Prof. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst. Fakultät Mathematik TU Dortmund

Transkript

1 Prof. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst akultät athematik TU Dortmund usterlösung zum 5. Übungsblatt zur Höheren athematik II P/ET/AI/IT/IKT/P) SS Aufgabe Die läche R 3 sei der Teils des Paraboloids z +y, der zwischen den Ebenen z und z 4 liegt. a) Berechnen Sie y d o. z b) Berechnen Sie y do. c) Welchen lächeninhalt hat? d) Die läche und die Ebene z schließen einen Körper K ein. Berechnen Sie das Volumen von K. a) Eine Parameterdarstellung Φ von ist als raph der unktion f : R, f, y) + y, mit {, y) R + y < 4 } gegeben durch Φ : R 3, Φ, y) y y. f, y) + y Der Normalenvektor N, y) lautet N, y) Φ, y) Φ y, y) y. y Damit folgt y d o z y y d, y) + y ) 4 + 4y ) d, y) 4 + y ) d, y).

2 Wir verwenden nun die Transformation in Polarkoordinaten, um das letzte Integral zu berechnen. Das heißt, wir verwenden die Koordinatentransformation ϕ : mit, ), π) und ) r cos θ ϕr, θ). r sin θ Weiter gilt y d o 4 z 4 + y ) d, y) r cos θ + r sin θ ) r dr, θ) 4 r 3 dr, θ) 4 π r 3 dθ dr 4 r 3 π dr 8π 3π. r 3 dr 8π 4 r4 Alternativ lässt sich das vektorielle Oberflächenintegral auch wie folgt berechnen. Wir verwenden die Zylinderkoordinaten, y, z) r cos θ, r sin θ, z). Dann entspricht die leichung z + y in diesen Koordinaten der leichung z r. Damit ist eine Parameterdarstellung von gegeben durch Φ : R 3 mit, ), π), r cos θ Φ r, θ) r sin θ. r Der Normalenvektor Nr, θ) ist Nr, θ) Φ r r, θ) Φ cos θ r sin θ r cos θ θ r, θ) sin θ r cos θ r sin θ. r r Damit erhalten wir y d o z 4 r cos θ r cos θ r sin θ r sin θ dr, θ) r r r 3 cos θ + r 3 sin θ + r 3) dr, θ) π 3π. r 3 dθ dr

3 b) it Hilfe der Parameterdarstellung Φ und den Bezeichnungen aus Teilaufgabe a) erhalten wir Φ, y) Φ y, y) y 4 + 4y + und für das skalare Oberflächenintegral gilt mit Transformation auf Polarkoordinaten) y do y 4 + 4y + d, y) y ) d, y) + 4r cos θ + 4r sin θ ) r dr, θ) π π 36π. r + 4r 3 ) dr dθ 8 dθ [8θ] π θ π [ ] r + r 4 r dθ c) Der lächeninhalt von berechnet sich wieder unter Transformation in Polarkoordinaten) durch do 4 + 4y + d, y) 4r cos θ + 4r sin θ + r dr, θ) 4r + r dr, θ) π 4r + r dθ dr π 7 4 π 6 π 7 3 ). 4r + r dr u du 4 π d) Die enge K lässt sich wie folgt beschreiben: u 4r + du dr 8r r dr 8 du 3 u 3 7 K {, y, z) R 3 + y < z < }.

4 Das Volumen vol 3 K) von K lautet vol 3 K) d, y, z). K Das Integral lässt sich mit Hilfe von Zylinderkoordinaten berechnen. Die Koordinatentransformation Φ : K hat die Darstellung r cos θ Φr, θ, z) r sin θ z mit { r, θ, z) R 3 < r <, < θ < π, r < z < }, wobei der Betrag der unktionaldeterminante lautet det D Φr, θ, z) r. Es folgt mit der Transformationsformel vol 3 K) d, y, z) r dr, θ, z) K π π π r r dz dθ dr r r 3 ) dθ dr r r 3 ) dr [ π r ] 4 r4 π 4) π. r π rz dθ dr zr r r 3 ) θ π θ dr Aufgabe Es sei der Teil des elliptischen Paraboloids z 4 9y, der zwischen den Ebenen z und z liegt. sei durch den Normalenvektor orientiert, der nach oben zeigt. a) Skizzieren Sie. b) Bestimmen Sie den luss des Vektorfeldes v : R 3 R 3 durch mit v, y, z) y, z, ).

