1. Geradlinige Bewegung

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1 1. Geradlinige Bewegung 1.1 Kinematik 1.2 Schwerpunktsatz 1.3 Dynamisches Gleichgewicht 1.4 Arbeit und Energie 1.5 Leistung Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.1-1

2 1.1 Kinematik Ort: Bei einer geradlinigen Bewegung ist der Ort, an dem sich ein Punkt P zum Zeitpunkt t befindet, eindeutig durch den Abstand s(t) von einem frei gewählten Bezugspunkt P 0 festgelegt. Das Vorzeichen gibt an, auf welcher Seite des Bezugspunkts sich der Punkt befindet. P 0 s(t) P s Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.1-2

3 1.1 Kinematik Geschwindigkeit: Der Differenzenquotient v m = s t B s t A = s t B t A t ist ein Maß für die Schnelligkeit der Bewegung zwischen den Orten s(t A ) und s(t B ). Er wird als mittlere Geschwindigkeit zwischen den Orten s(t A ) und s(t B ) bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.1-3

4 1.1 Kinematik Je kleiner der Abstand der Zeiten t A und t B gewählt wird, desto genauer gibt die mittlere Geschwindigkeit die Schnelligkeit der Bewegung am Ort s(t A ) an. Der Grenzwert v t A = lim t A t B s t = ds dt t A =ṡ t A definiert die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t A. Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Ortskoordinate s(t) nach der Zeit. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.1-4

5 1.1 Kinematik s s B v m = s B s A t B t A =tan s A β α v t A = ds dt t A =tan t A t B t Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.1-5

6 1.1 Kinematik Einheiten: Die Einheit der Geschwindigkeit ist Längeneinheit pro Zeiteinheit. Gängige Einheiten sind m/s und km/h: Vorzeichen: 1 km h = 1000m 3600 s = 1 3,6 m s, 1 m s =3,6 km h Ein positiver Wert der Geschwindigkeit gibt an, dass sich der Punkt in Richtung zunehmender Ortskoordinate, d.h. entsprechend der Orientierung der Bahn bewegt. Ein negativer Wert der Geschwindigkeit gibt an, dass sich der Punkt entgegen der Orientierung der Bahn bewegt. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.1-6

7 1.1 Kinematik Bei gegebener Geschwindigkeit v(τ) gilt für den im infinitesimalen Zeitintervall dτ zurückgelegten Weg ds: Integration ergibt: s t s 0 ds=v d t ds= t 0 t v d s t s 0 = t 0 Dabei ist s 0 die Ortskoordinate zum Zeitpunkt t 0. v d Für die Ortskoordinate s(t) gilt also: t s t =s 0 t 0 v d Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.1-7

8 1.1 Kinematik Beispiel: Gleichförmige Bewegung Bei einer gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit konstant: v(t) = v 0 = const. v v 0 Dann gilt für die Ortskoordinate: t s t =s 0 t 0 v 0 d =s 0 v 0 t t 0 s s(t) t 0 t t v 0 (t-t 0 ) s 0 t 0 t t Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.1-8

9 1.1 Kinematik Beschleunigung: Die Beschleunigung ist ein Maß für die Änderung der Geschwindigkeit. Der Differenzenquotient a m = v t B v t A = v t B t A t wird als mittlere Beschleunigung zwischen den Orten s(t A ) und s(t B ) bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.1-9

10 1.1 Kinematik Der Grenzwert a t A = lim t B t A v t = dv dt t A = v t A = s t A definiert die Beschleunigung zum Zeitpunkt t A. Die Beschleunigung ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit oder die zweite Ableitung der Ortskoordinate nach der Zeit. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

11 1.1 Kinematik Einheiten: Die Einheit der Beschleunigung ist Länge pro Zeit zum Quadrat. Gängige Einheiten sind m/s2 und g (Erdbeschleunigung): Vorzeichen: 1 g=9,81 m/s 2 Haben Geschwindigkeit und Beschleunigung das gleiche Vorzeichen, so nimmt der Betrag der Geschwindigkeit zu. Die Bewegung wird beschleunigt. Haben Geschwindigkeit und Beschleunigung entgegengesetzte Vorzeichen, so nimmt der Betrag der Geschwindigkeit ab. Die Bewegung wird verzögert. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

12 1.1 Kinematik Bei gegebener Beschleunigung a(τ) gilt für die im infinitesimalen Zeitintervall dτ erfolgte Geschwindigkeitsänderung dv: dv=a d Integration ergibt: v t v 0 t dv= t 0 t a d v t v 0 = t 0 Dabei ist v 0 die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0. a d Für die Geschwindigkeit v(t) gilt also: t v t =v 0 t 0 a d Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

