2. Physikalisches Pendel

Transkript

1 2. Physikalisches Pendel Ein physikalisches Pendel besteht aus einem starren Körper, der um eine Achse drehbar gelagert ist. A L S φ S z G Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

2 2.1 Bewegungsgleichung 2.2 Kleine Ausschläge 2.3 Große Ausschläge 2. Physikalisches Pendel Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

3 2.1 Bewegungsgleichung Drallsatz bezüglich des ortsfesten Bezugspunktes A: J A =M A = G L S sin = mg L S sin mg L S J A sin =0 A φ L S S z G Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

4 2.1 Bewegungsgleichung Reduzierte Pendellänge: Die Länge L r = J A m L S wird als reduzierte Pendellänge bezeichnet. Ein Fadenpendel mit der Länge L r hat die gleiche Bewegungsgleichung und damit das gleiche Schwingungsverhalten wie das physikalische Pendel. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

5 2.1 Bewegungsgleichung Mit J A =J S L S 2 m Mit dem Trägheitsradius folgt für die reduzierte Pendellänge: L r = J S L 2 S m m L S = J S m L S L S i 2 S = J S m wird daraus L r =L S i 2 S L S Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

6 2.1 Bewegungsgleichung Physikalisches Pendel: Fadenpendel: A φ S L S L r =L S i 2 S L S A φ L r m, J A m z g L r sin =0 z Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

7 2.2 Kleine Ausschläge Linearisierung: Für kleine Winkel φ gilt: sin Damit lautet die Bewegungsgleichung g =0 L r Die Lösung der Schwingungsgleichung ist t = 0 sin t Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

8 Schwingungskennwerte: 2.2 Kleine Ausschläge Kreisfrequenz: = g L r Frequenz: f = 2 = 1 2 g L r Schwingungsdauer: T = 1 f =2 L r g Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

9 2.2 Kleine Ausschläge Anfangsbedingungen: Die Amplitude φ 0 und die Phase α werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt: 0 = 0 sin 0 = 0 cos tan = 0 0 0= Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

10 2.2 Kleine Ausschläge Bestimmung des Massenträgheitsmoments: Das Massenträgheitsmoment eines Körpers kann durch einen Pendelversuch bestimmt werden, bei dem die Schwingungsdauer gemessen wird. Zunächst berechnet sich die reduzierte Pendellänge zu Damit folgt für das Massenträgheitsmoment J A bezüglich des Aufhängepunktes L r = g T J A =m L S L r = m L S g T Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

11 2.2 Kleine Ausschläge Für das Massenträgheitsmoment J S bezüglich des Schwerpunktes gilt J S =J A m L S 2 =m L S g T L S Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

12 2.2 Kleine Ausschläge Minimale Schwingungsdauer: In welchem Abstand vom Schwerpunkt muss ein starrer Körper aufgehängt werden, damit seine Schwingungsdauer minimal wird? Aus T =2 L r g folgt, dass die Schwingungsdauer minimal wird, wenn die reduzierte Pendellänge minimal wird. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

13 2.2 Kleine Ausschläge Die reduzierte Pendellänge hat ein Minimum für =1 i 2 S dl r dl S = d dl S L S i 2 S L S L S 2 =0 L S =i S Die Schwingungsdauer wird also minimal für, d.h. wenn der Abstand des Aufhängepunktes vom Schwerpunkt gleich dem Trägheitsradius ist. Die minimale reduzierte Pendellänge ist L rmin =2i S. Die minimale Schwingungsdauer ist T min =2 2i S. g Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

14 2.3 Große Ausschläge Für große Winkel φ kann die Gleichung nicht linearisiert werden. mg L S J A sin =0 Die Lösung dieser Differentialgleichung führt auf ein elliptisches Integral, das nicht in geschlossener Form integriert werden kann. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

15 Phasendiagramm: 2.3 Große Ausschläge Das Phasendiagramm zeigt die Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Winkel. Diese Abhängigkeit lässt sich aus dem Energieerhaltungssatz ermitteln, ohne dass die Differentialgleichung gelöst werden muss. Für die kinetische Energie des Pendels gilt: E kin = 1 2 J 2 A = 1 2 m i 2 S L S2 2 = 1 2 m i 2 A 2 Für die potenzielle Energie bezüglich des Aufhängepunktes gilt: E pot = mg L S cos Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

16 2.3 Große Ausschläge Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein: 1 2 m i A2 2 2 g L S cos =E 0 =± 1 i A Je nach Wert der Anfangsenergie E 0 ergeben sich unterschiedliche Kurven. Nullstellen: E 0 m g L S cos 0 =0 cos 0 = E 0 mg L S Nullstellen existieren für 2 E 0 m g L S cos 1 E 0 mg L S 1 mg L S E 0 mg L S Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

17 2.3 Große Ausschläge Für E 0 = mg L S wird cos 0 =1. Die zugehörigen Winkel sind 0 =2 n. Das Pendel bleibt in Ruhe. Für E 0 =mg L S wird cos 0 = 1. Die zugehörigen Winkel sind 0 = 2 n 1. Diese Winkel entsprechen der instabilen oberen Gleichgewichtslage. Für E 0 mg L S rotiert das Pendel. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

18 2.3 Große Ausschläge Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

19 2.3 Große Ausschläge Separatrix Sattelpunkt Wirbelpunkt Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

20 2.3 Große Ausschläge In den Wirbelpunkten hat die potenzielle Energie ein Minimum. In der Umgebung der Wirbelpunkte schwingt das Pendel. In den Sattelpunkten hat die potenzielle Energie ein Maximum. Die Sattelpunkte werden erst nach unendlich langer Zeit erreicht. Die Separatrix trennt die Schwingungskurven von den Rotationskurven. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik