sin sin 7

9 Somit werden die Gleichungen (.8) zu: ( ) ( ) Ω+ω Ω ω φ = φ sin t sin t ( ) ( ) (.30) Ω+ω Ω ω φ = φ cos t cos t Nach (.3) wird bei schwacher Kopplung (D f D g ) Ω ω klein gegen Ω+ω. Somit ändern sich die beiden Funktionen sin ( Ω ω t ) und cos ( Ω ω t ) langsam gegen sin ( Ω+ω t ) und cos ( Ω+ω t ). Daher kann die Bewegung jedes einzelnen Pendels als Schwingung mit der Frequenz Ω+ω aufgefasst werden, deren Amplitude einer langsamen periodischen Änderung der Frequenz Ω ω unterworfen ist. Dies wird als Schwebung bezeichnet. Zwischen den beiden Bewegungen der beiden Pendel besteht dabei ein Phasenunterschied von π. Das bedeutet, dass das eine Pendel zum Stillstand kommt, wenn das andere Pendel die maximale Amplitude erreicht. Die Schwingungsenergie wandert also andauernd zwischen den beiden Pendeln hin und her. Im Experiment wird diese Energie schliesslich als Konsequenz der Reibung zunehmend in Wärme umgewandelt. Diese Dämpfung wurde in der Rechnung jedoch nicht berücksichtigt. Die Schwingungsdauer der Schwingung mit der Frequenz Ω+ω ist gegeben durch: τ = 4π Ω+ω (.3) Die Zeit zwischen zwei Stillständen desselben Pendels bezeichnet man als Schwebungszeit T s. Ein Pendel steht still, wenn gilt: ( ) Ω ω t = π, 3π,... bzw. 0, π, π,... (.3) Somit ist die Schwebungszeit T s gegeben durch: T s = π Ω ω (.33) Zusätzlich findet man die folgenden Zusammenhänge zwischen den vier charakteristischen Zeiten τ ω, τ Ω, τ und T s : τ = ( + ) τ ω τ Ω = T s τ Ω τ ω (.34a) (.34b)..4 Kopplungsgrad Wenn das Trägheitsmoment J der Pendel bekannt ist, kann aus den Schwingungszeiten τ ω und τ Ω das Kopplungsmoment D f dynamisch bestimmt werden. Nach (.9) und (.4) gilt: D g = 4π J D f = τ ω ( 4π J τ Ω D g ) (.35) 8

10 Damit findet man: ( D f = π J τω ) τω (.36) Den Kopplungsgrad k definiert man als das Verhältnis k = D f D g +D f. Mit den Werten für D g und D f ergibt sich somit: 4π J τ ω ) π J( τω τω + π J( τω τω ) = τ Ω τ ω + τω τω = τ ω τ Ω τ ω + τ Ω = k (.37) Des Weiteren können k und D f statisch durch den Vergleich der Auslenkungen der beiden Pendel bestimmt werden. Wird beispielsweise das Pendel in der Lage φ festgehalten, so stellt sich bei dem Pendel die Auslenkung φ ein. Unter Berücksichtigung der Masse m des Pendelschaftes gilt: und somit: D f (φ φ ) = D g φ = g ( ml+m l ) φ (.38) D f = g ( ml+m l ) φ φ φ (.39) Aus dem Verhältnis der beiden Auslenkungen kann nun der Kopplungsgrad bestimmt werden: D g φ φ φ D g (+ φ φ φ ) = φ φ = k (.40).3 Experiment.3. Versuchszubehör.4 Durchführung.4. Erdbeschleunigung Komponente Dimension Anzahl Handstoppuhr Pendelstange: h S =850mm ± 0.5mm m S =3.40g ± 0.0g Pendelkörper m Z =74.54g ± 0.0g Kopplungshaken m M =8.77g ± 0.0g Zuerst wollen wir die Schwerebeschleunigung g auf der Erde bestimmen. Miss dazu 5 mal die Schwingungsdauer t eines einzelnen ungekoppelten Pendels und trage die Messdaten in der Tabelle (A..) ein. Miss anschliessend mit einer Schieblehre die in der Tabelle im Anhang angegebenen Dimensionen des Pendels. Diese werden später benötigt, um den Schwerpunkt und das Trägheitsmoment des Pendels zu bestimmen. 9