13 1.1 Kinematik Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist die Bahnbeschleunigung konstant: a(t) = a 0 = const. Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t = t 0 : s(t 0 ) = s 0, v(t 0 ) = v 0 Geschwindigkeit: Ortskoordinate: v t =v 0 a 0 d =v 0 a 0 t t 0 s t =s 0 t 0 t t t 0 v d =s 0 t 0 =s 0 v 0 t t a 0 t t 0 2 t [ v 0 a 0 t 0 ] d Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

14 1.1 Kinematik a s a 0 v t a 0 t 2 / 2 v 0 t a 0 t s 0 v 0 t t Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

15 1.1 Kinematik Beispiel: Fahrzeug A fährt mit der konstanten Geschwindigkeit v A. Es befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 am Ort s = 0. Fahrzeug B befindet sich zum Zeitpunkt t 1 am Ort s 1. Es beschleunigt aus dem Stillstand mit der konstanten Beschleunigung a B. Zu welchem Zeitpunkt t 2 treffen sich die beiden Fahrzeuge? Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

16 1.1 Kinematik Darstellung im Ort-Zeit-Diagramm: s s 2 A B s 1 t 1 t 2 t Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

17 Ort-Zeit-Gesetze: 1.1 Kinematik s A t =v A t s B t =s a B t t 1 2 Fahrzeug A: Fahrzeug B: Bedingung für Treffen: s A t 2 =s B t 2 v A t 2 =s a B t 2 t 1 2 0= 1 2 a B t 2 2 a B t 1 v A t a B t 1 2 s 1 Nur die Lösung t 2 > t 1 ist sinnvoll: t 2 = a Bt 1 v A ± a B t 1 v A 2 2 a B s 1 a 2 2 B t 1 a B t 2 =t 1 v A v 2 A 2 s 1 v A t 1 a B a B a B Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

18 1.1 Kinematik s t Allgemein: a=a 0 =const.: t s t =s 0 t 0 v d s t =s 0 v 0 t t a 0 t t 0 2 a=0: s t =s 0 v 0 t t 0 v t Allgemein: a=a 0 =const.: t v t =v 0 a d t 0 v t =v 0 a 0 t t 0 v t =ṡ t a=0: v t =v 0 =const. a t a t = v t = s t Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

19 1.2 Schwerpunktsatz Die Erfahrung zeigt: Wenn die Kräfte, die an einem Körper angreifen, nicht im Gleichgewicht sind, ändert sich die Geschwindigkeit seines Schwerpunktes. Beschleunigung und Kraft haben die gleiche Richtung. Der Betrag der Beschleunigung ist proportional zum Betrag der Kraft. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

20 1.2 Schwerpunktsatz Schwerpunktsatz (2. Newtonsches Gesetz): Zwischen der am Körper angreifenden Kraft F und der Beschleunigung a S seines Schwerpunkts besteht der Zusammenhang F=m a S Die Proportionalitätskonstante m wird als träge Masse bezeichnet. Greifen am Körper mehrere Kräfte an, so gilt: F=m a S In Komponenten lauten die Gleichungen: F x =m a Sx, F y =m a Sy, F z =m a Sz Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

21 1.2 Schwerpunktsatz Diese Gleichungen werden auch als Bewegungsgleichungen bezeichnet. Aus den Bewegungsgleichungen lässt sich die Bewegung des Körpers bestimmen, wenn die Kräfte und die Anfangsbedingungen gegeben sind. Wenn die Bewegung gegeben ist, so lassen sich aus den Bewegungsgleichungen die benötigten Kräfte ermitteln. Für eine geradlinige Bewegung entlang der x-achse müssen die resultierenden Kräfte in y- und z-richtung Null sein. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

22 1.2 Schwerpunktsatz Inertialsystem: Das Newtonsche Grundgesetz gilt nicht in beliebigen Bezugssystemen. Ein Bezugssystem, in dem das Grundgesetz gilt, wird als Inertialsystem bezeichnet. Bei technischen Anwendungen kann die Erde in der Regel als Inertialsystem angesehen werden. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

23 1.2 Schwerpunktsatz Beispiel: An einem Körper der Masse m greift die Kraft F t =F 0 1 e t /T an. Der Körper ist am Anfang in Ruhe. Gesucht: Die x-achse wird entlang der Wirkungslinie der Kraft gewählt. Die Ortskoordinate s(t) wird entlang der x-achse gemessen. Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich der Körper an der Stelle s 0 = 0. Beschleunigung a(t) Geschwindigkeit v(t) Ort s(t) Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

