Theoretische Physik: Elektrodynamik

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1 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Ferienkurs Theoretische Physik: Elektrodynamik Vorlesung Technische Universität München Fakultät für Physik

2 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Inhaltsverzeichnis Kleine Formelsammlung 3 2 Elektrostatik im Vakuum 4 2. Coulombgesetz und Feldgleichung Multipolentwicklung Randwertprobleme Technische Universität München 2 Fakultät für Physik

3 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Kleine Formelsammlung Divergenz eines Skalarfedes F( r): gradf( r) = F( r) = ( F x, F y, F ) z () gradf( r) steht senkrecht auf den Äquvipotentialflächen. Divergenz oder Quelldichte eines Vektorfeldes A( r): div A( r) = A( r) = A x x + A y y + A z z (2) Rotation oder Wirbeldichte eines Vektorfeldes A( r): rot A( r) = A( r) = ( Az y A y z, A x z A z x, A y x A x y, ) (3) Es gilt: Wirbelfelder sind quellfrei div(rot A) = und Gradientenfelder sind wirbelfrei rot(grad A) = Helmholtz scher Satz: Jedes hinreichend schnell abfallende Vektorfeld kann eindeutig in einen wirbelfreien und quellfreien Anteil zerlegt werden: A = gradφ + rot A (4) Gauß scher Satz: F= V d F A = V dv div A( r) (5) Stokes scher Satz: C= F d r A( r) = F d F rot A( r) (6) Technische Universität München 3 Fakultät für Physik

4 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Elektrostatik im Vakuum 2. Coulombgesetz und Feldgleichung Grundlegend für die Entwicklung der Elektrodynamik ist das Coulombgesetz: Kraft zwischen zwei Punktladungen F( r) = qqˆr r 2 2 As mit ɛ = 8, 8542 Vm Das elektrische Feld (Gradientenfeld) einer am Ursprung lokalisierten Punktladung Q ist: Weiterhin ist das Elektrostatisches Potential definiert als: F E( r) = q = Qˆr (8) r 2 (7) E( r) = grad φ( r) (9) Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene Fläche: d F E( r) = Q { ˆr d F R = Q Q d F = 2 R 2 ɛ Q innerhalb F Q außerhalb von F () r =R r =R Ansammlungen von Punktladungen können als kontinuierliche Ladungsverteilungen behandelt werden. Superpositionsprinzip: Die elektrischen Felder, die von einzelnen Punktladungen erzeugt werden, addieren sich als Vektorsumme zum gesamten elektrischen Feld. Mit dem elektrischen Potential: E( r) = φ( r) = N i= N i= r =R Q i ( r r i ) r r i 3 () Q i r r i Verallgemeinerung auf kontinuierliche Ladungsverteilungen: q Mit der lokalen statischen Ladungsdichte ρ( r) = lim V V ergibt sich: E( r) = d 3 r ρ( r ) r r ( r 3 r ) und φ( r) = d 3 r ρ( r ) r r Somit ergibt sich für den Fluss durch eine geschlossene Fläche: d F E( r) = Q innen = ɛ ɛ dv ρ( r) (4) F= V Mit dem Gauß schen Satz folgt nun die. Maxwellgleichung: V (2) (3) div E( r) = ρ( r) ɛ (5) Technische Universität München 4 Fakultät für Physik

