Fakultät für Physik Wintersemester 2016/17. Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik

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1 Fakultät für Physik Wintersemester 16/17 Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik Dr. Andreas K. Hüttel Blatt 8 / Schwerpunkte Berechnen Sie den Schwerpunkt in Abhängigkeit vom Radius R für folgende Körper: (a) Viertelzylinder der Länge l Der Viertelzylinder liege mit einer Achsenspitze auf dem Ursprung des Koordinatensystems; die Unterfläche auf der xy-ebene, im Bereich positiver x- und y-werte. Wir verwenden naheliegenderweise Zylinderkoordinaten. x = r cosφ y = r sinφ x s = 1 V V xdv = 1 V V dv = r dr dφ dz V1 4 Zylinder = 1 4 πr l r cos(φ)r drdφdz = 1 V R 3 = 1 V 3 l [sin(φ)] π = 1 V Aus Symmetriegründen muß gelten y s = x s R l r dr lr 3 3 = 4R 3π π dz cos(φ)dφ Einfach zu begründen und ähnlich herzuleiten wie x s ist daß der Schwerpunkt auf halber Höhe liegt: (b) Halbkugel mit Radius R z s = l Wir verwenden Kugelkoordinaten. Die Schnittfläche der Halbkugel liegt in der xy-ebene des Koordinatensystems, der Mittelpunkt der dazugehörigen Vollkugel im Ursprung. x = r cos(θ)cos(φ) y = r cos(θ)sin(φ) z = r sin(θ) dv = r cos(θ)dr dφ dθ z s = 1 V V zdv = 1 V R π/ π θ= φ= r sin(θ) r cosθ dφ dθ dr =

2 ... und wir schauen die Stammfunktion zu sin(x) cos(x) im Bronstein nach... = 1 [ r 4 ] R [ 1 ] π/ V 4 (cos(θ)) [φ] π φ= = 1 R 4 1 r= θ= V 4 π Mit dem Volumen erhalten wir V1 Kugel = πr3 3 z s = 3 8 R Aus Symmetriegründen muß gelten (aber wenn Sie wollen können Sie es auch genauso ausrechnen) x s = y s =. Wassermolekül Mit Mikrowellenstrahlung lässt sich die Rotation von Wassermolekülen in Lebensmitteln anregen. 1 Ein Wassermolekül kann durch 3 Punktmassen vereinfacht dargestellt werden (siehe Bild). (a) Wo liegt der Schwerpunkt des Wassermoleküls? Verwenden Sie das Periodensystem, um die Massen von Wasserstoff- und Sauerstoff-Atomen zu ermitteln. Abbildung 1: H O-Molekül Sogar mit Google finden Sie sofort c = 96pm und θ = 14,5. (Eigentlich hat das aber auf der Angabe gefehlt.) Wir legen den Ursprung auf das O-Atom, und die x-achse waagrecht. Damit gilt dann sin(α) = a c ( 14,5 ) a = sin m = 75,9 1 1 m 1 Siehe auch

3 Abbildung : Skizze zur Lösung / Wassermolekül ( 14,5 ) b = cos m = 58,8 1 1 m r sx = i M i r i i M i = 16u + 58, m u 16u + u = 6, m Wegen der Spiegelsymmetrie (an der waagrechten Linie durch O, also an der x-achse) muß gelten r sy = (b) Berechnen Sie das Trägheitsmoment bei einer Drehung um den Schwerpunkt, bei der die Drehachse senkrecht zur Ebene des Moleküls liegt. [korrigiert] c = (b r sx ) + a = 9,1 1 1 m I = m i ri = m O rsx + m H c =, kg m i (c) Wasser wird in einem Mikrowellenofen mit einer Anregungsfrequenz von f =.4 GHz zur Rotation gebracht. Nehmen Sie an, daß die kinetische Energie der Rotation nach dieser Anregung E kin = h f mit dem Planckschen Wirkungsquantum h (nachschlagen!) ist. Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Drehung eines so angeregten einzelnen Wassermoleküls. [korrigiert] E photon = hω A = h f A =,4 1 9 s 1 6, Js = 1,6 1 4 J = E rot = Iω rot E ω rot = = 3, s 1 I (Diese Rechnung ergibt allerdings nur eingeschränkt viel Sinn, weil für solche Phänomene die Quantenmechanik eine wichtige Rolle spielt.)