11 .4. Schwebung und Kopplungseigenschaften Wir führen folgende vier Grössen ein: τ ω τ Ω τ T S Schwingungsdauer des gekoppelten Pendels bei gleichphasiger Schwingung Schwingungsdauer des gekoppelten Pendels bei gegenphasiger Schwingung Schwinungsdauer des gekoppelten Pendels bei Pendel A ruhend und Pendel B bewegt Schwebungsperiode a) Wähle eine Kopplung der Pendel, indem du die Fixiermuttern auf eine beliebige Höhe einstellst (diese Höhe muss für beide Pendel gleich sein). Miss nun den Abstand von der Drehachse der Pendel bis zur Fixiermutter und notiere den Wert in der Tabelle (A..) im Anhang. Wichtig: Für diese gesamte Messreihe darf diese Höhe nicht mehr verändert werden! Ebenso sollte der horizontale Abstand der Pendelaufhängungen oben gleich bleiben. b) Miss nun die oben eingeführten Grössen τ ω 5 mal, τ Ω 5 mal, τ 5 mal und T S 5 mal. Trage deine Messdaten in der Tabelle (A..) ein. Achte darauf, dass beim gleich- bzw. gegenphasigen Schwingen die Pendel gleich stark ausgelenkt sind. beim gegenphasigen Schwingen sowie bei den Messungen von τ und T S die Pendel von der Mitte her gegen aussen losgelassen werden um ein Zusammenstossen der Pendelkörper zu vermeiden. beim Loslassen dem Pendel kein zusätzlicher Impuls übertragen wird. c) Bringe beide Pendel in die Ruhelage und lenke dann eines der Pendel aus. Halte dieses in dieser Position ruhig und warte, bis sich wieder ein Gleichgewicht eingestellt hat. Miss nun die horizontale Auslenkung der beiden Pendel in diesem Gleichgewichtszustand in Bezug auf die anfängliche Ruhelage. Du kannst diese Messung für insgesamt drei verschiedene Auslenkungen durchführen und die Daten in der Tabelle eintragen. d) Wähle nun eine andere Kopplung der Pendel indem du die Fixiermuttern höher oder tiefer stellst und beginne wieder von vorne. Gehe die Punkte a) bis d) für insgesamt drei verschiedene Kopplungen durch und erzeuge so drei vollständige Messreihen..5 Auswertung.5. Erdbeschleunigung a) Berechne den Mittelwert, die Standardabweichung und die Standardabweichung des Mittelwertes der gemessenen Schwingungsperioden t. Untersuche die Abweichung vom idealisierten Fall des mathematischen Pendels, welches durch die Formel T 0 = π l g (.4) gegeben ist. Dabei ist l die Pendellänge und g die Erdbeschleunigung. Der Literaturwert der Schwerebeschleunigung auf der Erde sei mit g = 9.8m/s gegeben. 0

12 b) Berechne den Schwerpunkt des Pendels mit Hilfe der Formel r S = ρ π ( e z R M tot Z h Z + R ( S h S h Z)) (.4) Hierbei ist R Z der Aussenradius des Zylinders und h Z die Höhe des Zylinders. R S ist der Radius der Pendelstange und M tot ist die Gesamtmasse des Pendels. Dieses ist aus Stahl und hat eine Dichte von ρ = 7.68g/cm 3. Die Höhe der Pendelstange h S sei mit 850mm anzunehmen. c) Berechne durch Umstellen der Formel.4 aus deinen Messwerten die Erdbeschleunigung g und vergleiche sie mit dem theoretischen Wert. Benutze dazu den Abstand der Drehachse zum Schwerpunkt des Pendels für die Pendellänge l, den du mit der Formel.4 bestimmt hast. d) Gib dein Ergebnis mit dem statistischen und systematischen Fehler an unter Berücksichtigung der üblichen Fehlerfortpflanzung..5. Schwebung a) Berechne für deine Messwerte für τ ω, τ Ω, τ und T S jeweils den Mittelwert, die Standardabweichung und die Standardabweichung des Mittelwerts. b) Verwende die Formeln τ = τ ωτ Ω τ ω + τ Ω (.43) T S = τ ωτ Ω τ ω τ Ω (.44) die aus den Gleichungen.34a und.34b kommen, um aus den gemessenen Werten τ ω und τ Ω die Schwingungsdauer τ und die Schwebungszeit T S zu berechnen. Setze dazu jeweils die Mittelwerte ein. Vergleiche die so bestimmten Werte für τ und T S mit den Mittelwerten der gemessenen Werten. c) Führe eine ausführliche Fehlerrechnung durch und gib an, ob deine Ergebnisse innerhalb der Fehlerschranken liegen. Können die in Formel.43 bzw..44 beschriebenen Abhängigkeiten bestätigt werden?.5.3 Kopplungsmoment und Kopplungsgrad a) Das Trägheitsmoment des Pendels J P entspricht der Summe der Trägheitsmomente seiner Einzelkomponenten J P = J S + J Z + J M (.45) J S ist das Trägheitsmoment des Pendelstabes, J Z das Trägheitsmoment des Massenzylinders und J M dasjenige der Fixiermutter. Bestimme das Trägheitsmoment des Pendels J P mit Hilfe der untenstehenden Formeln J S = m S ( 3R S + h ) S + ms L SM (.46) m S ist die Masse des Stabes, R S dessen Radius, h S die Höhe des Stabes und L SM der Abstand des Schwerpunktes des Stabes zur Drehachse. J Z = m Z ( ( 3 R Z + r ) Z + h Z + L ZM) (.47)