5 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Aus (9) und (5) folgt die Poissongleichung: φ( r) = ρ( r) ɛ (6) Beispiel: Radialsymmetrische Ladungsdichten: elektrostatische Potential ist ebenso radialsymmetrisch, weswegen man zu Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ ) übergeht: φ( r) = 2π Substitution: ξ = cos θ dξ = dθ sin θ φ( r) = 2ɛ dr r 2 ρ(r) π dϕ dθ sin θ dξ r2 + r 2 + 2r rξ } {{ } = rr (r 2 +r 2 +2rr ξ) /2 Fallunterscheidung: r < r 2r und r > r 2r φ(r) = ɛ [ r r dr r 2 ρ(r ) + dr r 2 ρ(r ) r2 + r 2 2r r cos θ (7) = dr r 2ɛ r ρ(r )(r+r r r ) (8) r ] dr r ρ(r ) Elektrostatische Energie: Um eine Punktladung q aus dem unendlichen an den Ort r zu bringen muss Arbeit verrichtet werden: r W( r) = q d r E( r ) (9) = φ( r) mit φ( ) = (2) Betrachte nun: i Punktladungen q i an den Orten r j. Die gesamte Arbeit um q i an den Ort r i zu bringen ist dann: W( r) = N N i q j W i = q i r i r j = 8πɛ i=2 Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung ergibt sich somit: W( r) = d 3 r d 3 r ρ( r)ρ( r ) = d 3 r ρ( r) 8πɛ r i r j 2 i=2 i= }{{} ɛ φ i, j=;i j φ( r) = ɛ 2 q i q j r i r j d 3 r φ( r) φ( r) } {{ } = E 2 +div(φ E) Mit dem Gauß schen Satz ergibt sich d 3 r div(φ E) =. Somit erhält man für die Energiedichte des elektrischen Feldes: w( r) = ɛ 2 E 2 (23) Flächenladungsdichte: Gegeben sei eine Fläche F, die die Ladungsdichte σ( r) mit r F. Die Normalkomponente des E Feldes springt beim Durchgang durch die Fläche F um ɛ die Flächenladungsdichte: (9) (2) (22) mal n ( E 2 E ) = σ ɛ (24) Technische Universität München 5 Fakultät für Physik

6 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Die Tangentialkomponten hingegen sind stetig beim Durchgang durch eine geladene Fläche: n ( E 2 E ) = (25) Bsp: Im Metall ( E = ) steht da elektrische Feld senkrecht auf der Metalloberfläche. Die influenzierte Ladungsdichte ist dann: ɛ n E Fl = σ (26) 2.2 Multipolentwicklung Betrachte: Eine lokalisierte Ladungsdichte ρ( r). Ziel: Verhalten des elektrostatischen Potentials φ( r) für große Abstände. Taylorentwicklung von: r r = r2 + r 2 2 r r = r = r [ ( 2 r r 2 = r + r r r 3 + r 5 2 r r + r 2 r 2 r 2 ) + r ( 2 r r +... r 2 r 2 8 r 2 ] [3 ( r r ) 2 r 2 r Setzt man dies in das elektrostatische Potential ein, erhält man: φ( r) = [ r d 3 r ρ( r ) + r r d 3 r r ρ( r ) + } {{ }} 3 r {{ } 5 Monopol Dipol = [ q r + p r r + 3 r 5 3 ] x i x j Q i j i, j= 3 x i x j i, j= ) ] +... (27) d 3 r (3x i x j δ i j r 2 ) ρ( r ) } {{ } Quadropolterm Mit: Gesamtladung: q = d 3 r ρ( r ) Elektrische Dipolmomentvektor p = d 3 r r ρ( r ) Elektrische Quadropoltensor: Q i j = d 3 r (3x i x j δ i j r 2 ) ρ( r ) (Spurfrei, symmetisch und abhängig von der Wahl des Ursprungs) Elektrisches Dipolfeld: (28) ] +... E Dipol = (3ˆr p ˆr p) (29) In Polarkoordination mit p = (,, p): E r = 2p cos θ r 3, E θ = p sin θ r 3, E ϕ = (3) Technische Universität München 6 Fakultät für Physik

7 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Energie und Kraft im äußeren elektrischen Feld: Gegeben: lokalisierte Ladungsdichte ρ( r ) in einem äußeren elektrischen Feld E ext. Die Wechselwirkungsenergie mit der lokalisierten Ladungsdichte ist gegeben durch: W( r) = qφ ext ( r) p E ext 6 3 i, j Ei ext Q i j (3) x j Somit ist die Kraft F = W, die auf die Ladungsverteilung wirkt: F( r) = qe ext ( r) + ( p ) E ext i, j,k 2 Ei ext Q i j e k (32) x j x k Das wirkende Drehmoment M = p E ext ( r) versucht p parallel zu E ext auszurichten, so dass die Energie p E ext minimal wird. Dipol-Dipol- Wechselwirkung: Die Dipol-Dipol-Wechselwirkung ist abhängig vom Abstand... von der relativen Orientierung... von der Orientierung zur Verbindungsachse Sie ist gegeben durch: W 2 = ( p p 2 r r 2 ( r r 2 ) p ( r r 2 ) p ) 2 3 r r 2 5 (33) 2.3 Randwertprobleme Problemstellung: Gegeben sind Potentialverteilungen φ( r) auf einer Fläche oder Feldverteilungen E( r) = gradφ( r) auf einer Fläche. Lösung: (mit Green schen Sätzen) φ( r) = d 3 r ρ( r) r r + F Zusatzterme für das Flächenpotential: Flächenladungsdichte: ɛ φ( r) n Dipolfläche: ɛ n φ( r) F Dipolflächendichte: p F = ɛ n φ( r ) Es gibt zwei Typen von Randwertproblemen 2 : F [ df 4π r r φ( r) n φ( r) ] n 4π r r I) V dv (φ ψ + φ ψ) = ψ df φ F= V n und II) V dv (φ ψ + ψ φ) = ( F= V df φ ψ n ψ φ ) n 2 Das Potential ist mit einer der Bedingungen eindeutig (34) Technische Universität München 7 Fakultät für Physik

8 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Dirichlet sches Randwertproblem: φ( r) ist auf der Fläche F = V vorgegeben 2. Neumann sches Randwertproblem: Normalableitung φ n = n φ ist auf der Fläche F = V vorgegeben Lösungsformel: φ( r) = dv G D ( r, r)ρ( r) ɛ V } {{ } Quellen F d F φ( r ) n G D( r, r ) } {{ } Randwerte (35) Die explizite Konstruktion der Green schen Funktion G D ( r, r ) mit den geforderten Eigenschaften, ist nur in einfachen Fällen möglich (wenn F eine Ebene oder eine Fläche ist Methode der Bildladungen). Bem.: G D ( r, r ) ist zum Dichlet schen Randwertproblem symmetrisch. Methode der Bildladungen: Randwertproblem wird gelöst durch die Green sche Funktion: G D ( r, r ) = r r + f ( r, r ) mit r f ( r, r ) = für alle r, r V (36) f ( r, r ) stellt das Potential einer Ladungsverteilung außerhalb von V dar, dass zusammen mit 4πɛ r r die Randbedingung G D ( r r ) = für alle r F = V und r V erfüllt. Ladungsdichte + Randbedingung Ladungsdichte + Bildladung ohne Randbedingung Beispiel: Punktladung vor unendlich ausgedehnter Metallplatte V ist der obere Halbraum z =, F = V die xy -Ebene. G D ( r, r ) = r r + q B r r B (37) Muss für alle r = (x, y, ) verschwinden: (x x) 2 + (y y) 2 + z 2 = q B = und r B = (x, y, z) q B (x x B ) 2 + (y y B ) 2 + z 2 B (38) Die Punktladung Q befindet sich im Abstand a > auf der z -Achse a = (,, a) und besitzt die Ladungsdichte ρ( r ) = Qδ 3 ( r a). Einsetzten in die Lösungsformel (35) liefert das resultierende Potential mit der Randbedingung φ(x, y, ) = : φ(x, y, z) = Q [ x2 + y 2 + (z a) 2 x2 + y 2 + (z + a) 2 ] mit z (39) Befindet sich die Punktladung von einer geerdeten Metallkugel, so ist die Green sche Funktion: G D ( r, r ) = r r R/r r R 2 /r 2 r = r r r R r R r (4) Technische Universität München 8 Fakultät für Physik