4 3. Fahrrad Ein Fahrrad mit der Geschwindigkeit v = 8,4m/s wird vom Zeitpunkt t = an konstant abgebremst, so dass es nach 115m zum Stillstand kommt. Jeder Reifen hat einen Durchmesser von 68cm. Bestimmen Sie (a) die Winkelgeschwindigkeit der Räder zur Zeit t = ω = v R = 8,4m/s,34m = 4,7 1 s (b) die Anzahl der Umdrehungen eines Reifen, bis das Fahrrad zum Stillstand kommt (c) die Winkelbeschleunigung n = x brems πr = 115m π,34m = 53,8Umdrehungen α = d ϕ dt ϕ = 1 α t ; mit konst. Winkelbeschleunigung folgt t = ω α ϕ = πn α = ω ϕ α = (ω ω ) π n α =,9 1 s (d) die Zeit, die benötigt wird, um die Reifen zum Stillstand zu bringen t = ω ω α = 4,7,9 s = 7,4s Stattdessen fährt nun das Rad mit gleicher Ausgangsgeschwindigkeit bei t = gegen eine niedrige Wand, wodurch das Vorderrad sich nicht weiter drehen kann und die Radnabe nun still steht. Fahrrad und Fahrer mit zusammen m = 75kg als Massenpunkt im Abstand von x = 6cm und y = 3cm rotieren um die Radnabe. Berechnen Sie (e) die Tangentialgeschwindigkeit, r =.6 +,3 m =,671m ϕ = arctan(y/x) = 6,57 v T = v sinϕ = 8,4m/s sin(6,57 ) = 3,76m/s

5 (f) die Winkelgeschwindigkeit, ω = v T /r = 5,6s 1 (g) das Trägheitsmoment und I = m r = 75kg,671 m = 33,76kgm (h) die Rotationsenergie von Fahrrad und Fahrer. 4. Vektoren E rot = 59,48J (a) Bestimmen Sie je den Betrag und den Einheitsvektor der folgenden Vektoren 7 a = 1 ; b = 6 ; c mit r = 5, ϕ = 7,53, z = 8 in Zylinderkoordinaten 4 a = 3; e a = ( /3,1/3,/3) b = 11; e b = 1 11 b 5/3 c = 4, 7141 c = 1.546; e c = (,47414;,446994;,758566) 8 (b) Leiten Sie aus dem Kosinussatz das Skalarprodukt her. Erinnerung: Der Kosinussatz besagt für die drei Seiten eines Dreiecks und den der Seite c gegenüberliegenden Winkel ϕ c = a + b a b cos(ϕ) Für die Beträge der Vektoren a und b gilt a = a 1 + a + a 3 Mit c = a b erhalten wir Ausmultiplizieren ergibt b = b 1 + b + b 3 c = (a 1 b 1 ) + (a b ) + c = a + b a 1 b 1 a b a 3 b 3 Aus dem Vergleich mit dem Kosinussatz ergibt sich a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 = a b cos(ϕ) Die rechte Seite dieser Gleichung ist gerade die Definition des Skalarprodukts (Länge von a mal Länge von b mal Cosinus des dazwischenliegenden Winkels), die linke Seite unsere Formel für Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem.

6 (c) Bilden Sie den Vektor senkrecht zu a und b. Bilden diese Vektoren ein rechtwinkliges Koordinatensystem? 8 d = a b = 19 Ja, a steht senkrecht auf b, und damit stehen aufgrund der Eigenschften des Kreuzprodukts alle drei Vektoren paarweise senkrecht aufeinander. (d) Bilden Sie aus diesen Vektoren nun ein Orthonormalystem. Mit der Formel e x = x x bilden wir die zu den drei Vektoren gehörigen Einheitsvektoren: e a = 1 3 a e b = 1 11 b d = 99 e d = 1 99 d