24 1.2 Schwerpunktsatz Beschleunigung: Schwerpunktsatz: m a t =F t a t = F 0 m 1 e t /T Geschwindigkeit: Wegen v 0 = 0 folgt durch Integration der Beschleunigung: t v t = 0 a d = F 0 t m 0 = F 0 m t T e t /T T 1 e /T d = F 0 m [ T =t ] e /T =0 Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

25 1.2 Schwerpunktsatz Ort: Wegen s 0 = 0 folgt durch Integration der Geschwindigkeit: t s t = 0 v d = F 0 t m 0 T e /T 1 d = F [ =t 0 2 m 2 T T e /T = F 0 t 2 ] =0 m 2 T 2 1 e t /T T t Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

26 1.3 Dynamisches Gleichgewicht Die d'alembertsche Trägheitskraft Das Newtonsche Grundgesetz kann auch in der Form geschrieben werden. Die Kraft F m a S =0 F T = m a S wird als d'alembertsche Trägheitskraft bezeichnet. Die d'alembertsche Trägheitskraft ist eine Scheinkraft, die entgegengesetzt zur Beschleunigung gerichtet ist. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

27 1.3 Dynamisches Gleichgewicht Dynamisches Gleichgewicht: Durch das Einführen der Trägheitskraft lässt sich das Newtonsche Grundgesetz formal auf eine Gleichgewichtsbedingung zurückführen: F F T =0 Dieses Gleichgewicht wird als dynamisches Gleichgewicht bezeichnet. Es lässt sich zeigen: Bei einem starren Körper greift die d'alembertsche Trägheitskraft im Schwerpunkt an. Wenn sich der Körper dreht, können zusätzlich Momente auftreten. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

28 Vorgehen: 1.3 Dynamisches Gleichgewicht Der zu untersuchende Körper wird freigeschnitten. Neben den äußeren Kräften wird zusätzlich die d'alembertsche Trägheitskraft eingetragen. Die Bewegungsgleichungen folgen dann wie in der Statik aus der Bedingung, dass die Summe der Kräfte gleich Null sein muss. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

29 1.3 Dynamisches Gleichgewicht Beispiel: Beschleunigendes Fahrzeug L 1 L 2 m S h μ 0 Gegeben: Masse m Abmessungen L 1, L 2 und h Gesucht: Maximal mögliche Beschleunigung bei Hinterradantrieb Haftreibungskoeffizient μ 0 Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

30 1.3 Dynamisches Gleichgewicht Freigeschnittenes Fahrzeug: Dynamisches Gleichgewicht: ma S S F x =0 : H m a S =0 F y =0 : N 1 N 2 m g=0 y H mg M S =0 : L 1 N 1 L 2 N 2 h H =0 x N 1 N 2 Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

31 1.3 Dynamisches Gleichgewicht Aus der zweiten Gleichung folgt: Einsetzen in die dritte Gleichung führt auf N 2 =m g N 1 L 1 N 1 L 2 m g N 1 h H =0 h H L 2 m g= L 1 L 2 N 1 N 1 = h H L 2m g L 1 L 2 Haftbedingung: H max = 0 N 1 = 0, N 2 = L 1 m g h H L 1 L 2 h L 1 L 2 H max 0 m g L 2 L 1 L h L 1 L H max= 0 m g 2 L 2 L 1 L 2 Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

32 1.3 Dynamisches Gleichgewicht Maximale Beschleunigung: a Hmax = H max m = 0 L 2 L 1 L 2 0 h g Dieses Ergebnis ist richtig, solange das Vorderrad nicht abhebt. Das Vorderrad hebt ab für N 2 < 0. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

33 1.4 Arbeit und Energie Schwerpunktsatz: Für eine geradlinige Bewegung entlang der x-achse lautet der Schwerpunktsatz: m a Sx =F x x Integration entlang der x-achse ergibt: x B x B m a Sx x dx= x A x A F x x dx Für die Beschleunigung gilt: a Sx x = dv Sx dt x = dv Sx dx dx dt x = dv Sx dx x v Sx x Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

34 1.4 Arbeit und Energie Damit lautet das Integral auf der linken Seite: x B x A x B m a Sx dx=m x A v Sx v dv B Sx dx dx=m v Sx dv 1 Sx= v A 2 m v 2 B v A2 Kinetische Energie: Die Größe E K = 1 2 m v 2 S wird als kinetische Energie des Körpers bezeichnet. Dabei ist v S die Geschwindigkeit des Schwerpunkts. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

