Mathematik II Lösung 9. Lösung zu Serie 9

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1 D-EDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana annas 5. April 6 Lösung zu Serie 9. Überprüfung des Satzes von Green Für die Kreisscheibe mit adius a um Null gilt, dass die äußere Einheitsnormalen in einem Punkt (x, y auf dem and durch n a (x, yt gegeben ist. Der Tangentialvektor bei Durchlaufen von in positivem Sinne ergibt sich zu T a ( y, xt. a Definitionsgemäß berechnet sich der Fluss von F durch zu ( y F n ds ( x ds dx. x a y Andererseits gilt für die Divergenz von F : M x + N +. Damit liefert die Formel aus dem Satz von Green das Ergebnis ( M x + N dx dy dx dy. Für die Zirkulation von F entlang im positiven Sinne ergibt sich bei Berechnung mittels der Definition ˆ π ( ( F T a sin(t sin(t ds a dt πa. a cos(t cos(t Als otation von F erhalten wir rot F N x M (. Damit liefert die Formel aus dem Satz von Green: ( N x M dx dy ( ( dx dy wobei Vol ( den Flächeninhalt des Gebietes bezeichnet. b Der Fluss von F durch ist laut Definition F n ds ˆ π ( y a ( x ds y Die Divergenz von F verschwindet wieder: ˆ π [ a a sin(t cos(t dt sin(t M x + N +, dx dy Vol ( πa, ( ( a sin(t cos(t a dt sin(t ] tπ t.

2 D-EDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana annas 5. April 6 sodass die Formel aus dem Satz von Green ebenfalls gibt: ( M x + N dx dy dx dy Für die Zirkulation von F entlang im positiven Sinne erhalten wir nach der Definition F T ds ˆ π ( a sin(t Dagegen lautet die otation von F ( sin(t cos(t rot F. ˆ π a dt a sin (t dt πa. Somit liefert die Formel aus dem Satz von Green ( N x M dx dy dx dy Vol ( πa. c Der Fluss von F durch ist - nur mit Hilfe der Definition: F n ds a ( ( x 3y ˆ π a ( x ds y cos (t dt 3 ˆ π ˆ π Andererseits erhält man als Divergenz von F : M x + N ( ( a cos(t cos(t a dt 3a sin(t sin(t sin (t dt a (π 3π πa. + ( 3, sodass die Formel aus dem Satz von Green ( M x + N dx dy dx dy Vol ( πa liefert. Die Zirkulation von F entlang im positiven Sinne berechnet sich direkt zu F T ds Der Satz von Green liefert mit ( x 3y ˆ π ( y ds 5xy ds x a cos(t sin(t dt. rot F N x M ebenfalls Null: ( N x M dx dy dx dy.

3 D-EDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana annas 5. April 6 d Der Fluss von F durch ist F n ds a 4 ˆ π ( x y xy ( x a y Als Divergenz erhält man für F : sin(t cos(t dt a4 M x + N ˆ π ds a 4 cos(t sin(t ( cos (t sin (t dt ˆ π xy + xy sin(4t dt. 4 und damit liefert die Formel aus dem Satz von Green: ( M x + N dx dy dx dy. Für die Zirkulation entlang im positiven Sinne ergibt sich: F T ds ( x y xy a ˆ π a 4 cos (t sin (t dt a 4 ˆ π ( y ds x y ds x 4 sin (t dt a4 4 ˆ 4π sin (s ds π a4 4 πa4. Mit der Formel aus dem Satz von Green kommt man auf ( N x M ds (y ( x dx dy (x + y dx dy ˆ π ˆ a [ ] r r 4 a r dr dθ π a4 4 π.. a Der Fluss von F durch ist ( + dx dy Vol (Quadrat [, ] [, ] und die Zirkulation von F entlang ist ( ( dx dy. b Das dreieckige Integrationsbegiet, das vom den Geraden y, x 3 und y 3 berandet wird, kann beschrieben werden durch die Bedingung x 3 und y x. 3

