5 Kreisbewegung und Rotation (rotación, la)

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1 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer 1 5 Kreisbewegung und Rotation (rotación, la) A1: Nenne Beispiele für kreisförmige Bewegungen und Drehungen aus dem Alltag! A2: Nenne die grundlegenden Bewegungsformen die kennst! Abb.1: Turmspringer A3: Beschreibe die Unterschiede der Bewegungen in Abb.1. A4: Durch welche physikalischen Größen wird eine Translation beschrieben? 5.1 Die Bewegung auf der Kreisbahn, Drehwinkel A1: Beobachte den Sekundenzeiger auf deiner Uhr und beschreibe die Bewegung der Zeigerspitze. Wir beobachten, wie sich starrer Körper um eine feste Drehachse dreht. Abb.1: Die Position eines kreisenden Massenpunktes wird durch seinen Abstand r von der Drehachse und durch den Drehwinkel φ beschrieben. A2: Beschrifte die Abb.1 dementsprechend!

2 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer 2 Die Angabe des Drehwinkels erfolgt häufig im Bogenmaß: A3: Zeichne in den Einheitskreis (r = 1E) einen beliebigen Winkel φ und versuche eine Beziehung zwischen Bogenmaß und Gradmaß herzustellen! U = 2.π.r Abb. 2: Einheitskreis A4: Schreibe in die Tabelle die fehlenden Werte ein! Gradmaß Bogenmaß 2π π/2 1 Der von einem kreisenden Punkt zurückgelegte Kreisbogen b ist zum Drehwinkel φ direktproportional: b = k. φ k Porportionalitätsfaktor Das heißt das Verhältnis b ϕ = konstant = 2 rπ r 2π = b = r. φ Drehwinkel(ángulo de fase, el): b ϕ = r φ Drehwinkel b Kreisbogen r Radius der Drehbewegung Einheit: [φ] = rad Beachte: Der Drehwinkel ergibt sich als Quotient zweier Längen.

3 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer 3 A5: Der Sekundenzeiger einer Uhr ist 15mm, der Minutenzeiger 14mm und der Stundenzeiger 12mm lang. Berechne die Länge der Kreisbögen b, die die Zeigerspitzen in einer halben Stunde zurücklegen! Schreibe den Drehwinkel φ in Grad und in rad! A6: Eine CD hat einen Durchmesser d = 12cm. Die CD dreht sich 7000mal pro Minute. Berechne den Kreisbogen b, den der äußerste Punkt auf der CD zurücklegt. Schreibe den Drehwinkel φ in Grad und in rad! Die gleichförmige Drehung, Winkelgeschwindigkeit (angular velocity; velocidad angular, la) A1: Wiederhole die Begriffe Geschwindigkeit, Betrag der Geschwindigkeit, Richtung der Geschwindigkeit! Man spricht von einer gleichförmigen Drehung, wenn bei der Drehung des Körpers der Betrag der Geschwindigkeit gleich bleibt. Die Änderung des Drehwinkels wird durch die Winkelgeschwindigkeit ω beschrieben. Winkelgeschwindigkeit: Winkel g eschwindigkeit = ϕ ω = t Änderung des Drehwinkels dazu benötigte Zeit ω Winkelgeschwindigkeit φ Änderung des Drehwinkels t dazu benötigte Zeit A2: Leite die Einheit von ω her! Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Maß für die Schnelligkeit einer Drehbewegung. Für die gleichförmige Drehung gilt ω = konst.

4 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer 4 Für manche Anwendungen ist es wichtig die Zeitdauer T für eine Umdrehung anzugeben. Dazu erhalten wir aus der Definition der Winkelgeschwindigkeit: 2π ω = T T... Dauer einer Umdrehung 2π T = ω A3: Berechne die Winkelgeschwindigkeit einer rotierenden Spule eines elektrischen Generators, die 6mal pro Sekunde eine volle Drehung ausführt. A4: Eine Wäscheschleuder rotiert mit 1400 Umdrehungen pro Minute. Berechne die Winkelgeschwindigkeit ω und T! A5: Berechne die Winkelgeschwindigkeit des Sekunden-, Minuten- und Stundenzeigers! A6: Berechne die Winkelgeschwindigkeit der Erde auf ihrer Bahn um die Sonne (r Erdbahn =1, m)! Gib die dazugehörige Umdrehungsdauer in s an! A7: Berechne die Winkelgeschwindigkeit eines am Erdäquator mit der täglichen Erddrehung mitrotierenden Punktes! ( r Erde = 6370 km)

