Übungsblatt 3 - Lösungen

Transkript

1 Übungsblatt 3 - Lösungen zur Vorlesung EP2 (Prof. Grüner) im Juni 2011 Aufgabe 1: Plattenkondensator Ein Kondensator besteht aus parallelen Platten mit einer quadratischen Grundäche von 20cm Kantenlänge. Es liegt eine pannung von 1000V an und der Plattenabstand beträgt x = 5mm. Berechnen ie: a) seine Kapazität C = ɛ 0 A d = 70, F = 70, 8pF b) seine Ladung ɛ 0 = 8, c) die gespeicherte Energie As Vm, 1 F = 1 C V = 1 A s V = 1 A2 s 4 kg m 2 Q = C V = 70, 8pF 1000V = 7, C W = 1 2 CV 2 = 3, J d) die anziehende Kraft zwischen den Platten. Kraft bewirkt Energieänderung: F = dw dx = d ( ) 1 dx 2 CV 2 = d dx ( ) 1 ɛ 0 A 2 x V 2 = 1 ɛ 0 A 2x x V 2 = CV 2 2x = 7, N Wobei der Plattenabstand d hier x ist, entsprechend der trecke die die Platten auseinander gezogen wurden. Alternativ kann die Kraft auch über das Feld und die berechnete Ladung im Kondensator berechnet werden, da das Feld im Kondensator homogen ist: E = F q F = E q = U d q Allerdings muss hier für q die Ladung Q/2 eingesetzt werden. F = Q 2 U d = N 1

2 e) Es wird nun ein Dielektrikum mit ɛ r = 2 und einer Dicke von 2mm an der Innenseite einer Platte befestigt. Wie ändert sich die Kapazität? 1. Über Potentialdierenz: In Luft: E-Feld = E 0 ; in Dielektrikum: E-Feld = E 0 ɛ r. U = E d + E 0 2 ( 3 ɛ r 5 d = E 0d ) = U 0 C = Q U = 5 Q = 5 4 U 0 4 C 0 Das E-Feld im Innern setzt sich nun aus zwei Bereichen zusammen, einem mit und einem ohne Dielektrikum. 2. Über Reihenschaltung: C = 1 C = 1 C C 2 = d 1 ɛ 0 A + d 2 ɛ 0 ɛ r A ɛ 0ɛ r A d 1 ɛ r + d 2 = 2ɛ 0 A d d = 5 4 C 0 Aufgabe 2: Feld einer geladenen Kugelschale Berechnet werden soll das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb einer dünnen geladenen Kugelschale mit Radius R und Gesamtladung Q. Berechnen ie das Feld mit Hilfe des Gauÿschen Gesetzes für beide Raumgebiete. kizzieren ie das Feld danach in einem Graphen in Abhängigkeit vom Abstand zum Mittelpunkt der Kugelschale. 2

3 atz von Gauss: Φ ges = E n da = Q innen ɛ 0 Der Fluss des el. Feldes durch eine geschlossene Oberäche mit beliebiger Form ist gleich der eingeschlossenen Ladung Q innen geteilt durch die Dielektrizitätskonstante des Vakuum ɛ 0. Unterteilung der Integration in zwei Teile mit verschiedenen Ladungen Q innen innerhalb der Gaussäche Im Inneren der Kugelschale (r < R): Ladung Q innen = Q(r s < R) = 0 E n da = 0 mit E n = E r wg. Kugelsymmetrie und E r = const. auf Oberäche der Gausskugel gilt: E r da = E r 4πrs 2 = 0 E r = 0 Das el. Feld einer geladenen Kugelschale ist also nur vom Radius (Abstand zum Zentrum) abhängig (wg. Kugelsymmetrie) und ist im innern der Kugelschale null (keine Ladung innerhalb Gaussäche). Ausserhalb der Kugelschale (r > R): Ladung Q innen = Q(r s > R) = Q Jetzt ist die gesamte Ladung Q innerhalb der Gaussäche eingeschlossen E n da = Q ɛ 0 wg. Kugelsymmetrie und E r = const. auf Oberäche der Gausskugel gilt: E r da = E r 4πr 2 s = Q ɛ 0 E r = 1 4πɛ 0 Q r 2 s 3

4 Da die Gaussoberäche eine Kugel mit beliebigem Radius darstellt kann r s frei gewählt werden also r = r solange R > R ist. E r = 1 Q 4πɛ 0 r 2 Das el. Feld einer geladenen Kugelschale ist ausserhalb der Kugelschale gleich dem einer Punktladung. Abbildung 1: Elektrisches Feld Aufgabe 3: Feld einer geladenen Kugel Gegeben ist eine geladene Kugel mit Radius R. Ihre Ladungsdichte ρ(r) wächst von ρ = 0 im Zentrum linear auf den Wert ρ = ρ 0 an der Kugeloberäche an. Berechnen ie das elektrische Feld innerhalb und auÿerhalb der Kugel. Benutzen ie hierfür den atz von Gauss. atz von Gauss: E n da = Q innen ɛ 0 1. Im Inneren der Kugel: Eingeschlossene Ladung: Die Ladungsdichte steigt linear mit r an und beträgt am Rand der Kugel, wenn r = R, den Wert ρ 0. Also: ρ(r) = ρ 0 R r Damit lässt sich die innerhalb der Gaussäche liegende Ladung Q innen in Abhängigkeit des Radius r der Gaussäche berechnen: 4

5 Q innen = Gauss'sches Gesetz: V = ρ 0π R r4 ρ(r )dv = V ρ(r )d 3 r = ρ 0 R r 0 E n da = ρ 0π ɛ 0 R r4 E n 4πr 2 = ρ 0π ɛ 0 R r4 E n = ρ 0r 2 4ɛ 0 R E r = ρ 0r 2 4ɛ 0 R r 4πr 2 dr = 4πρ 0 R r 0 r 3 dr Das Feld kann wg. der Kugelsymmetrischen Ladungsverteilung weder von φ noch von θ abhängen. Deshalb zeigt die einzige Komponente in Richtung von ˆr und E n = E r (auÿerdem ist E n E r und zeigt deshalb in dieselbe Richtung). 2. Ausserhalb der Kugel: Die gesamte Ladung der Kugel kann einfach aus dem bereits gelösten Integral gewonnen werden wenn nun für r der Radius der Kugel R eingesetzt wird. Gauss'sches Gesetz: Q innen (r ) = ρ 0π R r4 Q innen (r = R) = ρ 0 πr 3 E n 4πr 2 = ρ 0πR 3 E r = ρ 0R 3 4ɛ 0 r 2 Wobei mit den bekannten Argumenten aus r ein r wurde und aus E n ein E r. Das Ergebnis entspricht wiederum dem Feld einer Punktladung mit der Ladung: ɛ 0 Q P unktldg = ρ 0 πr 3 5

6 Abbildung 2: Elektrisches Feld 6