Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Zürich D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) FS 12. Serie 11. f2 f1

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1 r. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Zürich -CHAB, -BIOL (Analsis B) FS Serie Bemerkung: ie Aufgaben -6 sind Aufgaben aus früheren Basisprüfungen.. Integrieren Sie die Funktion f(,) 3/ über den in der Figur schraffierten Bereich f f 3 sowohl direkt als auch mit Hilfe der Substitution u, v.. Berechnen Sie den Fluss des Vektorfelds v(,,z) ( ( e z ),,e z ) T von innen nach aussen durch die halbe Sphäre S {(,,z) R 3 + +z, z }. Hinweis: Wenden Sie den Satz von Gauss auf die Halbkugel H {(,,z) R 3 + +z, z } an. Bitte wenden!

2 3. Wir betrachten das Vektorfeld F(,,z) und das reieck mit den Ecken A(,,), B(,,), C(,,). a) Ist das Vektorfeld F wirbelfrei? Begründen Sie Ihre Antwort! Berechnen Sie die Arbeit von F längs des Randes von (von A über B und C nach A). b) Bestimmen Sie den Fluss von F sowohl durch das reieck als auch durch die Oberfläche des Tetraeders mit Grundfläche und Spitze (,, ). 3z 4. Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes von Gauss und unter Einführung neuer geeigneter Koordinaten den Fluss des Vektorfeldes F(,,z) zsin() z cos() ze + durch die Oberfläche des geraden Kreiszlinders mit Höhe 3 und Grundkreis K {(,,z) R 3 +,z }. Orientieren sie die ) Oberfläche so, dass die Normale nach aussen zeigt. d Hinweis: (e r? dr 5. Lösen Sie folgende Aufgaben für die Vektorfelder F(,,z) ln() z und G(,,z) a) Bestimmen Sie rotf(,,z) und rotg(,,z). z +z + b) Geben Sie eine spezielle geometrische Eigenschaft der Vektoren von rot F(,, z) und zwei spezielle Eigenschaften der Vektoren von rot G(,, z) an. c) Mit dem Satz von Stokes: Wie gross ist aufgrund Ihrer Feststellung unter b) die Arbeit des Vektorfeldes F(,,z) resp. G(,,z) längs eines ebenen geschlossenen Weges γ, der in einer Normalebene zur -Achse liegt? Begründen Sie Ihre Antwort.. Siehe nächstes Blatt!

3 6. a) Bestimmen Sie den Fluss des Vektorfeldes + 3 z F(,,z) +3 +z durch die Oberfläche des Kegels mit Grundkreis K {(,,) + 9} und Spitze S(,5,3). b) Begründen Sie rein geometrisch, dass der Fluss des Vektorfeldes 3z G(,,z) 3z 3z durch das reieck mit den Ecken (,,); (,,); (,3, 4) gleich Null ist. 7. a) Bestimmen Sie die Arbeit des Vektorfeldes +3 z V(,,z) +z 3 + +z längs der Strecke von A(,,) nach B(,,). b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes von Stokes und Ihres Resultats in Teilaufgabe a) die Arbeit des Vektorfeldes V(,,z) längs des geradlinigen Weges von B über C(4,,) nach A. iese Serie wird nicht mehr eingezogen.

4 r. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Zürich -CHAB, -BIOL (Analsis B) FS Lösungen zur Serie. Offenbar ist {(,) R < < 3, < < } der schraffierte Bereich. irekt: 3 3 dd d d ( ) 3 ( 4 ) d ( ) 3 3. ie Abbildung Φ : ( ) u v ( ) ( ) u v u mit der Jacobi-eterminante detφ v u u bildet offenbar den Bereich diffeomorph auf ab. Somit ist 3 {(u,v) R < u < 3, < v < } 3 3 dd u 3 v u u dvdu vdv v u 3 ( ) 3 3. u 3 u du Bitte wenden!