5 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer Die Bahngeschwindigkeit (velocidad (el) de la órbita) eines rotierenden Körpers Die Geschwindigkeit der Erde lässt sich aus dem zurückgelegten Weg und der dazu benötigten Zeit berechnen. Wir sprechen von der so genannten Bahngeschwindigkeit der Erde. Abb.1:Metallteile werden beim Schneiden tangential weggescleudert! A1: Beschrifte die Abb.2! Abb.2: Die Bahngeschwindigkeit wird auch Tangentialgeschwindigkeit genannt. A2: Vervollständige! s v = = = = r. ω t Bahngeschwindigkeit: v = r. ω v Bahngeschwindigkeit r Radius der Kreisbahn ω Winkelgeschwindigkeit A3: Bestimme die Einheit der Bahngeschwindigkeit! Bei der gleichförmigen Drehung bleibt der Betrag der Bahngeschwindigkeit konstant!

6 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer 6 A4: Berechne die Bahngeschwindigkeit eines Punktes am Äquator! A5: Berechne die Winkelgeschwindigkeit des Autoreifens eines PKWs, der mit einer Geschwindigkeit v = 130 km/h fährt. (r = 35cm)! Wie viele Umdrehungen pro Sekunde führt der Autoreifen aus? Die Zentripetalkraft (fuerza (la) centrípeta) und Zentripetalbeschleunigung(aceleración (la) centrípeta) A1: Wiederhole den Begriff der Trägheit! A2: Versuche mit dem Fahrrad eine Kurve ohne Neigung zu fahren! A3: Lass einen Körper an einer Schnur um dich kreisen und beschreibe die Kraft, die du spürst! Um einen Körper von seiner gradlinigen Bahn auf eine Kreisbahn abzulenken, ist wegen der Trägheit eine Kraft normal zur gradlinigen Bahn notwendig. Diese Kraft wirkt immer zum Zentrum der Kreisbahn (zur Drehachse) hin und heißt Zentripetalkraft. A4: Zeichne eine Massenpunkt der sich auf der Kreisbahn bewegt ein. Zeichne weiters die Richtungen der Bahngeschwindigkeit, der Zentripetalkraft und Zentripetalbeschleunigung dieses Massenpunkts ein! Abb.4: Wirkt auf einen Körper mit der Masse m normal zur Bahngeschwindigkeit v r eine Kraft F r, so wird der Körper in diese Richtung beschleunigt. Zentripetalkraft (fuerza (la) centrípeta): m. v F = r 2

7 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer 7 F Betrag der Zentripetalkraft m Masse v Geschwindigkeit r Radius Die Zentripetalkraft ist stets zum Mittelpunkt der Kreisbahn gerichtet. Sie wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. A5: Leite die Einheit der Zentripetalkraft in Basiseinheiten her! A6: Überlege welche Beziehung für die Zentripetalbeschleunigung (aceleración (la) centrípeta) gilt? A7: Setze für den Betrag der Bahngeschwindigkeit v = r.ω ein! A8: Zwei Rennautos fahren Seite an Seite in eine Kurve. Vergleiche die Zentripetalkräfte a. bei gleicher Winkelgeschwindigkeit b. bei gleicher Bahngeschwindigkeit! A9: Nenne Beispiele, wo im täglichen Leben Zentripetalkräfte auftreten! A10: Mit einem Karussell wird eine Person mit der Masse von 60 kg auf einer Kreisbahn von etwa 6m bewegt. Das Karussell benötig für eine Umdrehung die Zeit T = 4s. Welche Zentripetalkraft wirkt auf die Person? A11: Ein Auto fährt durch eine Kurve, deren Radius r = 15 m beträgt. Welche Zentripetalbeschleunigung (aceleración (la) centrípeta) muss auf das Auto wirken, wenn die Kurve mit 30, 60 und 120 km/h durchfahren wird! A12: Berechne die Zentripetalbeschleunigung (aceleración (la) centrípeta) auf ein Teilchen des Reifenprofils bei einer Geschwindigkeit v = 100 km/h! (Reifenradius r = 25 cm) A13: Der Mond umkreist die Erde in einer Entfernung von etwa km und braucht für einen Umlauf etwa 27 Tage. Wie groß ist die Zentripetalbeschleunigung (aceleración (la) centrípetades) Mondes?