13 m Z ist die Masse des Zylinders, R Z und r Z sind der Aussen- bzw. Innenradius des Massenzylinders, h Z die Zylinderhöhe und L ZM der Abstand des Schwerpunktes des Zylinders zur Drehachse. J M = m M ( ( 3 R M + r ) M + h M + L MM) (.48) Analog ist m M die Masse der Fixiermutter, R M und r M sind der Aussen- bzw. Innenradius der Fixiermutter, h M ihre Höhe und L MM der Abstand der Fixiermutter zur Drehachse. Die ausführliche Herleitung hierzu befindet sich im Anhang (A.). Bestimme das Trägheitsmoment J P des Pendels. b) Bestimme bei gegebener Pendellänge von h S = 850mm die Auslenkwinkel θ links und θ rechts bei der statischen Auslenkung jeweils für das linke und das rechte Pendel. Verwende den Mittelwert der jeweiligen drei bestimmten Auslenkwinkel θ links und θ rechts. c) Berechne nun das statische Kopplungsmoment für die drei Messreihen mit dem Ausdruck D f = g ( ml+m l ) θ links (.49) θ rechts θ links wobei der Term m l (Fixiermutter) vernachlässigt werden darf. m ist die Masse des Pendels und L sei hier der Abstand des Schwerpunktes des Pendels zur Drehachse. d) Das Kopplungsmoment lässt sich auch mit τ ω und τ Ω dynamisch bestimmen: ( D f = π J ) τω τ Ω (.50) Berechne die dynamischen Kopplungsmomente und vergleiche deine Ergebnisse mit den statisch bestimmten Werten. e) Berechne für alle drei Messreihen den Kopplungsgrad statisch mit der Formel k = θ links θ rechts (.5) f) Bestimme schliesslich den Kopplungsgrad dynamisch mit der Formel k = τ ω τ Ω τ ω + τ Ω (.5) und vergleiche die so erhaltenen Ergebnisse mit denjenigen aus der statischen Betrachtung. g) Wie sieht allgemein der Zusammenhang zwischen dem Kopplungsgrad k und der Schwebungszeit T S aus? h) Wie liesse sich der Versuchsaufbau verbessern? Was könnte man bei der Durchführung dieses Experiments optimieren?

14 ÔÔ Ò Ü A. Trägheitsmoment des Pendels Das Trägheitsmoment des Pendels nach Abbildung. setzt sich aus den Trägheitsmomenten des Massenzylinders J Z, des Stabes J S und dem der Fixiermutter der Kopplung J M zusammen. Dabei vernachlässigen wir die Trägheitsmomente der Koplungsschraube und des Fixierbolzens des Massenzylinders. J Z und J M können durch das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders und J S durch das eines Zylinders ausgedrückt werden. Das Trägheitsmoment ist das Integral über den Abstand ds aller Einzelmassen dm vom Zentrum des Körpers der Dichte ρ. Da es sich bei allen drei Körpern um Zylinder handelt, werden in den folgenden Berechnungen Zylinderkoordinaten, r, ϕ, z, verwendet. Die Rotation der Körper erfolgt in diesem Versuch um die y-achse. Das kartesische x kann daher über den Zylinderradius r und den Winkel ϕ zwischen x und r ausgedrückt werden, gemäss x = r cos(ϕ). Der Abstand s eines Massenpunktes von der Drehachse y lässt sich nach Pythagoras durch s = x + z ausdrücken. In Zylinderkoordinaten drückt sich das Volumenelement dv durch dv = r dr dϕdz aus. Das Massenelement dm ist dabei durch dm = ρdv mit dem Volumenelement verknüpft. Somit gilt allgemein für das Trägheitsmoment eines Zylinders: J Zylinder = s dm = s ρ(s)dv M V ρ(s)=ρ = ρ s dv V = ρ s r dr dϕdz = ρ r ϕ z r ϕ z (x + z )r dr dϕdz (A.) Mittels (A.) lässt sich nun einfach das Trägheitsmoment JZ s des Massenzylinders der Dichte 3