5 a) In der Skizze sind der raph der Abbildung f : R mit f, y) 4 9y sowie die Ebene z zu sehen, d.h. die, y)-ebene. Die läche ist oberhalb der Ebene zu erkennen. b) Als raph der unktion f : R, f, y) 4 9y, mit {, y) R 4 + 9y < } ist eine Parameterdarstellung Φ von durch Φ : R 3, Φ, y) y y f, y) 4 9y gegeben. Der Normalenvektor N, y) lautet 8 N, y) Φ, y) Φ y, y) 8 8y 8y. Die z-koordinate von N ist positiv, daher zeigt dieser Normalenvektor nach oben wie gewünscht. Somit folgt v d o v ) Φ, y) Φ, y) Φ y, y) ) d, y) y 8 4 9y 8y d, y) 8y + 8y 7 y 6y 3 + ) d, y). it Hilfe der Transformationsformel berechnen wir das letzte Integral. Die Einführung von elliptischen Koordinaten ergibt die Koordinatentransformation ϕ : mit, ), π) und r cos θ ) ϕr, θ) r sin θ 3.

6 Der Betrag der Determinante der unktionalmatri von ϕ lautet det D ϕu, v) det cos θ r sin θ ) sin θ r cos θ 6 r cos θ+ 6 r sin θ 6 r 6 r. 3 3 Weiter gilt dann v d o 8y + 8y 7 y 6y 3 + ) d, y) π r cos θ sin θ + 6r sin θ 6r 3 cos θ sin θ 6r 3 sin 3 θ + r cos θ ) π [ 9 r3 cos θ sin θ + r sin θ r 4 cos θ sin θ) dθ dr r 4 sin 3 θ + ) r cos θ dθ dr 9 r3 cos θ r cos θ + ] π 3 r4 cos 3 θ dr θ [ r 4 3 sin θ cos θ + 3 cos θ) + ] π r sin θ dr θ dr + dr r dr, θ) 6. Alternativ lässt sich das vektorielle Oberflächenintegral auch wie folgt berechnen. Eine Parameterdarstellung von ist durch Φ : R 3 mit, ), π), Φ r, θ), 3 r gegeben. Der Normalenvektor Nr, θ) ist cos θ r sin θ Nr, θ) Φ r r, θ) Φ θ r, θ) sin θ 3 r cos θ 3 r 3 r cos θ r sin θ r 6.

7 Damit erhalten wir v d o v Φ r, θ) ) Φr r, θ) Φ θ r, θ) ) dr, θ) r sin θ 3 r 3 r cos θ r sin θ dr, θ) r cos θ r 6 9 r3 sin θ cos θ + r sin θ r 4 sin θ + r cos θ) dr, θ) π π 9 r3 sin θ cos θ + r sin θ r 4 sin θ + r cos θ) dθ dr [ dr 9 r3 cos θ r cos θ + r 4 cos θ + ] π r sin θ dr. Aufgabe 3 Berechnen Sie das Integral ds, wobei die Sphäre {, y, z) R 3 + y + z 6 } ist. Die Sphäre besitzt die Parameterdarstellung 4 cos ϕ sin θ Φ : R 3, Φϕ, θ) 4 sin ϕ sin θ 4 cos θ mit, π), π). Der Normalenvektor lautet Φ ϕ ϕ, θ) Φ θ ϕ, θ) 6 cos ϕ sin θ 6 sin ϕ sin θ 6 sin ϕ sin θ cos θ 6 sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ sin θ 6 sin θ sin ϕ sin θ cos θ.

8 Also ist die Norm des Normalenvektors Φϕ ϕ, θ) Φ θ ϕ, θ) 6 sin θ cos ϕ sin θ + sin ϕ sin θ + cos }{{} θ 6 sin θ. sin θ } {{ } Das skalare Oberflächenintegral lautet somit ds 6 cos ϕ sin θ 6 sin θ dϕ, θ) π π 6 cos ϕ sin 3 θ dθ dϕ π π 64 3 π. [ cos ϕ 3 sin θ cos θ ] π 3 cos θ dϕ }{{} 4 3 cos ϕ dϕ 64 [ ) sin ϕ cos ϕ + ϕ 3 ] π Aufgabe 4 Es sei R 3 die Einheitssphäre {, y, z) R 3 + y + z } a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der eraden durch N :,, ) und u, v, ) mit, der von N verschieden ist; dieser Schnittpunkt sei mit fu, v) bezeichnet. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der eraden durch S :,, ) und r, s, ) mit, der von S verschieden ist; dieser Schnittpunkt sei mit gr, s) bezeichnet. c) Bestimmen Sie die Bilder der Abbildungen f : R und g : R, und zeigen Sie, dass f und g Parametrisierungen sind. d) Bestimmen Sie die Übergangsabbildung der Parametrisierungen f und g. a) Die erade durch die beiden Punkte N,, ) und u, v, ) hat die Parameterdarstellung u tu t) + t v tv, t R. t

