Das Magnetfeld in der Umgebung eines sehr dünnen langen Leiters. ds H ds H ds H 2 r

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1 Das Magnetfeld in der Umgebung eines sehr dünnen langen Leiters Seite 1.1 von 1.10 H ds H ds H ds H Umlauf-Integral Länge der magnetischen Feldlinie, hier der Kreisumfang Durchflutung, Magnetische Spannung, Einheit A (Ampere*Windungen) H Magnetische Feldstärke, Einheit A/m ds Längen-Element auf dem Kreis H r I

2 Seite 1.2 von 1.10 r H m A/m Langer dünner Leiter I=1A 0,1 1, ,2 0, ,3 0, ,4 0, ,5 0, ,6 0, ,7 0, ,8 0, ,9 0, , ,1 0, ,2 0, ,3 0, ,4 0, ,5 0, ,6 0, ,7 0, ,8 0, ,9 0, , ,1 0, ,2 0, ,3 0, ,4 0, ,5 0, ,6 0, ,7 0, ,8 0, ,9 0, , Leiter-Radius r a gegen Null z.b. I = 1A ; r = 0,3 m H r I 1A 2 0,3m 0, 5305 A m Diese Gleichung gilt für einen sehr langen geraden Leiter! Für r = const. ist auch H(r) = const. Für r = 0 m geht H(r) gegen unendlich. Für r gegen unendlich geht H(r) gegen Null.

3 Seite 1.3 von 1.10 H von r mit I = 1A 1,6 1,5 1,59 1,4 1,3 1,2 1,1 1 H / (A/m) 0,9 0,8 0,7 0,80 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,53 0,40 0,32 0,27 0,23 0,20 0,18 0,16 0,14 0,13 0,12 0,11 0,11 0,10 0,09 0,09 0,08 0,08 0,08 0,07 0,07 0,07 0,06 0,06 0,06 0,06 0,05 0,05 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 r / m

4 Das Magnetfeld im Innern eines langen, geraden, zylindrischen Leiter und in seiner Umgebung. H ds I r I r ist der vom Integrationsweg umschlossene Strom, ein Teil des Gesamtstromes H ds H I r I r S da H I r I r S da I r2 a r 2 I r2 r2 a Seite 1.4 von 1.10 S da r a Stromdichte im Leiter Flächenelement Radius des Leiters S I r a 2 H r I r I r2 r a 2 1 I a 2 r für 0 < r < r a Feld im Innern des Leiters H r I für r a < r Feld ausserhalb des Leiters

5 Seite 1.5 von 1.10 ra = 0,3m ra=0m r H H m A/m A/m 0, ,76839E-06 0,1 0, , ,2 0, , ,3 0, , ,4 0, , ,5 0, , ,6 0, , ,7 0, , ,8 0, , ,9 0, , , , ,1 0, , ,2 0, , ,3 0, , ,4 0, , ,5 0, , ,6 0, , ,7 0, , ,8 0, , ,9 0, , , , ,1 0, , ,2 0, , ,3 0, , ,4 0, , ,5 0, , ,6 0, , ,7 0, , ,8 0, , ,9 0, , , , H r I r I r2 r a 2 1 I a 2 r für 0 < r < r a Feld im Innern des Leiters hier r a = 0,3 m H r I für r a < r Feld ausserhalb des Leiters

6 Seite 1.6 von 1.10 H(r) runder Leiter ra=0,3 H / (A/m) 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 r / m ra = 0,3m ra=0m

7 B(r) und (r) des langen Leiters Seite 1.7 von 1.10 Zusammenhang zwischen B und H Dielektrizitätskonstane B 0 r H Vs Am Ausserhalb um den langen Leiter mit Radius r a Aus der magnetischen Feldstärke H r I erhält man die magnetische Flussdichte B r I 0 A m Vs m 2 r 2 Integration ergibt den magnetischen Fluss r 1, r 2 B r l dr Vs für r a < r 1 < r 2 r 1 r 1, r 2 I 0l 2 ln r 2 r 1 für r a < r 1 < r 2 Äussere Induktivität L A I 0l 2 ln r 2 r 1 H (Henry)

8 Seite 1.8 von 1.10 Magnetische Größen im Innern des Leiter mit Radius r a Aus der magnetischen Feldstärke H r I a 2 r A m erhält man die magnetische Flussdichte B r I 0 a 2 r Vs m 2 r 2 r a Integration ergibt den magnetischen Fluss r 1, r 2 B r l dr r 1 0 r 1, r 2 I 0l a 2 r 1, r 2 I 0l 4 r a Innere Induktivität L I I 0l 4 H (Henry) Magnetische Feldkonstante Wert der inneren Induktivität für l=1m Der Wert L I hängt nicht vom Radius ab! L I 0l Vs A 10 7 H

9 Seite 1.9 von 1.10 Praktisches Beispiel: 26. Verordnung zur Durchführung des Bundes-Immissionsschutzgesetzes (Verordnung über elektromagnetische Felder BImSchV) Der Grenzwert für die Dauer-Exposition des Menschen beträgt B max = 100 T Frage: Welcher Abstand r min muß eingehalten werden für einen Strom von I = 500 A auf einem Leiter? Lösung: aus B r I 0 erhält man Vs 2 B max m 2 r min 500A 0 500A Vs Am Vs m2 1m

10 Übung M_01: Runder langer Leiter I = 1 A ; r a = 1 cm ; r 2 = 100 cm ; l = 1 m, Vs Am Berechnen Sie: Seite 1.10 von H(0) ; H(r a ) ; H(r a ) ; B(r 2 ) 0 < r < ra: H r r ra < r: a 2 I H r I 2. B(0) ; B(r a ) ; B(r a ) ; B(r 2 ) B 0 r H 3. I im Inneren des Leiters r 1, r 2 I 0l r2 a 2 0 für r 1 = 0 < r < r a a 2 4. A im Äusseren des Leiters von r 1 bis r 2 r 1, r 2 I 0l 2 ln r 2 r 1 für r 1 = r a < r < r 2 5. L I innere Induktivität des Leiters von 0 bis r a L I I 0l 4 H (Henry) 6. L A äussere Induktivität des Leiters von r 1 bis r 2 L A I 0l 2 ln r 2 r 1 H (Henry) 7. L g = L I + L A gesamte Induktivität von r = 0 cm bis r = 100 cm 8. Vektor H und B für r = 50 cm und = /6 (30 ) 9. Nach 26. BImSchVO beträgt Bmax = 100uT bei f=50hz, berechnen Sie für IAC = 100 A den kleinsten Abstand r min