Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche. suggestive Notation. "Ausfluss pro Volumenelement"
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- Elmar Weber
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1 Zusammenfassung: Satz v. Gauß Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche Volumen Rand des Volumens = Oberfläche Symbolisch: suggestive Notation Geometrische Definition der Divergenz: Divergenz in krummlinigen Koordinaten: "Ausfluss pro Volumenelement" Beispiel: Fluss durch Pyramide Betrachte Fluss des Magnetfeld eines ebenen Quadrupols, durch eine Pyramide: mit Gauß Alternativ: Rand: unten links hinten schräg
2 Unten: Links: Hinten: gleiche Rechnung wie für "links" Schräg: Parametrisierung von durch "Gebirge" Orientiertes Flächenelement: Fluss durch
3 12.2 Satz von Stokes Satz v. Stokes: Ist ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einem Gebiet und eine Fläche mit Rand, so gilt: Fläche Rand der Fläche = Linie Anmerkungen: (1) Orientierung des Linienintegrals ist "rechts herum" bezüglich eines Normalvektors an einem (beliebigen) Punkt auf der Fläche. (2) Falls eine geschlossene Oberfläche ist, hat sie keinen Rand: Sei das von eingeschlossene Gebiet, d.h. Leere Menge Stokes Gauss weil Rand Länge 0 hat konsistent! Begründung des Satz v. Stokes: Finde zunächst geometrische Interpretation der Rotation: Betrachte Rechteck in der x-y-ebene: fest "Zirkulation pro gerichteter Fläche" Berechne Rand:
4 Satz. v Stokes für ebenes Rechteck: = "Zirkulation um " Für die Gültigkeit des Ergebnis ist es offenbar nicht wichtig, in welcher Ebene R lieg: für anders gerichtete Fläche, wähle Koordinaten so, dass R in neuer x-y-ebene liegt! Betrachte nun ein infinitesimal kleines gerichtetes Flächenelement, ist näherungsweise konstant auf R, kann vor's Integral gezogen werden: "Zirkulation pro gerichteter Fläche" (oder "lokale Wirbelstärke") = -Komponente der Rotation (4) kann als geometrische Definition der Rotation angesehen werden! Beispiele zur Anschauung:
5 Satz von Stokes: Betrachte nun beliebige Oberfläche, begrenzt durch den Rand : aufgeteilt in viele infinitesimal kleine Rechtecke: Rand Oberfläche Zirkulation um Rechteck Beiträge innerer Wegelemente heben sich weg, denn Integrationsrichtung entlang Grenzen benachbarter Rechtecke sind entgegengesetzt: Aussenwege Fläche Rand der Fläche = Linie [Mathematikvorl.: sauberer Limesprozess, Approximation von durch Rechtecke.] Anmerkungen: (1) Konservatives Kraftfeld: Sei für beliebige Wege Dann gilt (Stokes): für beliebige Flächen darstellbar als (2) Verschiedene Flächen haben den gleichen Rand: Kreislinie Kreisfläche Halbkugeloberfläche Kegelmantel
6 (4) Krummlinig orthogonale Koordinaten: Betrachte "krummes Rechteck": fest Zirkulation um R: Stokes Flächenelement: (2)=(4), für beliebiges R, also muss gelten: analog für u & v Komponenten, zyklisch permutiert (5) ist allgemeine Formel für Rotation in krummlinig orthogonalen Koordinaten! Beispiel 1: Magnetfeld außerhalb eines unendlich langen stromtragenden Leiters Zylindersymmetrie: Magnetfeld hängt nur vom Radius ab: Maxwell-Gleichung: (Ampere-Gesetz der Magnetostatik) Konstante Stromdichte im Draht Integriere über eine Kreisfläche K mit Radius : konstant Stokes Gesamtstrom Zylinderkoordinaten: entlang Kreis: Magnetfeld fällt ab wie mit zunehmendem Abstand vom Leiter
7 Beispiel 2: Magnetfeld innerhalb eines unendlich langen stromtragenden Leiters Analog wie Beispiel 1, nur Gl. (28.3) lieft anderes Ergebnis, denn nun liegt die Kreisscheibe innerhalb v. Draht: Kreisscheibe Ampere Zylinderkoordinaten Stokes konstante Stromdichte (2) = (3): (aus Symmetrie-Gründen) (für ) Seite 29 zeigte, für Wir wollen nun mittels weiterer Beispiele illustrieren, dass d. Flächenintegral (30.1), mit dasselbe Ergebnis liefert für verschiedene Flächen mit demselben Rand. Beispiel 3: Flächenintegral (30.1) mit Halbkugelfläche Halbkugel: Kugelkoordinaten: Flächenelement: Gegeben: Wir wollen berechnen:
8 Alternativ: Nutze (27.5), mit Berechne nun das Integral (30.1) = (30.6): [konsistent mit (2)] [konsistent mit (30.1)] Beispiel 4: Flächenintegral (30.1) mit Kegelmantel Zylinderkoordinaten: Kegelmantel: Orientiertes Flächenelement: Berechne nun das Integral (30.1): [konsistent mit (30.1)]
9 Zusammenfassung: Satz von Stokes Satz v. Stokes: Flussintegral der Rotation = Linienintegral Fläche Rand der Fläche = Linie Symbolisch: suggestive Notation Geometrische Definition der Rotation: "Zirkulation pro gerichteter Fläche" Rotation in krummlinigen Koordinaten: analog für u & v Komponenten, zyklisch permutiert
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