9 Der Punkt t) liegt genau dann in, wenn er die Bedingung erfüllt. Das heißt, es muss gelten tu) + tv) + t) t u + v + ) t t tu + v + ) ) t t u + v +. Also erhalten wir für den Schnittpunkt fu, v) tu u u u +v + fu, v) tv v u +v + t u +v + u +v + v u +v + u +v u +v + u + v + u v u + v b) Analog zur Lösung der Teilaufgabe a) gehen wir hier vor. Die Parameterdarstellung der erade durch die beiden Punkte S,, ) und r, s, ) lautet r tr yt) + t s ts, t R. t Der Punkt yt) liegt genau dann in, wenn gilt Es muss also gelten tr) + ts) + t ). t r + s + ) t t tr + s + ) ) Der Schnittpunkt gr, s) ist gr, s) tr ts t r r +s + s r +s + r +s + r r +s + s r +s + r s r +s + t t r + s + r + s +. r s r s c) Wir behaupten: Das Bild der Abbildung f : R besteht aus allen Punkten von außer dem Nordpol N,, ) :.. N,, ) liegt nicht im Bild von f. Dies folgt einerseits aus der Konstruktionsidee, aber auch rechnerisch sieht man, dass die z-koordinate von fu, v), also u + v )/u + v + ) <, da der Zähler immer kleiner als der Nenner ist. Sei, y, z) mit, y, z),, ). Die erade durch, y, z) und N ist parametrisiert durch t zt) + t y ty, t R. z tz ) +

10 Diese erade schneidet die y-ebene, wenn die letzte Koordinate verschwindet, also wenn tz ) +, d.h. wenn t / z). Dabei ist zu beachten, dass z. Denn wäre z, so würde wegen, y, ), also + y + folgen, dass y und damit, y, z),, ), was ja ausgeschlossen war. Somit ist der Schnittpunkt dieser eraden mit der y-ebene ) z, y z, und daher gilt:, y, z) f ) z, y. z Dies lässt sich auch leicht rechnerisch verifizieren: mit u v y z ist u + v z) + y z) + y z) z z) + z) + z z) z) z, z und Bei ) haben wir verwendet, dass wegen, y, z) gilt: + y + z und daher + y z. Damit ist u +v + + z z + z und u +v + z z z z. Einsetzen in die ormel für f, die in a) berechnet wurde, ergibt: was behauptet war. f ) z, y z z z y z z y, z z Wir zeigen, dass f : R \{N} eine Parametrisierung ist. Die Abbildung f ist injektiv, da wir oben gezeigt haben, dass aus fu, v), y, z) folgt, dass u / z) und v y/ z), dass also u, v) eindeutig festgelegt ist. Nun ist noch zu zeigen, dass f u f v gilt. Dafür berechnen wir: u + v + ) 4uv f u f u + v + ) u 4uv + v + ) u v + ) v u + v + ) u 4u + v + ) 4v u + v + ) u + v + ) u 4 v, u + v + ) 3 u v und dieser Vektor ist niemals.

11 Eine analoge Rechnung beweist, dass das Bild von g alle Punkte auf der Sphäre ohne den Südpol S,, ) ist. Dabei ist für ein, y, z) mit, y, z),, ) : ) g + z, y, y, z) + z Analog wie bei f folgt dann, dass g injektiv ist und g r g s, so dass g eine Parametrisierung von \{,, ) } ist. d) Die Übergangsabbildung τ ist bestimmt durch die Beziehung τr, s) u, v) fu, r v) gr, s) s. r + s + r s Andrerseits haben ) wir in c) gezeigt, dass fu, v), y, z) gilt, wenn u, v) z, y. Setzen wir für, y, z) den Vektor gr, s) ein, so muss gelten z ) u v z ) y r s r +s + r ) r +s + s r +s + Daher ist die Übergangsabbildung gegeben als r τr, s) r + s, r + s ) s r + s ). ) r s r + s ) r s Sie ist definiert, wenn r, s), ), d.h. genau dann, wenn gr, s),, ), d.h. genau dann, wenn gr, s) im Bild von f enthalten ist.