35 1.4 Arbeit und Energie Einheit der kinetischen Energie: Arbeit: [ E K ]=kg m2 =Nm=J (Joule) 2 s Das Integral auf der rechten Seite wird als Arbeit der äußeren Kräfte bezeichnet: x B W AB = x A F x x dx W AB ist die Arbeit, die die äußeren Kräfte F x verrichten, wenn der Körper entlang der x-achse von der Stelle x A an die Stelle x B verschoben wird. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

36 1.4 Arbeit und Energie Arbeitssatz: Mit den eingeführten Definitionen gilt: E B K E A K =W AB Die Differenz zwischen der kinetischen Energie E K B des Körpers im Punkt B und der kinetischen Energie E K A im Punkt A ist gleich der von den angreifenden Kräften auf dem Weg von Punkt A nach Punkt B verrichteten Arbeit W AB. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

37 1.4 Arbeit und Energie Hubarbeit: Der Körper der Masse m wird entlang der vertikalen x-achse von der Stelle x A an die Stelle x B verschoben. Dabei wirkt auf ihn die entgegen der x- Achse gerichtete Gewichtskraft G=mg Für die Arbeit gilt: W AB G = x B m g dx= m g x B x A x A x x B x A G Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

38 1.4 Arbeit und Energie Federarbeit: F F x x A x B Ein Körper, an dem eine Feder angreift, wird entlang der x- Achse von der Stelle x A an die Stelle x B verschoben. Dabei greift an ihm die Federkraft an. Die Federkraft verrichtet die Arbeit W AB x B F = c x x 0 dx= 1 x A F F x =c x x 0 2 c [ x B x 0 2 x A x 0 2 ] Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

39 1.4 Arbeit und Energie Reibungsarbeit: μ R G x N x A x B Ein Körper der Masse m wird auf einer rauen Oberfläche entlang der x-achse von der Stelle x A an die Stelle x B verschoben. Dabei wirkt auf ihn die Reibungskraft R= N = m g. Sie verrichtet die Arbeit W AB R = x B m g dx= m g x B x A x A Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

40 1.4 Arbeit und Energie Beispiel: Bremsendes Fahrzeug Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit eine geneigte Straße hinunter. Der Fahrer tritt heftig auf die Bremse, so dass das Fahrzeug mit blockierten Rädern rutscht. Wie weit rutscht das Fahrzeug? x A s=x B x A x B s v x α Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

41 Zahlenwerte: 1.4 Arbeit und Energie Fahrzeuggewicht G = 17,5kN Geschwindigkeit v = 6m/s Neigungswinkel α = 10 Gleitreibungskoeffizient μ = 0,5 Kräfte am freigeschnittenen Fahrzeug: α y F y =0 : N G cos =0 G N =G cos R= N = G cos x R N Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

42 1.4 Arbeit und Energie Von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit: W G AB =G sin s Von der Reibungskraft verrichtete Arbeit: W R AB = R s= Gcos s Kinetische Energien: E A K = 1 2 G g v2, E B K =0 Arbeitssatz: E K B E K A =W G R AB W AB Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

43 1.4 Arbeit und Energie Einsetzen der Arbeiten und Energien in den Arbeitssatz: 1 2 G g v2 =G s sin G s cos =G s sin cos s= v2 2 g 1 cos sin Zahlenwert: s= 62 m 2 /s 2 2 9,81m/s 2 1 0,5cos 10 sin 10 =5,76 m Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

44 1.4 Arbeit und Energie Potenzielle Energie: Der Körper der Masse m wird von x A nach x C verschoben. Dabei gilt für die Hubarbeit: W G AC = m g x C x A Anschließend wird der Körper von x C nach x B verschoben. Dabei gilt für die Hubarbeit: W CB G = m g x B x C Für die gesamte Hubarbeit folgt: x x C x B x A G W G AC W G G CB = m g x C x A x B x C = m g x B x A =W AB Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

45 1.4 Arbeit und Energie Die Hubarbeit hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab, nicht vom Weg, auf dem der Körper vom Anfangs- an den Endpunkt gebracht wird. Sei R ein beliebig gewählter Bezugspunkt. Die potenzielle Energie der Gewichtskraft oder Lageenergie im Punkt A ist die Arbeit, die die Gewichtskraft verrichtet, wenn der Körper vom Punkt A an den Bezugspunkt R verschoben wird: Für die Hubarbeit gilt dann: E G A =W G AR = m g x R x A =m g x A x R W G AB =W G AR W G RB = m g x R x A x B x R =E G G A E B Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