4 D-EDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana annas 5. April 6 Der Fluss von F durch den and des Dreiecks ist ( x + y dx dy ˆ 3 ˆ 3 (y x dx dy [ y xy ] x x dx x3 3 dx 3 ˆ 3 ˆ x ˆ 3 9. Die Zirkulation von F entlang des andes des Dreiecks ist vgl. mit der echnung oben. (x y (x y dx dy 9, (y x dy dx ( x x dx }{{} x c Das Integrationsgebiet, das von der Kurve umrandet wird, kann dargestellt werden durch x, x y x. Dann ist der Fluss von F durch die Kurve (y + ( dx dy ˆ ˆ x ˆ ˆ [ ] y x (y dy dx x y dx x ( x [ x x4 x + x dx 4 3 x 3 x Die Zirkulation von F entlang der Kurve ist ( (x + y dx dy ˆ ˆ x ˆ ˆ ] + x3 3 [ ( x y dy dx y xy y ] x dx x x ( x x x x x + x 3 + x 4 dx [ 3 x 3 5 x 5 x x3 3 + x4 4 + x ] d Offenbar gilt für das Integrationsgebiet, das von der Kurve umrandet wird, x, x x y x. 4

5 D-EDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana annas 5. April 6 Dann ist der Fluss von F durch die Kurve (3x y + ˆ ˆ x x4 dx dy (3x y + x4 dy dx ˆ ˆ ˆ [ x9 x x [ x y 3 + x4 y ] x x x dy ( x 5 + x5 x (x x 3 x4 (x x ( x 8 + 3x 7 7 x6 + 3x 5 dx ] 9 + 3x8 8 x7 + x6 [x ( 6 x x 8 x + ] ( dy Die Zirkulation entlang der Kurve ist ( x 3 y x 3 y dx dy. 3. Anwendung des Satzes von Green a Wir verwenden hier den Satz von Green in der Form F T ds rot F dx dy wobei F (M, N T. Dann ist hier M y und N x und ist das Gebiet, welches von den Geraden y, x + y und x berandet wird: Somit gilt ( y dx + x dy dx dy x, y x +. ˆ ˆ x+ ˆ (x y dx dy (x y dy dx ˆ ( x ( x + + x dx ˆ ( 3x + x ( +. ] x+ [xy y dy dx [ x3 + x x ] 5

6 D-EDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana annas 5. April 6 Bemerkung: Man bemerke, dass auf den Geraden x und y der Integrand y dx+x dy verschwindet. Und auf der Strecke von (, nach (, ist y dx+x dy ( x dx x dx ( x dx und dies verschwindet bei Integration über (, bzw. aus Symmetriegründen. b Das Integrationsgebiet ist offenbar die Kreisscheibe, die vom angegebenen Kreis (Mittelpunkt (, 3, adius umrandet wird. Es sind M 6y + x und N y + y und mit dem Satz von Green folgt (6y + x dx + (y + x dy ( 6 dx dy 4. Flächenparametrisierungen 4 Vol (Kreis mit adius r 4 4π 6π. a Die Punkte im Inneren des Zylinders x + y sind genau die Punkte, die der Ungleichung x + y < genügen. Die Punkte, welche im Inneren des Zylinders x +y und auf der Ebene y +z liegen, sind als gegeben durch die Bedingung x + y < und y + z. Man könnte dies in Zylinderkoordinaten auch beschreiben als r <, θ < π und z r sin(θ. Eine denkbare Parametrisierung wäre demnach (r cos(θ, r sin(θ, r sin(θ, r <, θ < π. b Die Punkte auf dem Kegel z x + y können in Zylinderkoordinaten durch die Bedingung z r beschrieben werden. Der Teil des Kegels, welcher sich zwischen den beiden Ebenen z und z 6 befindet, kann demnach in Zylinderkoordinaten durch r 3, z r ausgedrückt werden. Damit ist eine zulässige Parametrisierung der Kegelstumpfs gegeben durch (r cos(θ, r sin(θ, r, r 3 c Wir bedienen uns wieder der Zylinderkoordinaten. Ein Punkt liegt genau dann auf dem Zylinder x + y, wenn r gilt. Ein Punkt liegt genau dann zusätzlich noch zwischen den beiden Ebenen z und z 4, wenn z 4. Eine mögliche Parametrisierung für das gegebene Kreiszylinderband ist also (cos(θ, sin(θ, z, θ < π, z 4 d Die parabolische Kappe besteht aus all jenen Punkten (x, y, z, für die z x y (schließlich sollen sie auf dem Paraboloid liegen gilt und z x + y (schließlich 6