15 ρ Z, Höhe h, Innenradius r und Aussenradius R berechnen: J s Z = ρ Z r = ρ Z R r = ρ Z R r = ρ Z R r = ρ Z R r = ρ Z π 0 = ρ Z π = ρ Z π = ρ Z π (x + z )r dr dϕdz ϕ z π h/ 0 h/ π h/ 0 h/ π h/ 0 h/ π h/ 0 0 h/ 0 h/ 0 0 h/ 0 h/ 0 = ρ Z h/ 0 (x + z )r dr dϕdz (x r + z r )dr dϕdz (r 3 cos (ϕ)+z r )dr dϕdz (r 3 cos (ϕ)+z r )dr dϕdz [ ] r 4 R 4 cos (ϕ)+ z r dϕdz r [ (R 4 r 4 ) cos (ϕ)+(r r ) z 4 (R r ) z dz+ ρ Z h/ π 0 h/ (R r ) z dz+ ρ Z 0 [(R 4 r 4 π4 +(R r ) z π [ = ρ Z (R 4 r 4 ) π h 4 +(R r ) ( h 6 ] = ρπ(r r )h [(R + r ) 4 + h ] dϕdz R 4 r 4 cos (ϕ)dϕdz 0 4 R 4 r 4 πdz 4 ] dz ) 3 π] (A.) Mit der Masse m Z des Massenzylinders und seinem Volumen V Z = π(r r )h erhält man aus (A.): JZ s = m Z [ 3(R + r )+h ] (A.3) Da in dem vorliegenden Versuch die Mittelpunkte der beiden Massenzylinder in einem gewissen Abstand L ZM von ihrer Rotationsachse schwingen, muss nun noch das Trägheitsmoment des Massenzylinders bezüglich seines Aufhängepunktes mit dem Satz von Steiner berechnet werden: J Z = JZ s + ml ZM = m Z [ 3(R Z + r ] Z )+h Z + ml ZM (A.4) = m Z [ 3(R Z + r Z)+h Z + L ZM] Das Trägheitsmoment J M der Fixiermutter der Masse m M, Höhe h M, Innenradius r M, Aussenradius R M, sowie dem Abstand der Mutter zur Drehachse L MM berechnet sich dann analog zu (A.)-(A.4) zu: J M = JM s + m ML MM = m M [ 3(R M + r M)+h ] M + mm L MM = m M [ 3(R M + r M )+h M + MM] L (A.5) 4

16 Zur Berechnung des Trägheitsmomentes J S des Stabes der Höhe h S, Masse m S, Radius r und Abstand des Stabes zur Drehachse L SM erfolgt ebenfalls analog zu (A.)-(A.4), jedoch muss in diesem Fall der Radius dr nicht von r bis R, sondern lediglich von 0 bis r integriert werden, woraus folgt: J S = JS s + m SL SM = m S [ 3R S + h ] S + ms L SM Das Trägheitsmoment J P des Pendels ergibt sich somit zu: J P = J Z + J S + J M (A.6) (A.7) 5

17 A. Übersicht über die Messdaten A.. Erdbeschleunigung # t [s] Radius der Pendelstange R S Länge der Pendelstange l S Innenradius der Fixiermutter r M Aussenradius der Fixiermutter R M Höhe der Fixiermutter h M Innenradius des Zylinders r Z Aussenradius des Zylinders R Z Höhe des Zylinders h Z A.. Schwebung und Kopplungseigenschaften Höhe Fixiermutter Höhe Fixiermutter Höhe Fixiermutter # τ ω τ Ω τ T S Auslenkung links rechts 3 # τ ω τ Ω τ T S Auslenkung links rechts 3 # τ ω τ Ω τ T S Auslenkung links rechts 3 6