5 . Für den Satz von Gauss berechnen wir die ivergenz von v: divv(,,z). Bezeichnen wir mit die Kreisscheibe {(,,z) +,z }, dann gilt nach dem Satz von Gauss: H divvd 3 H v,n dσ v, e z dσ + v,e r dσ, wobei e z (,,z) (,,) T und e r (,,z) + +z (,,z)t. Somit: v,e r dσ S H divvd 3 v, e z dσ 3 π S dσ 3 π +π 5 3 π. 3. Wir betrachten das Vektorfeld F(,,z) und das reieck mit den Ecken A(,,), B(,,), C(,,). a) Ist das Vektorfeld F wirbelfrei? Begründen Sie Ihre Antwort! Berechnen Sie die Arbeit von F längs des Randes von (von A über B und C nach A). Es gilt 3z F z z F rotf z F F z. F F Also ist F wirbelfrei. a der efinitionsbereich (ganz R 3 ) von F einfach zusammenhängend ist und rot F, ist F konservativ, d.h. die Arbeit von F längs des geschlossenen Weges ist gleich. ies folgt direkt aus dem Satz von Stokes: A F ds rotf,n dudv. γ (Alternative: urch partielle Integration der Komponenten von F kann epliziteinepotentialfunktionv(,,z)bestimmtwerden,sodass V(,,z) F(,,z). Man berechnet: V(,,z) + 3 z +C.) Siehe nächstes Blatt!

6 b) Bestimmen Sie den Fluss von F sowohl durch das reieck als auch durch die Oberfläche des Tetraeders mit Grundfläche und Spitze S(,, ). Skizze: Parametrisierung des reiecks : a : R R, (u,v) a(u,v) u +v u u+v v, u v u Normalenvektor: n a u a v Somit ist der Fluss von F durch das reieck Φ F,n dvdu u F (a(u,v)),n dvdu u u u+v u 3v 4vdvdu ( dvdu v ) u du ( ( u) du u u + ) 3 u3 3. Nach dem Satz von Gauss gilt für den Fluss durch die Oberfläche ( T) des Tetraeder T F,n dudv divf dddz 3dddz 3 Vol(T). T T T T isteinepramidemitdemreiecka(,,),b(,,),s(,,)alsgrundfläche und dem Punkt C(,, ) als Spitze (siehe Skizze). ie Grundlfläche hat Inhalt, also ist Vol(T) 3 6. Bitte wenden!

7 Also gilt für den Fluss durch T Φ T 3 Vol(T). [araus lässt sich alternativ auch der Fluss durch das reieck berechnen, indem man vom Fluss durch T die Flüsse durch die anderen reiecksseiten des Tetraeders abzieht. er Fluss durch das reieck ((,,),(,,),(,,)) (von T nach aussen) ist Φ F dd. er Fluss durch das reieck ((,,),(,,),(,,)) (von T nach aussen) ist ( ) Φ F ddz ( )ddz ( )dz d d 3. er Fluss durch das reieck 3 ((,,),(,,),(,,)) (von T nach aussen) ist ( ) Φ 3 F ddz ddz dz d ( )d Zusammen erhalten wir für den Fluss durch Φ Φ T Φ Φ Φ ] 4. Wir haben divf(,,z) zsin() zsin()+e + e +. Mit dem Satz von Gauss gilt dann für den Zlinder Z: F,n dσ divfdddz e + dddz. Z In Zlinderkoordinaten Z z rcos(ϕ) rsin(ϕ) z Z Siehe nächstes Blatt!

8 mit Jacobi-eterminante r bekommen wir F,n dσ dr Z π dϕ 3 dzre r. as z- und das ϕ-integral können unmittelbar ausgeführt werden. übrig bleibt: F,n dσ 6π re r dr. a (Hinweis) d dr berechnet werden: (e r ) Z 5. a) rotf(,,z) Z re r, kann auch das verbleibende Integral mühelos F,n dσ 6π 3π(e ). er z z + ( +) rotg(,,z) z 4 z b) rotf steht überall senkrecht auf (,,) T und die Komponente von rotg ist konstant. c) ie Arbeit des Vektorfeldes F längs einer geschlossenen Kurve γ in einer Ebene senkrecht zur -Achse ist, da der Normalenvektor der umrandeten Fläche sinkrecht auf rotf steht und die Arbeit von G ist 4 mal die umrandete Fläche, da das Skalarprodukt von ihrem Normalenvektor mit rot G gerade 4 ist. 6. a) divf(,,z) 6. Zusammen mit dem Satz von Gauss und V 3 πr h für das Volumen V eines Kegels K mit Radius r und Höhe h folgt bereits das Resultat: F,n dσ divfd π3 3 54π. K K b) G(,,z) ( 3z)(,,) T. adervektor(,,) T parallelzurreiecks- Ebene steht, steht der Normalenvektor der reiecksfläche senkrecht auf G und der Fluss ist. Bitte wenden!

9 7. a) b) γ V(tv AB ),v AB dt (8t 3 +4t)dt 4 : A V(γ(t)), γ(t) dt V(γ(t)), γ(t) dt A Stokes A+ rotv(,,z),n dσ A, da rotv.