Aufgabe 37: Helmholtz Spulenpaar

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Walter Meissner
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1 Theoretisch-Physikalisches nstitut Friedrich-Schiller Universität Jena Elektrodynamik Sommersemester 8 Hausübung 9 Aufgabe 37: Helmholt Spulenpaar Berechne das Magnetfeld auf der Symmetrieachse eines Helmholt Spulenpaares, welches aus wei im gleichen Sinne vom Strom durchflossenen Leiterkreisen besteht. Diese Kreise haben Radius R und liegen in den Ebenen = ± a. =a/ x =-a/ y (a Bestimme die Komponente des Magnetfelds B(r auf der Symmetrieachse. Hinweis: Sie dürfen die stromdurchfloßenen Leiter als Stromfäden approximieren. (b Für welche Wahl des Verhältnisses R a Nullpunktes maximal homogen? ist das Magnetfeld in der Umgebung des (+ Punkte Bedeutung der Aufgabe: Für Experimente oder technische Anwendungen möchte man oft ein möglichst homogenes Magnetfeld ereugen. Eine sehr einfache geeignete Anordnung ist ein Helmholtspulenpaar, d.h. wei Spulen mit Radius R, die koaxial im Abstand a angeordnet sind und gleichsinnig von einem Strom durchflossen werden. Aufgabe 38: Magnetfeld im Koaxialkabel m Folgenden betrachten wir ein unendlich langes Koaxialkabel entlang der -Achse. Das Koaxialkabel besteht aus einem unendlich langen Draht mit kreisförmigen Querschnitt (Radius R, dem sogenannten nnenleiter, durch den ein konstanter Gleichstrom mit Stromdichte j = j e fließt. Des Weiteren gibt es einen koaxialen ylindrischen Rückleiter mit dem Querschnitt eines Kreisrings (nnenradius R i mit R i > R und Außenradius R a > R i. m Hohlraum wischen R und R i sowie im Außenraum r > R a fließe kein Strom. (i Berechnen Sie die Stromstärke im nnenleiter, und daraus die Stromdichte im Rückleiter. (Hinweis: m Rückleiter fließt die Stromstärke.

2 (ii Berechnen Sie das Vektorpotential A im nnenleiter, Hohlraum, Rückleiter und im Außenraum indem Sie die ugehörige Poissongleichung lösen. Hinweise: Benuten Sie Zylinderkoordinaten. Es liegen keine Oberflächenströme vor. Welche Anschlussbedingungen gelten daher an den Grenflächen? (iii Berechnen Sie das ugehörige Magnetfeld in den jeweiligen Bereichen und skiieren Sie die ϕ-komponente des Magnetfelds. (+6+ Punkte

3 Lösung Aufgabe 37 Es gilt B = A = µ j(r (r r r r 3. Für Berechnungen abstrahiert man den Leiter oft als Stromfaden. n diesem Fall gilt d 3 r j(r = dr (r und man erhält folglich B(r = µ (r dr (r r r r 3. ( n unserem Fall ist das B Feld eines Spulenpaares u untersuchen, das von einem konstanten Strom durchflossen wird. Berücksichtigt man beide Spulen, indem man B Felder der Form ( superponiert, so erhalten wir B(r = µ [ dr (r r r r 3 + dr (r r r r 3 ]. ( Wir wählen einen Aufpunkt auf der Symmetrieachse, also r = e. Aus der Skie ist ersichtlich, dass r = Re ϱ + a e, r = Re ϱ a e, so dass r r = R + ( a, ( r r = R + + a. Für die weitere Rechnung ist es am günstigsten, Zylinderkoordinaten u verwenden. Dann ist offensichtlich und außerdem gilt Somit gilt dr (r r = R dϕ e ϕ dr = Re ϕ dϕ, dr = Re ϕ dϕ e ϱ e ϕ = e, e ϕ e = e ϱ. ( ( Re ϱ + a ( ( e = R dϕ Re + a e ϱ und analog ( dr (r r = R dϕ (Re + + a e ϱ. Seten wir das alles in ( ein, so ergibt sich B( = µ R + µ R π π dϕ [R + ( a/ ] 3/ + π dϕ a/ [R + ( a/ ] 3/ e ϱ + dϕ [R + ( + a/ ] 3/ e π + a/ dϕ [R + ( + a/ ] 3/ e ϱ 3