8 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer 8 A14: Wie groß ist die Zentripetalbeschleunigung (aceleración (la) centrípeta) auf ein Wäschestück in einer Wäscheschleuder, die mit 1400 Umdrehungen pro Minute rotiert. (r = 10 cm)? A15: Auch beim Paartanz gilt das 3. Newton sche Axiom. Überlege, was sich über die Bahnradien bei Tanzenden mit unterschiedlichen Massen sagen lässt. Abb.5: Paartanz

9 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer Der Drehimpuls (angular momentum; impulso o ímpetu angular, el) Der Drehimpuls im abgeschlossenen System Eine Drehung wird durch den Radius, durch die Geschwindigkeit und durch die Lage der Drehbahn bestimmt. Versuch1: Die Versuchsperson sitzt am Drehschemel und zieht bei langsamer Rotation die Gewichte zum Körper. A1: Beobachte den Versuch und beschreibe den Versuchsverlauf! (Skizze!) Für einen Massenpunkt gilt: Die Bahngeschwindigkeit nimmt zu, wenn sich der Radius verkleinert. m. v 1. r 1 = m. v 2. r 2 Drehimpuls (impulso o ímpetu angular, el) L = m.v. r L Drehimpuls(impulso o ímpetu angular, el ) m Masse(masa, la) v Bahngeschwindigkeit(velocidad (la) de la órbita) Einheit: [L] = J.s A2: Leite die Einheit des Drehimpulses in Basiseinheiten her!

10 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer 10 Beispiele von Drehimpulsen in J.s Kreisbahn der Erde um die Sonne Erdrotation Autoreifen ( bei ca. 100 km/h) Auto-CD Planck sches Wirkungsquantum h 6, A3: Rechne nach, ob der angegebene Wert für den Drehimpuls der Bewegung der Erde um die Sonne richtig ist. (r = 150 Mio km, m E = Pkg) Die Drehbewegung lässt sich besser beschreiben, wenn Vektoren verwendet werden! A4: Beschrifte die Abbildung! Abb1. : Die Orientierung des Drehimpulsvektors hängt vom Drehsinn ab. r r r Der Drehimpuls ist ein Vektor: L = mr v Für gleichförmig bewegte Körper auf sie wirkt keine Kraft gilt der Impulserhaltungssatz. Für kreisende Körper gilt die Erhaltung des Drehimpulses: Satz von der Erhaltung des Drehimpulses In einem abgeschlossenen System bleibt der Drehimpuls konstant.

11 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer 11 r L = konst. r L = 0 r L...Drehimpulsvektor(impulso o ímpetu angular, el) r L...Änderung des Drehimpulsvektors A5: Nenne Beispiele zur Drehimpulserhaltung und erkläre diese! Versuch 2: Führe Drehschemelversuche durch, die die Drehimpulserhaltung zeigen! A DieVersuchsperson sitzt auf einem ruhenden Drehschemel und hält ein Rad in den Händen. Sie versetzt das Rad in Drehung. Beschreibe was passiert! B Ein sich drehendes Rad wird der Versuchsperson von außen in die Hände gegeben. Beschreibe was passiert! C Ein sich drehendes Rad wird der Versuchsperson von außen in die Hände gegeben und die Versuchsperson kippt die Drehachse. Beschreibe was passiert!

12 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer Das Trägheitsmoment(momento de inercia, el) Beispiel: Schwungrad Wir betrachten ein rotierendes Schwungrad und stellen es uns aus vielen kleinen Massenpunkten vor. Abb.1: Schwungrad A1: Berechne den Betrag des Drehimpuls des Schwungrads Trägheitsmoment(momento de inercia, el) Für einen Massenpunkt: I = m.r 2 I.Trägheitsmoment(momento de inercia, el) m...masse(masa, la) r...radius(radio, el) Einheit:[I] = kg.m 2

13 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer 13 Daraus folgt, dass die Trägheit bei einer Drehbewegung, nicht nur von der Masse abhängt sondern auch von der Entfernung! A2: Leite die Formel L = I.ω her! A3: Der Drehimpuls ist eine vektorielle Größe. Wie muss die Formel L = I.ω vektoriell geschrieben aussehen? A4: Welche Richtung hat die Winkelgeschwindigkeit in den beiden Drehungen? Beispiel: Neutronenstern Die meisten Sterne rotieren wie unsere Sonne langsam um die Achse. Der Drehimpuls ist durch L = I.ω gegeben. Es kann vorkommen dass ein solcher Stern unter der eigenen Gravitationskraft zusammenfällt. Sein Radius verkleinert sich von Millionen Kilometer auf ungefähr 10km. A5: Wie wird sich der Stern nun verhalten?

