Elektromagnetische Feldtheorie 1

Transkript

1 Diplom-Vorprüfung Elektrotechnik und Informationstechnik Termin Sommersemester 09 Elektromagnetische Feldtheorie 1 Donnerstag, , 9:00 10:00 Uhr Zur Beachtung: Zugelassene Hilfsmittel: Originalskript zur Vorlesung Elektromagnetische Feldtheorie oder Elektrodynamik der Fachschaft EI 5 Blätter DIN A4 mit eigenen handschriftlichen Aufzeichnungen, keine Kopien oder Drucke Mathematische Formelsammlung Bitte verwenden Sie für jede Aufgabe einen eigenen Bogen! Geben Sie auf jedem Bogen Name, Vorname und Matrikelnummer an! Bitte schreiben Sie nicht mit Bleistift oder roten oder grünen Farbstiften (Korrekturfarben)! Ergebnisse ohne Herleitung oder Begründung werden nicht gewertet. Die mit einem Stern * gekennzeichneten Teilaufgaben können unabhängig voneinander gelöst werden.

2 1. Aufgabe (11 Punkte) In dem durch die Bedingung z < 0 definierten Halbraum befindet sich ein nichtleitendes Material mit spezifischer Leitfähigkeit σ = 0, relativer Permittivität ε r und relativer Permeabilität µ r = 1. Der durch z > 0 definierte Halbraum ist evakuiert. Eine positive Punktladung q am Ort (x = 0, y = 0, z = d) erzeugt das in Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) gegebene Potential 1 B für z 0 r 2 + (z d) 2 φ( r) =, q A für z > 0 4πε 0 r 2 + (z d) r (z + d) 2 mit der elektrischen Feldkonstanten ε 0 sowie den reellen Konstanten A und B. *a) Berechnen Sie im gesamten Raum die Komponenten der elektrischen Feldstärke E( r) in Zylinderkoordinaten. b) An der Materialgrenzfläche z = 0 müssen die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke E( r) und die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung D( r) stetig sein. Ermitteln Sie mit Hilfe dieser Grenzflächenbedingungen die Konstanten A und B. c) Wie groß ist die Polarisations-Flächenladungsdichte σ pol ( r) z=0 auf der durch z = 0 definierten Grenzfläche? d) Welche Polarisations-Flächenladung Q pol befindet sich insgesamt auf der durch z = 0 definierten Grenzfläche?

3 2. Aufgabe (15 Punkte) Gegeben ist ein im Vakuum befindlicher, unendlich langer zylindrischer Leiter mit Radius R. Er besitzt die elektrische Leitfähigkeit σ, die relativen Permittivität ε r = 1 und die relativen Permeabilität µ r = 1. Die Symmetrieachse des Leiters verläuft entlang der z-achse. Im Leiter fließt ein Strom I in Richtung der positiven z-achse. *a) Berechnen Sie die als homogen angenommene Stromdichte j( r) und die elektrische Feldstärke E( r) im Leiter! *b) Bestimmen Sie die magnetische Feldstärke H( r) in Zylinderkoordinaten. c) Welche Energiestromdichte S( r) fließt im Leiter? Bestimmen Sie außerdem die Verlustleistungsdichte p Verlust ( r) mit Hilfe der Beziehung t w elmg( r) + div S( r) = p Verlust ( r), wobei w elmg ( r) die elektromagnetische Energiedichte ist. Geben Sie die physikalische Ursache für das Auftreten der Verlustleistungsdichte p Verlust ( r) an. Für die folgenden Betrachtungen nehmen wir an, dass sich in dem gegebenen Leiter ein evakuierter zylindrischer Hohlraum unendlicher Länge befindet. Die Symmetrieachse dieses Hohlraums mit dem Radius R/3 verläuft parallel zur z-achse durch den Punkt (x = R/2, y = 0, z = 0). Hinweis: Verwenden Sie im Folgenden für die magnetische Feldstärke H( r) eines von einer homogenen Stromdichte j( r) = j 0 e z in z-richtung durchflossenen, unendlich langen zylindrischen Leiters mit dem Radius R R den Ausdruck (= Verallgemeinerung des Ergebnisses von b)): C (j 0 e z ) ( r ) R S H( r) = CRR 2 ( r R ) 2 (j 0 e z ) ( r ) R S S für r R S R R für r R S > R R, wobei R S der Abstandsvektor der Symmetrieachse des Leiters von der z-achse ist und C eine Konstante bezeichnet.