46 1.4 Arbeit und Energie Auch die Federarbeit hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab. Wird als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Federkraft der Zustand der entspannten Feder gewählt, dann gilt für die Federenergie: E F x = 1 2 c x 2 Für die Federarbeit folgt damit: W F AB =E F x A E F x B =E F F A E B Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

47 1.4 Arbeit und Energie Die Reibungsarbeit hängt nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt ab, sondern auch vom Weg, auf dem der Körper vom Anfangs- in den Endpunkt gebracht wird. μ x x A x B x C Wird der Körper direkt von A nach B gebracht, so gilt für die Reibungsarbeit: W R AB = m g x B x A Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

48 1.4 Arbeit und Energie Für die Reibungsarbeit von Punkt A nach Punkt C gilt: W R AC = m g x C x A Für die Reibungsarbeit von Punkt C nach Punkt B gilt: W R CB = m g x C x B Wird der Körper über den Punkt C vom Punkt A an den Punkt B verschoben, dann gilt: W R AC W R R CB = m g x C x A x C x B W AB Für die Reibungskraft kann keine potenzielle Energie definiert werden. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

49 1.4 Arbeit und Energie Konservative und dissipative Kräfte: Kräfte, für die eine potenzielle Energie definiert werden kann, heißen konservative Kräfte. Kräfte, für die keine potenzielle Energie definiert werden kann, heißen dissipative Kräfte. Die Gewichtskraft und die Federkraft sind konservative Kräfte. Die Reibungskraft ist eine dissipative Kraft. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

50 Energieerhaltungssatz: 1.4 Arbeit und Energie Die Arbeit W K der konservativen Kräfte kann aus der Differenz der potenziellen Energien berechnet AB werden: Wird die Arbeit der dissipativen Kräfte mit W D AB bezeichnet, so lautet der Arbeitssatz: W K AB =E P P A E B E K B E K A =W K AB W D AB =E P A E P D B W AB Daraus folgt: E K B E BP E K D A E AP =W AB Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

51 1.4 Arbeit und Energie Die Änderung der Summe aus kinetischer und potenzieller Energie eines Körpers ist gleich der Arbeit der an ihm angreifenden dissipativen Kräfte. Die Arbeit der dissipativen Kräfte ist immer negativ. Wenn an einem Körper nur konservative Kräfte angreifen, dann gilt der Energieerhaltungssatz: E B K E B P =E A K E A P Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

52 1.4 Arbeit und Energie Beispiel 1: Bremsendes Fahrzeug Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit v eine geneigte Straße hinunter. Der Fahrer tritt heftig auf die Bremse, so dass das Fahrzeug mit blockierten Rädern rutscht. Wie weit rutscht das Fahrzeug? s v α Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

53 Reibungsarbeit: Reibungskraft: 1.4 Arbeit und Energie y α F y =0 : N G cos =0 N =G cos R= N = G cos x G R Reibungsarbeit: W R AB = R s= G cos s N Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

54 1.4 Arbeit und Energie Bezugspunkt für die Lagenenergie: Ort bei Bremsbeginn Punkt A: Bremsbeginn Kinetische Energie: Lageenergie: Punkt B: Bremsende Kinetische Energie: E A K = 1 1 E A G =0 E B K =0 G g v2 Lageenergie: E B G = G s sin Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

55 1.4 Arbeit und Energie Arbeitssatz: E K B E BG E K R A E AG =W AB G s sin 1 2 G g v2 = G s cos s cos sin = 1 2 v 2 g s= v2 2 g 1 cos sin Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

56 1.5 Leistung Leistung: Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeiteinheit: P= dw dt Die Einheit der Leistung ist 1 J s =1 N m s =1W (Watt) Aus der Definition der Arbeit folgt P= dw dt = F x dx dt =F x dx dt P=F x v Sx Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

57 1.5 Leistung Wirkungsgrad: Der mechanische Wirkungsgrad η einer Maschine ist definiert als das Verhältnis der abgegebenen Nutzleistung P N zur aufgewendeten Leistung P A : = P N P A Wegen der stets auftretenden Verluste ist η < 1. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

58 1.5 Leistung Beispiel: Ein PKW fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit v von 60km/h auf ebener Straße. Die Motorleistung P A beträgt 30kW. Der Wirkungsgrad η hat einen Wert von 0,8. Wie groß ist die Antriebskraft F? Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM

59 1.5 Leistung Für die Nutzleistung gilt: P N =F v Daraus folgt: = F v P A P A v =F Zahlenwert: F= 0, Nm /s 60/3,6 m/s =1,44 kn Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM