Klassische Theoretische Physik III (Elektrodynamik)

Transkript

1 rev: 1.17 WiSe 017/18 Klassische Theoretische Phsik III Elektrodnamik) Vorlesung: Prof. Dr. D. Zeppenfeld Übung: Dr. M. Sekulla Übungsblatt 8 Ausgabe: Fr, Abgabe: Fr,.1.17 Besprechung: Mi, Aufgabe 4: Helmholtz-Spulen 5 P Eine kreisförmige Leiterschleife mit Radius a wird vom Strom I durchflossen und liegt innerhalb der x Ebene bei z = 0. Eine weitere Schleife mit gleichem Radius liegt parallel dazu bei z = b und wird ebenfalls vom Strom I durchflossen. Wie lautet das B Feld entlang der z Achse? Bestimmen Sie b so, dass das B Feld genau zwischen den Spulen, bei z = b/ besonders homogen wird. Lösung der Aufgabe 4 Das B-Feld ist gegeben durch B = µ 0I 4π d l r r r r Der Ring kann einfach mit Zlinderkoordinaten parametrisiert werden: d l = a sinϕ), cosϕ), 0) dϕ r r = x a cosϕ), a sinϕ), z) d l r r = adϕ z cosϕ), z sinϕ), sinϕ) + a sin ϕ) x cosϕ) + a cos ϕ) ) B0, 0, z) = µ 0I 4π π 0 z cosϕ), z sinϕ), a) adϕ a + z ) 3/ = µ 0I 0, 0, πa) a 4π a + z ) = µ 0 Ia 3/ a + z ) ẑ 3/ Dies ist das Feld einer Spule auf der z-achse. Per Superposition wird nun das Gesamtfeld zweier Spulen eine bei z = 0 und eine bei z = b) auf der z-achse bestimmt: B z z) = µ 0Ia 1 a + z ) 3/ + 1 a + z b) ) 3/ ) Seite 1 von 6

2 Das Feld in der Mitte der Spule soll möglichst homogen sein, also gilt: db z! dz = 0, z=b/ d B z! dz = 0, z=b/ db z dz = µ 0Ia z=b/ = µ 0Ia Dies ist immer erfüllt. d B z dz = 3µ 0Ia z=b/ a = b = 3µ 0Ia 3 ) z a + z ) + z b 5/ a + z b) ) z=b/ 5/ ) b/ 3 a + b/) ) b/ = 0 5/ a + b/) ) z=b/ 5/ ) a + z 5z + a + z b) 5z b) a + z ) 7/ a + z b) ) 7/ z=b/ a 4b/) + a 4b/) a + b/) ) 7/ = 0 Eine Helmoltz-Spule hat somit den gleichen Abstand zwischen den Ringen wie der Durchmesser der einzelnen Ringe. Im Mittelpunkt zwischen beiden Ringen ist ein besonders homogenes Magnetfeld. Aufgabe 5: Abschirmung paralleler Leiter 10 P Zwei unendlich lange gerade Leiter befinden sich parallel zur z Achse bei x = ±d/, = 0. Die Leiter werden entgegengesetzt von einem Gleichstrom ±I durchflossen. a) Zunächst betrachten Sie nur einen unendlich langen Draht in einem Medium mit µ r. i) Wie lautet das H Feld im ganzen Raum um den Draht in Zlinderkoordinaten? Hinweise: Sie dürfen für diesen Teil annehmen, dass der Draht sich bei x = 0 befindet. Zl = r, 1 r ϕ, ) z ii) Die Stromdichte ist auf den Draht begrenzt, also läßt sich das H Feld durch ein skalares Potential Φ m beschreiben, so dass H = Φ m. Bestimmen Sie das skalare Potential in kartesischen Koordinaten, wenn sich der Draht bei x = a, = 0 befindet. b) Nun betrachten Sie beide Leiter bei x = ±d/ Seite von 6

3 i) Bestimmen Sie analog zu a) das skalare Potential des Leiterpaares. Zeigen Sie, dass das Potential bei kleinem Abstand d ρ in Zlinderkoordinaten Id sinϕ) Φ m = πρ ii) Die Drähte befinden sich nun im Zentrum eines Stahlzlinders mit innerem Radius a und äußerem Radius b und Permeabilität µ = µ 0 µ r. Das Potential kann immer noch im Limes d ρ ) dann innerhalb und außerhalb des Zlinders als ρ sinϕ) Φ m = βρ + γ ) sinϕ) a < ρ b ρ Id ) πρ + δρ sinϕ) ρ a angesetzt werden. Damit ist das äußere Feld ebenfalls ein Dipolfeld, wie in Teil i). Bestimmen Sie die reellen Parameter, β, γ, δ aus geeigneten Randbedingen an die B und H Felder. Zeigen Sie damit, dass das äußere Feld gegenüber dem Feld ohne den Zlinder um einen Faktor schwächer ist. Lösung der Aufgabe 5 F = 4µ r b µ r + 1) b µ r 1) a a) i) Beginnend mit einem langen Draht auf der z-achse. Dieser besitzt das Vektorpotential A r) = µ 0µ r 4π d 3 r j r) r r j r) = jr)ẑ A = A z ẑ Da der Stom konstant ist, gilt A z = A z r) und ist unabhängig von ϕ und z. A Hinweis = A z r ˆϕ = µ rµ 0H H = Hϕ r) ˆϕ = Hr) ˆϕ Seite 3 von 6