4 *d) Bestimmen Sie den Betrag und die Richtung der magnetische Feldstärke H( r) im Inneren des Hohlraums, indem Sie die gegebene Anordnung als Superposition zweier in unterschiedlicher Richtung von gleicher Stromdichte durchflossener zylindrischer Leiter auffassen. e) Skizzieren Sie die y-komponente der magnetischen Feldstärke H( r) entlang der x- Achse von x = 1/2R bis x = 3/2R. Berechnen Sie diejenige x-koordinate, an der die magnetische Feldstärke H( r) auf der x-achse den Wert Null annimmt.

5 3. Aufgabe (10 Punkte) Gegeben ist ein quaderförmiger Block aus Halbleitermaterial der Länge L. Der Block liegt parallel zur x Achse zwischen x = 0 und x = L (siehe Skizze). Im Block befinden sich frei bewegliche Elektronen mit der ortsabhängigen Teilchendichte n(x). Die Elektronen haben die temperaturabhängige Beweglichkeit µ n (T) und die temperaturabhängige Diffusionskonstante D n (T); sie besitzen die Elementarladung q = e 0. Die Stirnseiten K 0 bei x = 0 und K 1 bei x = L sind metallisiert und bilden jeweils einen elektrischen Kontakt. K 0 liegt auf der Temperatur T 0, K 1 liegt auf der Temperatur T 1 > T 0. Dazwischen variiert die Temperatur T(x) stetig differenzierbar mit x zwischen T 0 und T 1. Die Kontakte K 0 und K 1 sind offen ( floatend ) und bilden jeweils eine Äquipotentialfläche für das elektrochemnische Potential ϕ n. Aufgrund des Temperaturgefälles grad T(x) im Inneren des Blockes kommt es durch Thermodiffusion zu einer Teilchenstromdichte gemäß der Gleichung J T,Teilchen (x) = n(x)d T n(t(x)) gradt(x) mit der Thermodiffusivität Dn T (T) > 0 der Elektronen. *a) Berechnen Sie die Komponente der elektrischen Stromdichte j T, die sich aus der Teilchenstromdichte J T,Teilchen in dem Block ergibt. In welche Richtung j T fließt j T diese Komponente der elektrischen Stromdichte, wenn T(x) zwischen T 0 und T 1 monoton wächst? Aufgrund der Stromkontinuität bildet sich ein Gradient des ortsabhängigen elektrochemischen Potentials ϕ n (x) der Elektronen aus. *b) Drücken Sie die Stromdichte j DD, die sich aus Drift und Diffusion der Ladungsträger bei konstanter Temperatur ergibt, in Abhängigkeit des elektrochemischen Potentials ϕ n (x) der Elektronen aus. Dieses lautet allgemein ϕ n (x) = Φ(x) D n µ n ln n(x) n 0, wobei Φ(x) das elektrische Potential bezeichnet und n 0 > 0 eine reelle Konstante ist. *c) Was folgt für die Gesamtstromdichte j tot aus der Bedingung für die Stromkontinuität und der Tatsache, dass durch die Kontakte K 0 und K 1 kein Strom fließt? In welche Richtung j DD j DD fließt somit die Stromdichte j DD?

6 d) Berechnen Sie aus dem aus c) erhaltenen Ergebnis für die Gesamtstromdichte j tot einen Ausdruck für das ortsabhängige elektrochemische Potential ϕ n (x) in Abhängigkeit der Größen T(x), µ n (T) und D T n(t). Was ergibt sich für die Klemmenspannung U therm = ϕ n (L) ϕ n (0) ( Thermospannung ) im Falle konstanter Beweglichkeit und Thermodiffusivität? *e) Leiten Sie ab, welche Einheit (ausgedrückt durch SI-Einheiten) die Thermodiffusivität D T n besitzt. Viel Erfolg!