7 D-EDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana annas 5. April 6 interessieren wir uns nur für den von besagtem Kegel ausgeschnittenen Teil. Bedienen wir uns wieder der Zylinderkoordinaten, so ist diese Menge gegeben durch r, z r. Dabei resultiert die Bedingung r daraus, dass die Schnittkurve des Kegels z x + y und des Paraboloids z x y der Kreis mit adius um den Ursprung in der Ebene z ist. Eine mögliche Parametrisierung für die parabolische Kappe wäre damit (r cos(θ, r sin(θ, r, r, θ < π e Die abgesägte Kugel besteht genau aus den Punkten (x, y, z auf der Kugeloberfläche, für die z x + y gilt. In Kugelkoordinaten sind die Punkte auf der Kugel parametrisiert durch ( cos(θ sin(ϕ, sin(θ sin(ϕ, cos(ϕ, wobei θ im Intervall [, π] und ϕ im Intervall [, π] rangiert. Die Punkte mit z x + y sind genau diejenigen Punkte, für die cos(ϕ sin(ϕ, d.h. cos(ϕ sin(ϕ gilt. Bekanntlich ist dies für ϕ [, π] genau für π 4 ϕ π erfüllt. Die abgesägte Kugel/Sphäre ist also gegeben durch 5. a hip ( cos(θ sin(ϕ, sin(θ sin(ϕ, cos(ϕ, θ [, π, ϕ [ π 4, π] I. Skizze des hips Abbildung : hip / Hyperbolisches Paraboloid II. Wir verwenden hier kartesische Koordinaten. Dann ergibt sich für die z-koordinate: z x y. Da für x und y die Bedingung x + y 9 gilt, rangiert also x im Intervall [ 3, 3] und zu einem x [ 3, 3] liegen die y, sodass x + y 9 ist, im Intervall [ 9 x, 9 x ]. Damit kommen wir zu der Parametrisierung r(x, y x y mit 3 x 3, 9 x y 9 x. x y, III. Die x-koordinatenlinien und y-koordinatenlinien sind bereits in der Skizze oben eingezeichnet. Die x-koordinatenlinien sind die von links nach rechts verlaufenden nach oben geöffneten Parabeln, während die y-koordinatenlinien die aus dem Bildvorder- in den Bildhintergrund verlaufenden nach unten geöffneten Parabeln sind. 7

8 D-EDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana annas 5. April 6 IV. Da die beiden Vektoren und x x y linear unabhängig sind, liefert das Kreuzprodukt einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor, der auf beiden senkrecht steht. n(x, y x x x y V. Der Normalenvektor im Punkt r(x, y ist genau dann parallel zu (,, T, wenn x und y ist. Dies entspricht dem Punkt r(, Alternative Lösung mit Zylinderkoordinaten: I. Skizze des hips 4. y. Abbildung : hip / Hyperbolisches Paraboloid II. Wir wählen Zylinderkoordinaten, d.h. (x, y, z (u cos(v, u sin(v, z mit u, v < π, z (a priori. Ein Punkt (x, y, z liegt genau dann auf dem hip, wenn sowohl u x + y 9, also u 3 als auch z x y u ( cos (v sin (v u cos(v, d.h. als (eine mögliche Parametrisierung erhalten wir r(u, v (u cos(v, u sin(v, u cos(v, u 3, v < π. III. Einige Koordinatenlinien sind in der Skizze bereits eingezeichnet. Die kreisförmigen Koordinatenlinien sind für konstanten adius u und die strahlenförmigen Koordinatenlinien für konstanten Winkel v. IV. Falls r r u und v linear unabhängig sind, liefert das Kreuzprodukt stets einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor, der senkrecht auf beiden steht, also einen 8

9 D-EDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana annas 5. April 6 Normalenvektor zur Fläche im Punkt r(u, v. Hier haben wir: cos(v r (u, v sin(v, u u cos(v r (u, v v u sin(v u cos(v. u sin(v Dies liefert n(u, v r cos(v u sin(v r (u, v (u, v sin(v u cos(v u v u cos(v u sin(v sin(v ( u sin(v u cos(vu cos(v u cos(v ( u sin(v cos(v ( u sin(v. cos(v u cos(v sin(v ( u sin(v u cos(v u sin(v. u (Man bemerke auch, dass sich der hier mit Zylinderkoordinaten bestimmte Normalenvektor von demjenigen in der vorigen Lösung mit kartesischen Koordinaten in dem Proportionalitätsfaktor u unterscheidet. Eine Probe zeigt, dass n(u, v (u, v n(u, v (u, v. u v (Man bemerke, dass die hier gewählte Parametrisierung zu n(, führt. Dies ist keine Singularität der Fläche, sondern nur eine Koordinatensingularität. Würden wir n(u, v normieren, erhielten wir einen sich stetig ändernden Normalenvektor auf der ganzen Fläche. Im Punkt r(, zeigen Normalenvektoren in ichtung der z-achse. V. Aus der vorangegangenen Bemerkung ist klar, dass der Normalenvektor bei u, v nicht parallel zu (,, T ist. Somit ist n(u, v in genau den Punkten parallel zu (,, T, in denen u cos(v u und u sin(v. Dies impliziert sin(v (also v oder v π und u cos(v. Da u sein muss, kommt also nur v π in Frage. Für u ergibt sich dann. Der einzige Punkt, in dem n(u, v parallel zu (,, ist, ist r(, π (,, 4 T. 9

10 D-EDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana annas 5. April 6 b Eine Parabolantenne I. Skizze der Parabolantenne Abbildung 3: Parabolantenne / Parabolisches Ellipsoid II. Gegeben z [, 3], liegt (x, y, z genau dann auf der Parabolantenne, wenn x 9z + y 4z. Dies beschreibt eine Ellipse und diese kann in Polarkoordinaten parametrisiert werden als (3 z cos(v, z sin(v, v < π. Folglich erhalten wir als (eine mögliche Parametrisierung der Parabolantenne 3: r(u, v (3 u cos(v, u sin(v, u, u 3, v < π III. In der Skizze 3 sind einige Koordinatenlinien für konstante Höhe u (Ellipsen und Koordinatenlinien für konstanten Winkel v eingezeichnet. IV. Wir gehen vor wie oben und erhalten mithilfe von 3 r u cos(v (u, v u u sin(v 3 u sin(v r (u, v u cos(v v als Normalenvektor 3 n(u, v r r u cos(v 3 u sin(v (u, v (u, v u v u sin(v u cos(v u sin(v u cos(v ( 3 u sin(v 3 u cos(v 3 u cos(v u cos(v u sin(v ( 3. u sin(v u cos(v 3 u cos(v u sin(v 3 u sin(v. 3(cos (v + sin (v 3

11 D-EDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana annas 5. April 6 V. n(u, v ist parallel zu (,, genau dann, wenn u cos(v 3 und 3 u sin(v. Es folgt, dass sin(v (also v oder v π sein muss und u 3 cos(v. Damit kommt also nur v π in Frage und u 9 4. Dies entspricht dem Punkt ( 9,, 9 4. (Man überzeuge sich mit Hilfe einer Probe davon, dass in diesem Punkt der Normalenvektor tatsächlich zu (,, T parallel ist. c Kühlturm I. Skizze des Kühlturms Abbildung 4: Kühlturm / Hyperboloid II. Wir verwenden wieder Zylinderkoordinaten. In diesen lautet die den Kühlturm beschreibende Gleichung r x + y z bzw. ( r ( z, 3 was mithilfe der Areafunktionen parametrisiert werden kann: r z cosh(u, sinh(u. 3 Damit haben wir: r(u, v (r cos(v, r sin(v, z ( 3 cosh(u cos(v, 3 cosh(u sin(v, 3 sinh(u Nun soll noch die z-koordinate zwischen und verlaufen, d.h. 3 sinh(u. Damit ist arsinh ( ( 3 u arsinh 3 (und v < π. III. In der Skizze 4 sind einige Koordinatenlinien für konstanten Winkel v und für konstante Höhe (was äquivalent zu konstantem u ist, eingezeichnet. IV. Für u und v erhalten wir 3 sinh(u cos(v u 3 sinh(u sin(v 3 cosh(u v 3 cosh(u sin(v 3 cosh(u cos(v

12 D-EDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana annas 5. April 6 und dies liefert n(u, v u 3 sinh(u cos(v v 3 cosh(u sin(v 3 sinh(u sin(v 3 cosh(u cos(v 3 cosh(u 3 sinh(u sin(v 3 cosh(u 3 cosh(u cos(v 3 cosh(u ( 3 cosh(u sin(v 3 sinh(u cos(v 3 sinh(u cos(v 3 cosh(u cos(v 3 sinh(u sin(v ( 3 cosh(u sin(v 6 cosh (u cos(v cosh(u cos(v 6 cosh (u sin(v 3 cosh(u cosh(u sin(v. 3 cosh(u sinh(u. sinh(u (Bemerke, dass cosh(u, was auch immer u ist. V. Der Normalenvektor steht parallel zu (,, genau dann, wenn cosh(u cos(v sinh(u und cosh(u sin(v gilt. Folglich ist v oder v π und sinh(u ± cosh(u. Mit der Eigenschaft cosh (u sinh (u folgt, dass 3 cosh, was keine Lösung besitzt. Folglich gibt es keinen Punkt auf dem gesamten Hyperboloid (nicht nur dem Kühlturm, in welchem der Normalenvektor parallel zu (,, steht. 6. a Man rechnet nach, dass (r + z (a cos(v + (a sin(v a und somit die gegebene Parametrisierung ( + a cos(v cos(u r(u, v ( + a cos(v sin(u a sin(v die Gleichung (r + z a erfüllt. u ist der Winkel zwischen der xz-ebene und der von der z-achse und dem Punkt (x, y, z aufgespannten Ebene. Deshalb muss u von bis π laufen, um den gesamten Torus zu parametrisieren. Die Halbebene, die von der z-achse und dem Punkt (x, y, z festgelegt wird, schneidet den Torus in einem Kreis. v ist der Polarwinkel, der diesen Kreis parametrisiert. Deshalb sollte v ebenfalls von bis π laufen. b Wie oben schon bemerkt, gibt u an, wie weit um die z-achse gedreht wurde, während v angibt, wie weit um den Drehkreis gedreht wurde. Damit sind die u-koordinatenlinien (v konst. die großen horizontalen Kreise, während die v-koordinatenlinien (u konst. die kleinen vertikalen Kreise sind. c Damit + a ( + a cos(v cos(u a r(u, v ( + a cos(v sin(u, a sin(v

13 D-EDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana annas 5. April 6 muss gelten: sin(u, sin(v, ( + a cos(v cos(u + a. Dies impliziert u oder u π. Da + a, muss cos(u und somit u sein. Ferner ist v π 4 oder v 3π 4. Da cos(v, kommt nur v π 4 in Frage. Eine Probe zeigt, dass in der Tat r(, π 4 ( + a,, a. Nun bestimmen wir einen Einheitsnormalenvektor mithilfe des Kreuzproduktes der Vektoren u und v. Allgemein gilt: ( + a cos(v sin(u u ( + a cos(v cos(u, a sin(v cos(u v a sin(v sin(u. a cos(v An der Stelle (u, v (, π 4 ergibt dies u (, π 4 + a und v (, π 4 a a. Folglich: u (, π 4 v (, π 4 + a a a ( + a a ( a a ( + a a a ( a Normierung liefert als Einheitsnormalenvektor. d Da T aus genau den Punkten besteht, für die (r +z a gilt und r x + y ist, kann T als Nullstellenmenge der Funktion dargestellt werden. g(x, y, z ( x + y + z a 3

14 D-EDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana annas 5. April 6 e Es gilt für alle (x, y, z 3 \ {(,, } (aber (,, liegt eh nicht auf T : ( x + y x x +y g(x, y, z ( x + y y x +y. z Da der Gradient senkrecht auf der Niveaufläche steht, liefert Normierung von g(x, y, z einen Einheitsnormalenvektor an den Torus, wenn (x, y, z T. Für (x, y, z ( + a,, a erhalten wir: a g( + a,, a und g( + a,, a a. a Somit erhalten wir als Einheitsnormalenvektor g( + a,, a g( + a,, a wie oben., 4