4 Nun bestimmen wir Hr) mittels der Integration über die Kreisfläche und den Satz von Stokes: ds j = I = d S ) H A A = d r H = H ϕ πr H = A I πr ˆϕ ii) Da ausserhalb des Drahtes H = 0 ist, kann man das H mit einem Skalar beschreiben : Da H = Φ m H = Hr) ˆϕ Hr) = 1 r Φ m ϕ = Φ m = I π ϕ + C I πr Wir wählen C = 0. Der Winkel ϕ [0, π) wird vom Punkt x = a = 0) bestimmt, daher gilt in kartesichen Koordinaten theoretisch kann ϕ auch Werte von [0, π) + nπ annehmen. Der Beitrag πn kann jedoch in C absorbiert werden und hat keinen phsikalischen Beitrag.): tanϕ) = x a ) ϕ = arctan x a Φ m = I ) π arctan x a b) i) Das Potential von zwei Leitern ist eine Superposition von einem Leiter mit Strom I bei d/ und einem Leiter mit Strom I bei d/: Φ m = I ) )) arctan arctan π x d/ x + d/ Für kleine Abstände d ρ = x + können wir eine Talor-Entwicklung um d 0 vornehmen. ) d dd arctan 1 ± 1 = ) ) x ± d/ 1 + x ± d/) x±d/ d dd arctan = x ± d/) d=0 1 / = / 1 + x x + x = ρ = sinϕ) ρ Seite 4 von 6

5 Damit ergibt sich lim Φ m = I d 0 π arctan arctan + x) x) I d π ρ sinϕ) sinϕ) ρ sinϕ) ) ) d + Oρ ) ρ ii) Die Drähte befinden sich nun in einem Zlinder mit den Regionen, a < ρ < b und ρ < a. An den Übergängen ist sowohl H ϕ als auch B ρ stetig. Wir benutzen den Ansatz: ρ sinϕ) Φ m = βρ + γ ) sinϕ) a < ρ b ρ Id ) πρ + δρ sinϕ) ρ a Damit ist H ϕ = 1 Φ m ρ ϕ = ρ cosϕ) β + γρ ) cosϕ) ) Id πρ δ cosϕ) a < ρ b ρ a Mit µ = µ 0 µ r gilt analog µ 0 ρ sinϕ) B ρ = µ Φ m ρ = µ β + γρ ) sinϕ) ) Id µ 0 πρ + δ sinϕ) a < ρ b ρ a Durch die Stetigkeitsbedinungen erhält man nun 4 Gleichungen, um, β, γ, δ zu bestimmen: I : b = β + γ b II : µ 0 b = µ β + γ ) b III : β + γ a = δ Id IV : µ πa β + γ ) = µ a 0 δ + Id ) πa Seite 5 von 6

6 I : II : b β γ = 0 b b + µ γ rβ µ r = 0 b III : β+ γ Id δ = a πa γ Id IV : µ r β+ µ r +δ = a πa V : II I : 1 + µ r )β+1 µ r ) γ = 0 b V I : III IV : 1 µ r )β+1 + µ r ) γ a = Id πa Daraus folgt: 1 + µ r )b V 1 µ r )a V I : 1 + µ r ) b 1 µ r ) a ) β = 1 µ r ) Id π 1 µ r )a Id β = 1 + µ r ) b 1 µ r ) a πa 1 + µ r )a b Id γ = 1 + µ r ) b 1 µ r ) a πa [ 1 µr )a 1 + µ r )b δ = 1 + µ r ) b 1 µ r ) a + 1 ] Id [ ] 1 µr )a 1 + µ r )a Id = 1 + µ r ) b 1 µ r ) a πa b = Damit ist das potential im Außenraum : Φ m;ρ>b = D.h. das Feld ist um einen Faktor reduziert. πa = 1 µ r)a 1 µ r)b 1 + µ r ) b 1 µ r ) a Id πa 4µ r a b 1 + µ r ) b 1 µ r ) a Id πa 4µ r b Id sinϕ) 1 + µ r ) b 1 µ r ) a πρ }{{} Φ m;ohne F = 4µ r b 1 + µ r ) b 1 µ r ) a Seite 6 von 6