14 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer Das Drehmoment (momento, el (de torsión)) A1: Beschreibe, wie sich ein starrer Körper bewegt, wenn auf ihn zwei parallele, entgegen gesetzt orientierte Kräfte wirken! Wie bewegt sich der Körper wenn die Kräfte im Massenmittelpunkt angreifen? Abb1: Drehung eines starren Körpers Solche Bewegungen treten im Alltag häufig auf: Der Hebel Abb2: Hebel A2: Welcher Arm ist der Lastarm welcher der Kraftarm? A3: Vergleiche die Arbeit W die links bzw. rechts verrichtet wird! Daraus folgt das Hebelgesetz (principio (el) de equilibrio de momentos): Last mal Lastarm = Kraft mal Kraftarm

15 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer 15 Abb.3: Eine Kraft wirkt auf eine Drehscheibe die drehbar gelagert ist. A4: Beschrifte die Abbildung. A5: Welcher Zusammenhang gilt zwischen l, r und φ? Drehmoment M = F. l M Drehmoment(momento, el (de torsión)) F.Kraft(fuerza, la) l Hebelarm(planca,la) A6: Gib die Einheit des Drehmoments in Basiseinheiten an! Das Drehmoment ist eine vektorielle Größe! Als Vektor geschrieben: r r r M = F r ist der Abstand vom Drehpunkt zum Angriffspunkt der Kraft. A7: Zeichne jeweils eine angreifende Kraft den Drehpunkt und die Orientierung des Drehmoments ein!

16 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer 16 A8: Nenne Situationen aus dem Alltag, in denen Drehmomente auftreten! A9: Gib Beispiele für Hebel als Kraftübersetzer aus dem Alltag an! A10: Wo treten Drehmomente und Hebel beim Fahrrad auf? A11: Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt für die Leistung P = M.ω. In einem Autoprospekt steht bei 3600 Upm hat das Auto ein Drehmoment M = 200 Nm. Berechne ω der Kurbelwelle und die Leistung des Motors!

17 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer Die Rotationsenergie (energía de rotación, la) Versuch: Energierad oder Jojo Wir vergleichen die Bewegung eines frei fallenden und eines abrollenden Jojo. Abb.1: Jojo A1: Skizziere und beschreibe den Versuch! A2: Überlege: Das fallende und das abrollende Jojo erreichen beide das Ende der Schnurlänge. Welcher der beiden Körper hat mehr Energie? Welche Energieformen treten bei beiden Körpern auf? A3: Überlege: Was geschieht mit der Energie des frei fallenden Jojo, wenn es am Boden aufprallt? Was bewirkt die Energie des abrollenden Jojos, wenn die Schnur ganz abrollt? A4: Leite die Formel der Rotationsenergie aus der Formel der kinetischen Energie her!

18 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer 18 Rotationsenergie 2 ω Ek = I 2 E k Rotationsenergie (energía de rotación, la) I...Trägheitsmoment (momento de inercia, el) ω...winkelgeschwindigkeit (velocidad angular, la) Versuch: Ein Hohlzylinder und ein massengleicher voller Zylinder mit gleichen Abmessungen rollen eine schiefe Ebene hinunter! Erkläre das unterschiedliche Verhalten! 5.4 Rotierende Bezugssysteme (sistema (el) de referencia) A1: Was ist ein Inertialsystem (sistema (el) inercial)? Versuch: Eine Versuchsperson fährt mit dem Fahrrad durch die Kurve (Rotierender Beobachter)! Eine andere Person beobachtet diesen Vorgang (Ruhender Beobachter). Abb.1: Radfahrer A2: Beschreibe was die beiden Beobachter wahrnehmen! Ruhender Beobachter Rotierender Beobachter Beispiele: Kurvenfahrt eines Autos

19 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer 19 A3: Beschreibe was der ruhende bzw. der rotierende Beobachter wahrnimmt. Ruhender Beobachter Rotierender Beobachter Zentrifuge Ruhender Beobachter Rotierender Beobachter Die Kraft die nach außen auftritt wird als Scheinkraft bezeichnet, da sie nur in einem rotierenden (beschleunigten) Bezugssystem auftritt. Sie wird durch die Trägheit verursacht. A4: Erkläre die Wirkungsweise einer Wäscheschleuder! A5: Warum ist die Erdbeschleunigung am Äquator geringer? A6: Berechne, ab welcher Umdrehungsgeschwindigkeit die Erde (ab welcher Tageslänge) das Gewicht am Äquator verschwinden würde!

20 5 Kreisbewegung und Rotation Hofer 20 A7: Vergleiche die entsprechenden physikalischen Größen der Translation und der Rotation! Translation Weg s r Geschwindigkeit Rotation Winkelbeschleunigung r r ω α = t Masse Drehimpuls Rotationsenergie r r Bewegungsgleichung M = I α Leistung P = F v (v=konstant) Leistung P = M ω (v=konstant)