4 Für die -Komponente des elektrischen Felds gilt B = µ R [ [R + ( a/ ] 3/ + [R + ( + a/ ] 3/ ]. (3 Um das Verhältnis R/a u bestimmen, so dass B in der Umgebung des Ursprungs maximal homogen wird, entwickeln wir B( in eine Taylorreihe um =. Aus (3 ergibt sich dann µ R B ( R + a 3/ + ( R + a { 3 + 5a } (R + a / + O(. B ist maximal homogen, wenn der Term proportional u verschwindet, wenn also (R + a + 5a = = R = a. st der Abstand der Spulen genausogroß wie der Spulenradius, so ist das B Feld in der Umgebung des Ursprungs maximal homogen. Lösung Aufgabe 38 (i Der Gesamtstrom im nnenleiter berechnet sich u = πr j. ( m Rückleiter muss der Gesamtstrom fließen. Es gilt daher für die Stromdichte j = j e im Rückleiter j π ( R a R i = (5 und somit (ii Es gilt j = π (. Ra Ri A (r = µ j (r. Da j e folgt, dass A x = A y =. Somit muss nur noch für A gelöst werden. Des Weiteren ist A nur von ϱ = x + y abhängig aufgrund der Zylindersymmetrie. Wir müssen nur noch das folgende Problem lösen: im nnenleiter (ϱ R: im Hohlraum (R < ϱ < R i : im Rückleiter (R i ϱ R a : A (i (ϱ = µ j A (h (ϱ = A (r (ϱ = µ j im Außenraum (ϱ > R a : A (a (ϱ =

5 wobei der (relevante Teil des Laplace Operators durch = ϱ + ϱ ϱ auf A (i, A (h, A (r und A (a wirkt. Die Lösung für A (i ergibt sich u A (i = a i ln ϱ + b i µ j ϱ. Da für ϱ A (i A (a regulär sein soll, folgt a i =. Analog gilt für A (h, A (r und A (h = a h ln ϱ + b h, A (r = a r ln ϱ + b r µ j ϱ, A (a = a a ln ϱ + b a. Die ntegrationskonstanten bestimmt man, indem man die Stetigkeit von A und der ersten Ableitung nach ϱ fordert. Letteres stimmt, da es keine Oberflächenströme gibt. Wir nuten uerst die Stetigkeit der ersten Ableitung von A nach ϱ. Dadurch erhalten wir a h = µ j R, a r = µ j R + µ j R i (6 sowie a a = µ j R + µ j ( R i Ra = (7 wobei im letten Schritt die dentitäten ( und (5 verwendet wurden. Mittels der Stetigkeit von A kann man auch die Konstanten b i, b r, b a und b h bestimmen. nsgesamt erhält man drei Gleichungen für vier Unbekannte. Somit besitt das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung, was jedoch aufgrund der Eichfreiheit erklärt werden kann. Wir können durch hinufügen einer (überall definierten Funktion beispielsweise eine der Konstanten auf Null seten. m Folgenden eigen wir nicht die konkreten Ausdrücke für die Konstanten b i, b r, b a und b h, umal diese auch nicht relevant bei der Berechnung des Magnetfelds sind. (iii Das Magnetfeld ist tangential um Zylinder, d. h. es hat nur eine ϕ-komponente. Es gilt B = A (ϱ e ϕ, d. h. ϱ B (i = µ j ϱe ϕ, B (h = a h ϱ e ϕ, B (r = a r ϱ e ϕ + µ j ϱe ϕ, B (a = a a ϱ e ϕ. Man beachte, dass a a = ist und somit das Magnetfeld im Außenraum verschwindet. 5

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